Страница 69 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

221 Плавательный бассейн наполнился водой за 90 мин до отметки 35 см. Сколько ещё потребуется времени, чтобы он наполнился до отметки 140 см?

Для решения задачи предположим, что скорость наполнения бассейна является постоянной. Это означает, что уровень воды поднимается равномерно, и время наполнения прямо пропорционально высоте уровня воды.

Сначала найдем, во сколько раз итоговая высота (140 см) больше той, до которой бассейн уже наполнился (35 см).
$\frac{140 \text{ см}}{35 \text{ см}} = 4$
Это значит, что для наполнения бассейна до отметки 140 см потребуется в 4 раза больше времени, чем для наполнения до 35 см.

Теперь можем рассчитать общее время $t_{общ}$, необходимое для наполнения бассейна до 140 см с самого начала.
$t_{общ} = 90 \text{ мин} \times 4 = 360 \text{ мин}$

Вопрос задачи — «сколько ещё потребуется времени». Чтобы найти это дополнительное время $t_{доп}$, нужно из общего времени вычесть уже прошедшее время.
$t_{доп} = t_{общ} - 90 \text{ мин} = 360 \text{ мин} - 90 \text{ мин} = 270 \text{ мин}$

Полученный результат можно для удобства перевести в часы:
$270 \text{ мин} = 240 \text{ мин} + 30 \text{ мин} = 4 \text{ часа } 30 \text{ минут}$

Ответ: потребуется еще 270 минут.

222 Бассейн при одновременном включении 4 кранов заполняется водой за $\frac{3}{4}$ ч. За какое время тот же бассейн заполняется водой при одновременном включении 6 таких же кранов?

Для решения этой задачи необходимо понять, как связаны между собой количество работающих кранов и время, за которое они заполняют бассейн. Эти величины находятся в обратно пропорциональной зависимости: чем больше кранов включено, тем меньше времени требуется для заполнения бассейна.

Обозначим первоначальное количество кранов как $N_1 = 4$, а время заполнения ими бассейна как $T_1 = \frac{3}{4}$ ч. Новое количество кранов обозначим как $N_2 = 6$, а искомое время как $T_2$.

Поскольку зависимость обратная, произведение количества кранов на время заполнения является постоянной величиной (представляющей собой общий объем работы по заполнению бассейна). Следовательно, мы можем составить равенство: $N_1 \cdot T_1 = N_2 \cdot T_2$

Подставим в это уравнение известные нам значения: $4 \cdot \frac{3}{4} = 6 \cdot T_2$

Вычислим левую часть уравнения: $4 \cdot \frac{3}{4} = 3$

Теперь наше уравнение выглядит так: $3 = 6 \cdot T_2$

Чтобы найти $T_2$, разделим обе части уравнения на 6: $T_2 = \frac{3}{6}$

Сократим полученную дробь: $T_2 = \frac{1}{2}$ ч

Таким образом, при одновременном включении 6 таких же кранов бассейн заполнится за $\frac{1}{2}$ часа. Для удобства можно перевести это время в минуты: $\frac{1}{2}$ часа это $30$ минут.

Ответ: $\frac{1}{2}$ часа.

223 Проехав 80 км, автомобиль истратил 5,6 л бензина. Какое расстояние может проехать автомобиль с полным баком, вмещающим 40 л бензина? (Ответ округлите до десятков.)

Для решения этой задачи можно составить пропорцию. Пусть $x$ — это искомое расстояние в километрах, которое автомобиль может проехать с полным баком.

Из условия известно, что на 80 км пути автомобиль расходует 5,6 л бензина. Составим соотношение, приравняв отношение расстояния к объему топлива в обоих случаях:
$ \frac{80 \text{ км}}{5.6 \text{ л}} = \frac{x \text{ км}}{40 \text{ л}} $

Теперь выразим $x$ из этой пропорции, чтобы найти максимальное расстояние:
$ x = \frac{80 \times 40}{5.6} $
$ x = \frac{3200}{5.6} $

Для удобства вычислений избавимся от десятичной дроби в знаменателе, умножив и числитель, и знаменатель на 10:
$ x = \frac{32000}{56} $

Выполнив деление, получим:
$ x \approx 571.428... \text{ км} $

Согласно условию, результат необходимо округлить до десятков. В числе 571,428... в разряде десятков стоит цифра 7. Смотрим на следующую цифру (в разряде единиц) — это 1. Так как 1 меньше 5, то цифру в разряде десятков оставляем без изменений, а цифру в разряде единиц заменяем на ноль.
$ 571.428... \approx 570 $

Ответ: 570 км.

224 Число учащихся первых, вторых, третьих и четвёртых классов в начальной школе пропорционально числам 8, 10, 9 и 9.

В общем виде это может быть представлено как:

$\frac{N_1}{8} = \frac{N_2}{10} = \frac{N_3}{9} = \frac{N_4}{9}$

а) Найдите число всех учащихся начальной школы, если в третьих классах учится 63 ученика.

б) Найдите число учащихся в каждой параллели, если известно, что во вторых классах на 8 учеников больше, чем в третьих.

в) Найдите число учащихся вторых классов, если в первых и третьих вместе учится 102 ученика.

Пусть $k$ — коэффициент пропорциональности. Тогда число учащихся в первых, вторых, третьих и четвёртых классах можно записать как $8k$, $10k$, $9k$ и $9k$ соответственно.

а) По условию, в третьих классах учится 63 ученика. Это соответствует $9$ частям. Составим уравнение, чтобы найти значение одной части (коэффициент $k$):
$9k = 63$
$k = 63 / 9$
$k = 7$
Теперь найдём общее число учащихся в начальной школе. Общее количество частей равно:
$8 + 10 + 9 + 9 = 36$
Чтобы найти общее число учащихся, умножим общее количество частей на значение одной части:
$36 \times k = 36 \times 7 = 252$ ученика.
Ответ: 252 ученика.

б) По условию, во вторых классах на 8 учеников больше, чем в третьих. Число учащихся во вторых классах равно $10k$, а в третьих — $9k$. Разница между ними составляет $10k - 9k = k$. Составим уравнение:
$10k - 9k = 8$
$k = 8$
Теперь найдём число учащихся в каждой параллели, подставив значение $k=8$:
Число учащихся в первых классах: $8k = 8 \times 8 = 64$ ученика.
Число учащихся во вторых классах: $10k = 10 \times 8 = 80$ учеников.
Число учащихся в третьих классах: $9k = 9 \times 8 = 72$ ученика.
Число учащихся в четвёртых классах: $9k = 9 \times 8 = 72$ ученика.
Ответ: в первых классах — 64 ученика, во вторых — 80 учеников, в третьих — 72 ученика, в четвёртых — 72 ученика.

в) По условию, в первых и третьих классах вместе учится 102 ученика. Число учащихся в первых классах равно $8k$, а в третьих — $9k$. Составим уравнение:
$8k + 9k = 102$
$17k = 102$
$k = 102 / 17$
$k = 6$
Найдём число учащихся во вторых классах, которое равно $10k$:
$10k = 10 \times 6 = 60$ учеников.
Ответ: 60 учеников.

225 Сумма двух сторон треугольника — большей и меньшей — равна 4,5 дм, а его стороны пропорциональны числам 2, 4 и 5. Чему равен периметр этого треугольника?

Пусть стороны треугольника равны $a$, $b$ и $c$. Согласно условию, стороны пропорциональны числам 2, 4 и 5. Это означает, что отношение длин сторон можно записать как $a : b : c = 2 : 4 : 5$.

Введем коэффициент пропорциональности $x$. Тогда длины сторон треугольника можно выразить так: меньшая сторона $a = 2x$, средняя сторона $b = 4x$ и большая сторона $c = 5x$.

По условию задачи, сумма большей ($c$) и меньшей ($a$) сторон треугольника равна 4,5 дм. Составим на основе этого уравнение: $a + c = 4,5$. Подставив выражения для сторон, получим: $2x + 5x = 4,5$, что упрощается до $7x = 4,5$.

Теперь найдем значение коэффициента пропорциональности $x$. Для удобства вычислений представим десятичную дробь 4,5 в виде обыкновенной дроби $\frac{9}{2}$:
$x = \frac{4,5}{7} = \frac{9/2}{7} = \frac{9}{14}$

Периметр треугольника ($P$) — это сумма длин всех его сторон: $P = a + b + c = 2x + 4x + 5x = 11x$. Подставим найденное значение $x$, чтобы найти периметр:
$P = 11 \cdot \frac{9}{14} = \frac{99}{14}$ дм.

Результат можно представить в виде смешанного числа: $\frac{99}{14} = 7 \frac{1}{14}$ дм.

Ответ: $\frac{99}{14}$ дм.

226 В сплав входят медь, олово и сурьма в отношении $4:15:6$. Сколько процентов сплава составляет каждый металл? Чему равна масса сплава, если в нём меди меньше, чем олова, на 880 г?

Сколько процентов сплава составляет каждый металл?

В сплаве медь, олово и сурьма находятся в отношении $4:15:6$.
1. Сначала найдем общее количество частей, из которых состоит сплав. Для этого сложим все части отношения:
$4 + 15 + 6 = 25$ (частей).
2. Общее количество частей (25) соответствует 100% массы всего сплава. Теперь можно вычислить процентное содержание каждого металла.
- Процентное содержание меди: $\frac{4}{25} \times 100\% = 16\%$.
- Процентное содержание олова: $\frac{15}{25} \times 100\% = 60\%$.
- Процентное содержание сурьмы: $\frac{6}{25} \times 100\% = 24\%$.
Для проверки можно сложить полученные проценты: $16\% + 60\% + 24\% = 100\%$.

Ответ: медь составляет 16%, олово — 60%, а сурьма — 24% от общей массы сплава.

Чему равна масса сплава, если в нём меди меньше, чем олова, на 880 г?

1. Пусть масса одной части сплава равна $x$ граммов. Тогда, согласно отношению $4:15:6$:
- Масса меди в сплаве равна $4x$ г.
- Масса олова в сплаве равна $15x$ г.
2. Из условия известно, что масса меди на 880 г меньше массы олова. Это можно выразить уравнением:
$15x - 4x = 880$
$11x = 880$
Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на 11:
$x = \frac{880}{11} = 80$ (г).
Следовательно, масса одной части сплава составляет 80 г.
3. Чтобы найти общую массу сплава, нужно массу одной части (80 г) умножить на общее количество частей (25):
Масса сплава = $25 \times x = 25 \times 80 = 2000$ г.

Ответ: масса сплава равна 2000 г.

227 Для первых классов приобрели 588 тетрадей. Сколько тетрадей получит каждый класс, если число учащихся 1А и 1Б классов находится в отношении $3 : 4$, а число учащихся 1Б и 1В классов — в отношении $8 : 7$?

Для решения задачи необходимо сначала найти общее соотношение числа учащихся в трех классах: 1А, 1Б и 1В. Затем, используя это соотношение, распределить общее количество тетрадей.

Пусть $A$, $B$ и $V$ — это условные части, соответствующие количеству учащихся в классах 1А, 1Б и 1В.

Из условия известно:
1. Отношение числа учащихся 1А к 1Б: $A : B = 3 : 4$.
2. Отношение числа учащихся 1Б к 1В: $B : V = 8 : 7$.

Чтобы объединить эти два отношения в одно ($A : B : V$), нужно привести части, соответствующие классу 1Б, к общему значению. В первом отношении это 4, во втором — 8. Наименьшее общее кратное для 4 и 8 — это 8.

Приведем первое отношение к новому знаменателю, умножив обе его части на 2: $A : B = (3 \times 2) : (4 \times 2) = 6 : 8$.

Теперь, когда часть, соответствующая 1Б классу, в обоих отношениях равна 8, мы можем составить общее тройное отношение: $A : B : V = 6 : 8 : 7$.

Это означает, что 588 тетрадей должны быть распределены между классами в пропорции 6:8:7. Найдем общее количество частей в этой пропорции: $6 + 8 + 7 = 21$ (часть).

Теперь определим, сколько тетрадей приходится на одну часть: $588 \div 21 = 28$ (тетрадей).

Рассчитаем количество тетрадей для каждого класса.

1А класс получит 6 частей:
$6 \times 28 = 168$ (тетрадей).

1Б класс получит 8 частей:
$8 \times 28 = 224$ (тетради).

1В класс получит 7 частей:
$7 \times 28 = 196$ (тетрадей).

Проверка: $168 + 224 + 196 = 392 + 196 = 588$. Общее количество тетрадей совпадает.

Ответ: 1А класс получит 168 тетрадей, 1Б класс — 224 тетради, 1В класс — 196 тетрадей.