Страница 72 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

7. Для школы купили 6 одинаковых компьютеров. Сколько компьютеров, стоимость которых в 1,5 раза меньше, можно было бы купить на эту же сумму?

1) 4

2) 8

3) 9

4) для ответа не хватает данных

Это задача на обратную пропорциональность. Количество товара, которое можно купить на фиксированную сумму, обратно пропорционально цене этого товара. Это означает, что если цена товара уменьшается в несколько раз, то количество товара, которое можно купить на ту же сумму, увеличивается во столько же раз.

Обозначим первоначальное количество компьютеров как $N_1$, а их цену — как $P_1$.
По условию, $N_1 = 6$.
Общая сумма, потраченная на покупку, равна $S = N_1 \times P_1 = 6 \times P_1$.

Пусть $N_2$ — это новое количество компьютеров, которое можно купить, а $P_2$ — их новая цена.
Согласно условию, новая цена в 1,5 раза меньше первоначальной:
$P_2 = \frac{P_1}{1.5}$

Требуется найти, сколько компьютеров ($N_2$) можно купить на ту же самую сумму $S$:
$S = N_2 \times P_2$

Поскольку общая сумма денег не изменилась, мы можем приравнять два выражения для $S$:
$N_1 \times P_1 = N_2 \times P_2$
Подставим известные значения:
$6 \times P_1 = N_2 \times \frac{P_1}{1.5}$

В этом уравнении можно сократить $P_1$ (поскольку цена не может быть нулевой):
$6 = \frac{N_2}{1.5}$

Чтобы найти $N_2$, умножим обе части уравнения на 1,5:
$N_2 = 6 \times 1.5 = 9$

Таким образом, на эту же сумму можно было бы купить 9 компьютеров.

Ответ: 9

8 Из каких отношений нельзя составить пропорцию?

1) $2 : 7$ и $11 : 33$

2) $\frac{1}{3} : \frac{1}{4}$ и $2 : \frac{1}{2}$

3) $0,1 : 7$ и $0,5 : 35$

4) $0,02 : 0,1$ и $2 : 10$

Чтобы определить, из каких отношений нельзя составить пропорцию, необходимо для каждой пары отношений проверить, равны ли их значения. Пропорция представляет собой равенство двух отношений, то есть $a:b = c:d$. Если значения отношений равны, пропорцию составить можно, если не равны — нельзя.

Найдём значение первого отношения: $2:7 = \frac{2}{7}$.

Найдём значение второго отношения: $11:33 = \frac{11 \div 11}{33 \div 11} = \frac{1}{3}$.

Сравним значения: $\frac{2}{7} \neq \frac{1}{3}$, так как при проверке перекрестным умножением получаем $2 \cdot 3 = 6$ и $7 \cdot 1 = 7$, а $6 \neq 7$.

Ответ: из данных отношений нельзя составить пропорцию.

Найдём значение первого отношения: $\frac{1}{3} : \frac{1}{4} = \frac{1/3}{1/4} = \frac{1}{3} \cdot 4 = \frac{4}{3}$.

Найдём значение второго отношения: $2 : \frac{1}{2} = \frac{2}{1/2} = 2 \cdot 2 = 4$.

Сравним значения: $\frac{4}{3} \neq 4$.

Ответ: из данных отношений нельзя составить пропорцию.

Найдём значение первого отношения: $0,1 : 7 = \frac{0,1}{7} = \frac{1}{70}$.

Найдём значение второго отношения: $0,5 : 35 = \frac{0,5}{35} = \frac{5}{350} = \frac{1}{70}$.

Сравним значения: $\frac{1}{70} = \frac{1}{70}$.

Ответ: из данных отношений можно составить пропорцию.

Найдём значение первого отношения: $0,02 : 0,1 = \frac{0,02}{0,1} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$.

Найдём значение второго отношения: $2 : 10 = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$.

Сравним значения: $\frac{1}{5} = \frac{1}{5}$.

Ответ: из данных отношений можно составить пропорцию.

9 Дана пропорция $5 : a = 6 : b$. Какое из следующих равенств пропорцией не является?

1) $a : b = 5 : 6$

2) $b : a = 6 : 5$

3) $a : b = 6 : 5$

4) $a : 5 = b : 6$

Для решения этой задачи воспользуемся основным свойством пропорции. Исходная пропорция: $5 : a = 6 : b$.

Основное свойство пропорции $A : B = C : D$ заключается в том, что произведение ее крайних членов равно произведению средних членов: $A \cdot D = B \cdot C$.

В нашей пропорции $5$ и $b$ являются крайними членами, а $a$ и $6$ — средними. Применяя основное свойство, получаем следующее равенство:

$5 \cdot b = 6 \cdot a$

Теперь необходимо проверить каждое из предложенных равенств и определить, какое из них не эквивалентно равенству $5b = 6a$.

1) a : b = 5 : 6

Запишем данное соотношение как пропорцию дробей: $\frac{a}{b} = \frac{5}{6}$.

Используя правило перекрестного умножения, получаем: $a \cdot 6 = b \cdot 5$, что можно записать как $6a = 5b$. Это равенство идентично тому, что мы получили из исходной пропорции. Следовательно, это верная пропорция.

2) b : a = 6 : 5

Запишем данное соотношение как пропорцию дробей: $\frac{b}{a} = \frac{6}{5}$.

Используя правило перекрестного умножения, получаем: $b \cdot 5 = a \cdot 6$, что можно записать как $5b = 6a$. Это равенство также полностью совпадает с исходным. Следовательно, это верная пропорция.

3) a : b = 6 : 5

Запишем данное соотношение как пропорцию дробей: $\frac{a}{b} = \frac{6}{5}$.

Используя правило перекрестного умножения, получаем: $a \cdot 5 = b \cdot 6$, что можно записать как $5a = 6b$. Это равенство не эквивалентно исходному равенству $6a = 5b$. Следовательно, это не является верной пропорцией.

4) a : 5 = b : 6

Запишем данное соотношение как пропорцию дробей: $\frac{a}{5} = \frac{b}{6}$.

Используя правило перекрестного умножения, получаем: $a \cdot 6 = 5 \cdot b$, что можно записать как $6a = 5b$. Это равенство эквивалентно исходному. Следовательно, это верная пропорция. (Данная пропорция получается из исходной $5:a=6:b$ путем инвертирования обеих частей).

Таким образом, единственное равенство, которое не следует из данной пропорции, находится под номером 3.

Ответ: 3

10 Как можно найти неизвестный член пропорции $\frac{x}{1,2} = \frac{5}{8}$?

1) $x = \frac{8 \cdot 1,2}{5}$

2) $x = \frac{1,2 \cdot 5}{8}$

3) $x = \frac{8 \cdot 5}{1,2}$

4) $x = \frac{8}{1,2 \cdot 5}$

Данное равенство $\frac{x}{1,2} = \frac{5}{8}$ является пропорцией. В общем виде пропорция записывается как $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$. Члены $a$ и $d$ называются крайними, а $b$ и $c$ — средними.

Основное свойство пропорции (также известное как правило «крест-накрест») гласит, что произведение крайних членов равно произведению средних членов:

$a \cdot d = b \cdot c$

В представленной пропорции $\frac{x}{1,2} = \frac{5}{8}$ крайними членами являются $x$ и $8$, а средними членами — $1,2$ и $5$.

Применив основное свойство, мы можем составить следующее уравнение:

$x \cdot 8 = 1,2 \cdot 5$

Чтобы найти неизвестный крайний член $x$, необходимо произведение средних членов ($1,2 \cdot 5$) разделить на известный крайний член ($8$):

$x = \frac{1,2 \cdot 5}{8}$

Это выражение в точности соответствует варианту ответа под номером 2.

Ответ: 2) $x = \frac{1,2 \cdot 5}{8}$

11 Одна машинистка печатает страницу за 6 мин, а другая – за 10 мин. Первая за некоторое время напечатала 40 страниц. Сколько страниц за это же время напечатает вторая? Установите, какая пропорция соответствует условию задачи ($x$ – число страниц, которые напечатает вторая машинистка).

1) $ \frac{6}{10} = \frac{x}{40} $

2) $ \frac{6}{10} = \frac{40}{x} $

3) $ \frac{6}{40} = \frac{x}{10} $

4) $ \frac{6}{40} = \frac{10}{x} $

Задача состоит из двух частей: найти количество страниц, напечатанных второй машинисткой, и определить соответствующую пропорцию.

Сколько страниц за это же время напечатает вторая?

1. Сначала определим общее время, которое было затрачено на работу. Первая машинистка печатает одну страницу за 6 минут и всего напечатала 40 страниц. Чтобы найти общее время, нужно умножить время печати одной страницы на количество страниц:

$T_{\text{общ}} = 6 \text{ мин/стр} \times 40 \text{ стр} = 240 \text{ минут}$

2. Теперь, зная общее время работы (240 минут), мы можем рассчитать, сколько страниц успеет напечатать вторая машинистка. Она тратит 10 минут на одну страницу. Для этого разделим общее время на время печати одной страницы второй машинкой:

$x = \frac{240 \text{ минут}}{10 \text{ мин/стр}} = 24 \text{ страницы}$

Ответ: 24 страницы.

Установите, какая пропорция соответствует условию задачи (x – число страниц, которые напечатает вторая машинистка).

В данной задаче существует обратная пропорциональная зависимость. Это означает, что чем больше времени машинистка тратит на печать одной страницы (т.е. чем ниже ее скорость), тем меньше страниц она напечатает за один и тот же промежуток времени.

Обозначим:

• $t_1 = 6$ мин — время на 1 страницу для первой машинистки.
• $t_2 = 10$ мин — время на 1 страницу для второй машинистки.
• $N_1 = 40$ страниц — количество страниц, напечатанных первой.
• $N_2 = x$ страниц — количество страниц, напечатанных второй.

Для обратной пропорции отношение времен будет равно обратному отношению количества страниц:

$\frac{t_1}{t_2} = \frac{N_2}{N_1}$

Подставим наши значения в эту формулу:

$\frac{6}{10} = \frac{x}{40}$

Эта пропорция соответствует варианту под номером 1).

Можно также составить уравнение, исходя из того, что общее время работы у обеих машинисток одинаковое:

$t_1 \times N_1 = t_2 \times N_2$

$6 \times 40 = 10 \times x$

Это равенство является результатом "перекрестного умножения" для пропорции $\frac{6}{10} = \frac{x}{40}$ (произведение крайних членов равно произведению средних), что еще раз подтверждает правильность выбора.

Ответ: 1) $\frac{6}{10} = \frac{x}{40}$.

12 Отрезок $AB$, длина которого равна 21 см, точками $C$ и $D$ разделён на три части в отношении $2 : 3 : 5$. Чему равна длина отрезка $CB$?

По условию задачи, отрезок AB длиной 21 см разделен точками C и D на три части в отношении $2 : 3 : 5$. Это означает, что длины отрезков AC, CD и DB соотносятся между собой как $2 : 3 : 5$.

Для решения задачи введем коэффициент пропорциональности $x$. Тогда длина одной части будет равна $x$ см.Исходя из отношения, длины отрезков будут равны:

• Длина отрезка AC: $2x$ см
• Длина отрезка CD: $3x$ см
• Длина отрезка DB: $5x$ см

Сумма длин этих трех отрезков равна общей длине отрезка AB, то есть 21 см. Составим и решим уравнение:$2x + 3x + 5x = 21$

Нахождение коэффициента пропорциональности x
$10x = 21$
$x = 21 \div 10$
$x = 2.1$

Таким образом, одна часть в данном отношении составляет 2.1 см.

Нахождение длины отрезка CB
Из рисунка видно, что отрезок CB является суммой отрезков CD и DB.$CB = CD + DB$

Подставим выражения для длин этих отрезков через $x$:$CB = 3x + 5x = 8x$

Теперь подставим найденное значение $x = 2.1$ в полученное выражение:$CB = 8 \times 2.1 = 16.8$ см

Ответ: 16.8 см.