Номер 209, страница 66 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 2.4. Пропорциональное деление. Глава 2. Прямая и обратная пропорциональность - номер 209, страница 66.

209 Призы на сумму 12 400 р. были присуждены трём призёрам соревнования так, что сумма, полученная вторым, составила $\frac{2}{3}$ от суммы, полученной первым. В то же время сумма, полученная вторым, относится к сумме, полученной третьим, как $1\frac{1}{3} : \frac{4}{5}$. Сколько рублей получил каждый призёр?

Для решения задачи введём переменные. Пусть $x$ – сумма, которую получил первый призёр, $y$ – сумма, которую получил второй призёр, и $z$ – сумма, которую получил третий призёр.

Общая сумма призов составляет 12 400 рублей. Таким образом, мы можем составить первое уравнение: $x + y + z = 12400$

Из условия известно, что сумма, полученная вторым призёром, составила $\frac{2}{3}$ от суммы, полученной первым. Это даёт нам второе уравнение: $y = \frac{2}{3}x$

Также нам дано отношение суммы, полученной вторым призёром, к сумме, полученной третьим: $\frac{y}{z} = 1\frac{1}{3} : \frac{4}{5}$. Упростим это отношение. Сначала переведём смешанную дробь в неправильную: $1\frac{1}{3} = \frac{4}{3}$. Теперь выполним деление дробей: $\frac{y}{z} = \frac{\frac{4}{3}}{\frac{4}{5}} = \frac{4}{3} \cdot \frac{5}{4} = \frac{20}{12} = \frac{5}{3}$ Из этого соотношения выразим $z$ через $y$: $z = \frac{3}{5}y$

Теперь у нас есть система из трёх уравнений. Чтобы её решить, выразим все переменные через одну, например, через $x$. Мы уже знаем, что $y = \frac{2}{3}x$. Подставим это выражение в формулу для $z$: $z = \frac{3}{5}y = \frac{3}{5} \cdot (\frac{2}{3}x) = \frac{6}{15}x = \frac{2}{5}x$

Теперь, когда $y$ и $z$ выражены через $x$, подставим их в первое уравнение: $x + \frac{2}{3}x + \frac{2}{5}x = 12400$

Для решения этого уравнения приведём все слагаемые к общему знаменателю. Общий знаменатель для 3 и 5 равен 15. $\frac{15x}{15} + \frac{10x}{15} + \frac{6x}{15} = 12400$ $\frac{15x + 10x + 6x}{15} = 12400$ $\frac{31x}{15} = 12400$

Найдём значение $x$: $x = 12400 \cdot \frac{15}{31}$ Разделим 12400 на 31: $12400 \div 31 = 400$. $x = 400 \cdot 15 = 6000$ Таким образом, сумма, полученная первым призёром, составляет 6000 рублей.

Теперь вычислим суммы для второго и третьего призёров: Сумма второго призёра: $y = \frac{2}{3}x = \frac{2}{3} \cdot 6000 = 2 \cdot 2000 = 4000$ рублей. Сумма третьего призёра: $z = \frac{2}{5}x = \frac{2}{5} \cdot 6000 = 2 \cdot 1200 = 2400$ рублей.

Проверка: $6000 + 4000 + 2400 = 12400$ рублей. Все условия выполнены.

Ответ: первый призёр получил 6000 рублей, второй – 4000 рублей, а третий – 2400 рублей.