Номер 208, страница 66 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 2.4. Пропорциональное деление. Глава 2. Прямая и обратная пропорциональность - номер 208, страница 66.

208 Периметр треугольника $ABC$ равен 15,5 см. Найдите длины сторон этого треугольника, если $AB$ относится к $BC$ как 3 к 5, а $BC$ относится к $AC$ как 2 к 3.

По условию задачи периметр треугольника $ABC$ равен 15,5 см. Периметр — это сумма длин всех сторон треугольника: $P_{ABC} = AB + BC + AC = 15,5$ см.

Также нам даны отношения длин сторон: $AB : BC = 3 : 5$ $BC : AC = 2 : 3$

Чтобы найти единое отношение для всех трех сторон $AB : BC : AC$, нам нужно привести оба данных отношения к общему члену для стороны $BC$. Найдем наименьшее общее кратное для чисел, представляющих сторону $BC$ в этих отношениях, то есть для 5 и 2. Наименьшее общее кратное для 5 и 2 равно 10.

Приведем первое отношение к новому виду, умножив обе его части на 2: $AB : BC = (3 \times 2) : (5 \times 2) = 6 : 10$

Приведем второе отношение к новому виду, умножив обе его части на 5: $BC : AC = (2 \times 5) : (3 \times 5) = 10 : 15$

Теперь, когда часть, соответствующая стороне $BC$, в обоих отношениях равна 10, мы можем составить единое отношение для всех трех сторон: $AB : BC : AC = 6 : 10 : 15$

Пусть $x$ — это коэффициент пропорциональности, то есть длина одной части в этом отношении. Тогда длины сторон треугольника можно выразить так: $AB = 6x$ $BC = 10x$ $AC = 15x$

Подставим эти выражения в формулу периметра и составим уравнение: $6x + 10x + 15x = 15,5$ $31x = 15,5$

Решим уравнение относительно $x$: $x = \frac{15,5}{31} = 0,5$ см

Теперь, зная значение $x$, мы можем найти длины каждой стороны: $AB = 6 \times 0,5 = 3$ см $BC = 10 \times 0,5 = 5$ см $AC = 15 \times 0,5 = 7,5$ см

Ответ: $AB = 3$ см, $BC = 5$ см, $AC = 7,5$ см.