Страница 77 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

234 РАБОТАЕМ С СИМВОЛАМИ Запишите с помощью букв свойство арифметического действия, которое зашифровано данными равенствами:

а) $6 \cdot 0 = 0$

$1,8 \cdot 0 = 0$

$-7 \cdot 0 = 0$

б) $-1 \cdot 36 = -36$

$0,5 \cdot (-1) = -0,5$

$-3 \cdot (-1) = 3$

в) $12 \cdot 1 = 12$

$1 \cdot (-8) = -8$

$1 \cdot \frac{2}{7} = \frac{2}{7}$

г) $1,7 + 0 = 1,7$

$-6 + 0 = -6$

$\frac{1}{3} + 0 = \frac{1}{3}$

а) Равенства $6 \cdot 0 = 0$, $1,8 \cdot 0 = 0$ и $-7 \cdot 0 = 0$ иллюстрируют свойство умножения на ноль. Это свойство утверждает, что произведение любого числа на ноль равно нулю. Если представить любое число в виде переменной a, то данное свойство можно записать формулой $a \cdot 0 = 0$.

Ответ: $a \cdot 0 = 0$

б) Равенства $-1 \cdot 36 = -36$, $0,5 \cdot (-1) = -0,5$ и $-3 \cdot (-1) = 3$ иллюстрируют свойство умножения на -1. При умножении любого числа на -1, получается число, противоположное исходному, то есть число с обратным знаком. Для любого числа a это свойство записывается как $a \cdot (-1) = -a$.

Ответ: $a \cdot (-1) = -a$

в) Равенства $12 \cdot 1 = 12$, $1 \cdot (-8) = -8$ и $1 \cdot \frac{2}{7} = \frac{2}{7}$ показывают свойство умножения на 1. При умножении любого числа на 1, результатом является само это число. Поэтому 1 называют нейтральным элементом по умножению. Для любого числа a это свойство можно записать в виде формулы $a \cdot 1 = a$.

Ответ: $a \cdot 1 = a$

г) Равенства $1,7 + 0 = 1,7$, $-6 + 0 = -6$ и $\frac{1}{3} + 0 = \frac{1}{3}$ демонстрируют свойство сложения с нулём. При сложении любого числа с нулём, сумма равна этому числу. Поэтому 0 называют нейтральным элементом по сложению. Для любого числа a это свойство записывается как $a + 0 = a$.

Ответ: $a + 0 = a$

235 Приведите три числовых примера, иллюстрирующие буквенное равенство:

а) $y/y = 1;$

б) $a + (-a) = 0;$

в) $-(-x) = x.$

а) Буквенное равенство $\frac{y}{y} = 1$ иллюстрирует правило, согласно которому любое число, отличное от нуля, при делении на само себя дает в результате единицу. Важным условием для этого равенства является $y \ne 0$, так как деление на ноль не определено.

Приведем три числовых примера:

1. Пусть $y = 5$. Тогда подставляем это значение в равенство: $\frac{5}{5} = 1$. Равенство верно.

2. Пусть $y = -23$. Тогда $\frac{-23}{-23} = 1$. Равенство верно.

3. Пусть $y = 0.7$. Тогда $\frac{0.7}{0.7} = 1$. Равенство верно.

Ответ: $\frac{5}{5} = 1$; $\frac{-23}{-23} = 1$; $\frac{0.7}{0.7} = 1$.

б) Буквенное равенство $a + (-a) = 0$ иллюстрирует свойство противоположных чисел. Сумма любого числа $a$ и противоположного ему числа $(-a)$ всегда равна нулю. Это свойство выполняется для любого действительного числа.

Приведем три числовых примера:

1. Пусть $a = 14$. Тогда $14 + (-14) = 14 - 14 = 0$. Равенство верно.

2. Пусть $a = -9$. Тогда $(-9) + (-(-9)) = -9 + 9 = 0$. Равенство верно.

3. Пусть $a = 3.14$. Тогда $3.14 + (-3.14) = 3.14 - 3.14 = 0$. Равенство верно.

Ответ: $14 + (-14) = 0$; $(-9) + 9 = 0$; $3.14 + (-3.14) = 0$.

в) Буквенное равенство $-(-x) = x$ иллюстрирует правило двойного отрицания. Оно гласит, что число, противоположное противоположному числу $x$, есть само число $x$. Проще говоря, два знака "минус" подряд дают "плюс".

Приведем три числовых примера:

1. Пусть $x = 10$. Тогда $-(-10) = 10$. Равенство верно.

2. Пусть $x = -6$. Тогда $-(-(-6)) = -(+6) = -6$. Равенство верно.

3. Пусть $x = 0$. Тогда $-(-0) = 0$. Равенство верно.

Ответ: $-(-10) = 10$; $-(-(-6)) = -6$; $-(-0) = 0$.

236 Как можно устно умножить какое-нибудь число на 1,5? Запишите соответствующее правило с помощью букв.

Чтобы устно умножить какое-нибудь число на 1,5, нужно к этому числу прибавить его половину.

Этот метод основан на том, что число 1,5 можно представить в виде суммы $1 + 0,5$ или в виде обыкновенной дроби $1\frac{1}{2}$.

Например, умножим число 50 на 1,5.
1. Находим половину от числа 50: $50 \div 2 = 25$.
2. Прибавляем эту половину к исходному числу: $50 + 25 = 75$.
Следовательно, $50 \times 1,5 = 75$.

Рассмотрим еще один пример с нечетным числом, например, 35.
1. Находим половину от числа 35: $35 \div 2 = 17,5$.
2. Прибавляем эту половину к исходному числу: $35 + 17,5 = 52,5$.
Следовательно, $35 \times 1,5 = 52,5$.

Соответствующее правило можно записать с помощью букв. Пусть $a$ — это любое число. Умножение этого числа на 1,5 можно представить как умножение на сумму $(1+0,5)$. Используя распределительное свойство умножения, мы можем записать:
$a \times 1,5 = a \times (1 + 0,5) = a \times 1 + a \times 0,5$
Так как $a \times 1 = a$, а $a \times 0,5$ — это половина числа $a$ (то есть $\frac{a}{2}$), то правило в буквенном виде будет выглядеть так:
$a \times 1,5 = a + \frac{a}{2}$

Ответ: Чтобы устно умножить число на 1,5, нужно к этому числу прибавить его половину. Соответствующее правило, записанное с помощью букв: $a \times 1,5 = a + \frac{a}{2}$.

237 Запишите с помощью букв правило, которое зашифровано данными равенствами:

a) $\frac{1}{7} + \frac{3}{7} = \frac{1+3}{7}$,

$\frac{2}{11} + \frac{6}{11} = \frac{2+6}{11}$,

$\frac{3}{2} + \frac{9}{2} = \frac{3+9}{2}$;

б) $\frac{2}{3} - \frac{1}{3} = \frac{2-1}{3}$,

$\frac{5}{12} - \frac{8}{12} = \frac{5-8}{12}$,

$\frac{3}{5} - \frac{1}{5} = \frac{3-1}{5}$;

в) $\frac{2}{3} \cdot 4 = \frac{2 \cdot 4}{3}$,

$\frac{5}{8} \cdot 13 = \frac{5 \cdot 13}{8}$,

$\frac{4}{3} \cdot 12 = \frac{4 \cdot 12}{3}$;

г) $\frac{3}{4} \cdot \frac{5}{7} = \frac{3 \cdot 5}{4 \cdot 7}$,

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 1}$,

$\frac{11}{5} \cdot \frac{2}{9} = \frac{11 \cdot 9}{5 \cdot 2}$.

а) В данных равенствах показано правило сложения дробей с одинаковыми знаменателями. Чтобы сложить две дроби с одинаковыми знаменателями, нужно сложить их числители, а знаменатель оставить без изменений. Если обозначить дроби как $ \frac{a}{c} $ и $ \frac{b}{c} $, где $a$ и $b$ – числители, а $c$ – общий знаменатель, то правило можно записать в виде формулы.
Ответ: $ \frac{a}{c} + \frac{b}{c} = \frac{a+b}{c} $

б) Здесь зашифровано правило вычитания дробей с одинаковыми знаменателями. Чтобы найти разность двух дробей с одинаковыми знаменателями, нужно из числителя первой дроби вычесть числитель второй дроби, а знаменатель оставить прежним. Используя буквенные обозначения, где $ \frac{a}{c} $ – уменьшаемое, а $ \frac{b}{c} $ – вычитаемое, правило выглядит следующим образом.
Ответ: $ \frac{a}{c} - \frac{b}{c} = \frac{a-b}{c} $

в) В этих примерах демонстрируется правило умножения дроби на натуральное число. Чтобы умножить дробь на число, нужно числитель дроби умножить на это число, а знаменатель оставить без изменения. Обозначим дробь как $ \frac{a}{b} $, а натуральное число как $c$. Тогда правило запишется так.
Ответ: $ \frac{a}{b} \cdot c = \frac{a \cdot c}{b} $

г) Данные равенства иллюстрируют правило деления одной обыкновенной дроби на другую. Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно первую дробь (делимое) умножить на дробь, обратную второй (делителю). То есть, нужно числитель первой дроби умножить на знаменатель второй, а знаменатель первой дроби умножить на числитель второй. Пусть первая дробь будет $ \frac{a}{b} $, а вторая $ \frac{c}{d} $.
Ответ: $ \frac{a}{b} : \frac{c}{d} = \frac{a \cdot d}{b \cdot c} $

238 Выполните действия с дробями, записанными в буквенном виде:

а) $ \frac{a}{b} : \frac{b}{c} $;

в) $ \frac{a}{b} \cdot \frac{b}{a} $;

д) $ \left(\frac{a}{b} \cdot \frac{b}{c}\right) : \frac{a}{c} $;

б) $ \frac{m}{n} : \frac{a}{n} $;

г) $ \frac{a}{b} \cdot bc $;

е) $ \left(\frac{m}{n} : \frac{m}{a}\right) : \frac{a}{b} $.

а)

Чтобы умножить две дроби, нужно перемножить их числители и знаменатели. Затем, если возможно, сократить полученную дробь.

$\frac{a}{b} \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{b \cdot c}$

Сокращаем общий множитель b в числителе и знаменателе:

$\frac{a \cdot \cancel{b}}{\cancel{b} \cdot c} = \frac{a}{c}$

Ответ: $\frac{a}{c}$

б)

Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй (перевернутую).

$\frac{m}{n} : \frac{a}{n} = \frac{m}{n} \cdot \frac{n}{a} = \frac{m \cdot n}{n \cdot a}$

Сокращаем общий множитель n в числителе и знаменателе:

$\frac{m \cdot \cancel{n}}{\cancel{n} \cdot a} = \frac{m}{a}$

Ответ: $\frac{m}{a}$

в)

Применяем правило деления дробей: первую дробь умножаем на перевернутую вторую.

$\frac{a}{b} : \frac{b}{a} = \frac{a}{b} \cdot \frac{a}{b} = \frac{a \cdot a}{b \cdot b} = \frac{a^2}{b^2}$

Ответ: $\frac{a^2}{b^2}$

г)

Чтобы умножить дробь на выражение, нужно представить это выражение в виде дроби со знаменателем 1 и затем перемножить дроби.

$\frac{a}{b} \cdot bc = \frac{a}{b} \cdot \frac{bc}{1} = \frac{a \cdot bc}{b \cdot 1} = \frac{abc}{b}$

Сокращаем общий множитель b:

$\frac{a\cancel{b}c}{\cancel{b}} = ac$

Ответ: $ac$

д)

Сначала выполняем действие в скобках (умножение), а затем деление.

1. Действие в скобках:

$\frac{a}{b} \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot \cancel{b}}{\cancel{b} \cdot c} = \frac{a}{c}$

2. Деление:

$\frac{a}{c} : \frac{a}{c} = 1$

(Любое выражение, деленное само на себя, равно 1, при условии что оно не равно нулю).

Ответ: $1$

е)

Выполняем действия по порядку, начиная с операции в скобках.

1. Деление в скобках:

$\frac{m}{n} : \frac{m}{a} = \frac{m}{n} \cdot \frac{a}{m} = \frac{\cancel{m} \cdot a}{n \cdot \cancel{m}} = \frac{a}{n}$

2. Второе деление:

$\frac{a}{n} : \frac{a}{b} = \frac{a}{n} \cdot \frac{b}{a} = \frac{\cancel{a} \cdot b}{n \cdot \cancel{a}} = \frac{b}{n}$

Ответ: $\frac{b}{n}$