Страница 83 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упростите выражение (254–255).

254 а) $24 + m - 36;$

б) $x - 10 - 2;$

в) $a - 1 + 1;$

г) $12 - b - 3;$

д) $-8 - 12 + c;$

е) $10 - y - 10.$

а) Чтобы упростить выражение $24 + m - 36$, нужно сгруппировать и сложить числовые слагаемые (константы). В данном случае это 24 и -36. Переменная $m$ остается без изменений.

Выполним вычитание: $24 - 36 = -12$.

Теперь подставим полученное значение обратно в выражение: $m - 12$.

Ответ: $m - 12$

б) В выражении $x - 10 - 2$ нужно упростить числовую часть. Складываем константы -10 и -2.

Выполним сложение: $-10 - 2 = -12$.

Подставляем результат в выражение: $x - 12$.

Ответ: $x - 12$

в) В выражении $a - 1 + 1$ мы видим два противоположных числа: -1 и 1. Их сумма равна нулю.

Выполним сложение: $-1 + 1 = 0$.

Таким образом, выражение упрощается до $a + 0$, что равно $a$.

Ответ: $a$

г) Чтобы упростить выражение $12 - b - 3$, сгруппируем числовые слагаемые 12 и -3. Переменная $-b$ остается без изменений.

Выполним вычитание: $12 - 3 = 9$.

В результате получаем выражение: $9 - b$.

Ответ: $9 - b$

д) В выражении $-8 - 12 + c$ нужно сложить константы -8 и -12.

Выполним сложение: $-8 - 12 = -20$.

Подставив результат, получаем: $-20 + c$. Для удобства записи это можно представить как $c - 20$.

Ответ: $c - 20$

е) В выражении $10 - y - 10$ сгруппируем константы 10 и -10. Их сумма равна нулю.

Выполним вычитание: $10 - 10 = 0$.

Выражение принимает вид $0 - y$, что равно $-y$.

Ответ: $-y$

255 а) $b - a + b + a;$

б) $x - y - z + y;$

в) $c - 10 + 15 - c;$

г) $x + y + x + x - y;$

д) $x + x - 15 + 15;$

е) $a - 1 + a - 1 + a - 1;$

ж) $a - 3 + b + 3;$

з) $m + m + 1 + m - 20.$

а) Чтобы упростить выражение $b - a + b + a$, сгруппируем подобные слагаемые. Подобные слагаемые — это слагаемые с одинаковой буквенной частью. В данном случае это слагаемые с переменной $b$ и слагаемые с переменной $a$. Используем переместительный закон сложения, чтобы поставить их рядом.

$b - a + b + a = (b + b) + (-a + a)$

Теперь выполним действия в каждой группе:

$b + b = 2b$

$-a + a = 0$

Сложим полученные результаты:

$2b + 0 = 2b$

Ответ: $2b$

б) В выражении $x - y - z + y$ сгруппируем подобные слагаемые. Подобными являются слагаемые $-y$ и $+y$.

$x - y - z + y = x - z + (-y + y)$

Сумма противоположных слагаемых равна нулю:

$-y + y = 0$

Подставим это значение обратно в выражение:

$x - z + 0 = x - z$

Ответ: $x - z$

в) Упростим выражение $c - 10 + 15 - c$. Сгруппируем подобные слагаемые: переменные $c$ и $-c$, а также числа $-10$ и $+15$.

$c - 10 + 15 - c = (c - c) + (15 - 10)$

Выполним вычисления в каждой группе:

$c - c = 0$

$15 - 10 = 5$

Сложим результаты:

$0 + 5 = 5$

Ответ: $5$

г) В выражении $x + y + x + x - y$ сгруппируем подобные слагаемые. Слагаемые с $x$: $x, +x, +x$. Слагаемые с $y$: $+y, -y$.

$x + y + x + x - y = (x + x + x) + (y - y)$

Выполним сложение и вычитание в группах:

$x + x + x = 3x$

$y - y = 0$

Сложим полученные результаты:

$3x + 0 = 3x$

Ответ: $3x$

д) Упростим выражение $x + x - 15 + 15$. Сгруппируем подобные слагаемые: переменные $x$ и $+x$, и числа $-15$ и $+15$.

$x + x - 15 + 15 = (x + x) + (-15 + 15)$

Выполним вычисления в каждой группе:

$x + x = 2x$

$-15 + 15 = 0$

Сложим результаты:

$2x + 0 = 2x$

Ответ: $2x$

е) Упростим выражение $a - 1 + a - 1 + a - 1$. Сгруппируем подобные слагаемые. Слагаемые с переменной $a$: $a, +a, +a$. Числовые слагаемые: $-1, -1, -1$.

$a - 1 + a - 1 + a - 1 = (a + a + a) + (-1 - 1 - 1)$

Выполним сложение в каждой группе:

$a + a + a = 3a$

$-1 - 1 - 1 = -3$

Объединим результаты:

$3a - 3$

Ответ: $3a - 3$

ж) Упростим выражение $a - 3 + b + 3$. Сгруппируем подобные слагаемые. Подобными являются только числовые слагаемые: $-3$ и $+3$.

$a - 3 + b + 3 = a + b + (-3 + 3)$

Сумма противоположных чисел равна нулю:

$-3 + 3 = 0$

Подставим результат в выражение:

$a + b + 0 = a + b$

Ответ: $a + b$

з) Упростим выражение $m + m + 1 + m - 20$. Сгруппируем подобные слагаемые. Слагаемые с переменной $m$: $m, +m, +m$. Числовые слагаемые: $+1$ и $-20$.

$m + m + 1 + m - 20 = (m + m + m) + (1 - 20)$

Выполним вычисления в каждой группе:

$m + m + m = 3m$

$1 - 20 = -19$

Объединим результаты:

$3m - 19$

Ответ: $3m - 19$

256 Упростите произведение и назовите коэффициент:

а) $2x \cdot 3y;$

б) $2a \cdot 0,5b;$

в) $10a \cdot \frac{1}{2}b \cdot 3c;$

г) $m \cdot 0,1n \cdot 10;$

д) $a \cdot (-3)d \cdot 4;$

е) $-8p \cdot 0,125k;$

ж) $-6z \cdot (-2x) \cdot y;$

з) $-a \cdot (-b) \cdot 4c.$

а) $2x \cdot 3y$

Чтобы упростить это произведение, мы используем переместительный и сочетательный законы умножения. Сначала сгруппируем и перемножим числовые коэффициенты, а затем сгруппируем и перемножим переменные.

Умножение коэффициентов: $2 \cdot 3 = 6$.

Умножение переменных: $x \cdot y = xy$.

Объединив результаты, получаем упрощенное выражение: $6xy$.

Коэффициент в этом выражении — это числовой множитель, стоящий перед переменными, то есть 6.

Ответ: Упрощенное выражение: $6xy$, коэффициент: 6.

б) $2a \cdot 0,5b$

Умножаем числовые коэффициенты: $2 \cdot 0,5 = 1$.

Умножаем переменные: $a \cdot b = ab$.

В результате получаем: $1 \cdot ab = ab$.

Коэффициентом является число 1. Обычно, когда коэффициент равен 1, его не записывают.

Ответ: Упрощенное выражение: $ab$, коэффициент: 1.

в) $10a \cdot \frac{1}{2}b \cdot 3c$

Перемножим все числовые коэффициенты: $10 \cdot \frac{1}{2} \cdot 3 = \frac{10}{2} \cdot 3 = 5 \cdot 3 = 15$.

Перемножим все переменные: $a \cdot b \cdot c = abc$.

Упрощенное выражение имеет вид: $15abc$.

Коэффициент этого выражения равен 15.

Ответ: Упрощенное выражение: $15abc$, коэффициент: 15.

г) $m \cdot 0,1n \cdot 10$

Сгруппируем и перемножим числовые множители. Коэффициент при переменной $m$ равен 1. Получаем: $1 \cdot 0,1 \cdot 10 = 1$.

Перемножим переменные: $m \cdot n = mn$.

Итоговое выражение: $1 \cdot mn = mn$.

Коэффициент этого выражения равен 1.

Ответ: Упрощенное выражение: $mn$, коэффициент: 1.

д) $a \cdot (-3)d \cdot 4$

Перемножим числовые коэффициенты, учитывая, что коэффициент при $a$ равен 1: $1 \cdot (-3) \cdot 4 = -12$.

Перемножим переменные: $a \cdot d = ad$.

Упрощенное выражение: $-12ad$.

Коэффициент этого выражения равен -12.

Ответ: Упрощенное выражение: $-12ad$, коэффициент: -12.

е) $-8p \cdot 0,125k$

Перемножим числовые коэффициенты: $-8 \cdot 0,125$. Для удобства вычислений можно представить десятичную дробь $0,125$ в виде обыкновенной: $0,125 = \frac{125}{1000} = \frac{1}{8}$.

Тогда умножение коэффициентов будет: $-8 \cdot \frac{1}{8} = -1$.

Перемножим переменные: $p \cdot k = pk$.

Результат: $-1 \cdot pk = -pk$.

Коэффициент этого выражения равен -1.

Ответ: Упрощенное выражение: $-pk$, коэффициент: -1.

ж) $-6z \cdot (-2x) \cdot y$

Перемножим числовые коэффициенты: $(-6) \cdot (-2) = 12$.

Перемножим переменные: $z \cdot x \cdot y$. Для стандартного вида одночлена принято располагать переменные в алфавитном порядке: $xyz$.

Получаем упрощенное выражение: $12xyz$.

Коэффициент этого выражения равен 12.

Ответ: Упрощенное выражение: $12xyz$, коэффициент: 12.

з) $-a \cdot (-b) \cdot 4c$

Это произведение можно записать как $(-1 \cdot a) \cdot (-1 \cdot b) \cdot (4 \cdot c)$.

Перемножим числовые коэффициенты: $(-1) \cdot (-1) \cdot 4 = 1 \cdot 4 = 4$.

Перемножим переменные: $a \cdot b \cdot c = abc$.

Объединяем результаты и получаем: $4abc$.

Коэффициент этого выражения равен 4.

Ответ: Упрощенное выражение: $4abc$, коэффициент: 4.

257 Упростите выражение:

а) $-x \cdot (-y) \cdot (-z)$;

б) $-m \cdot (-n) \cdot p$;

в) $-a \cdot (-b) \cdot (-c) \cdot (-d)$;

г) $a \cdot (-b) \cdot (-c) \cdot (-d)$.

а)

Чтобы упростить выражение $-x \cdot (-y) \cdot (-z)$, необходимо определить знак итогового произведения. В выражении три отрицательных множителя ($-x$, $-y$, $-z$). Произведение нечетного числа отрицательных множителей является отрицательным. Далее перемножаем модули переменных: $x \cdot y \cdot z = xyz$. Таким образом, результат будет со знаком "минус".

$-x \cdot (-y) \cdot (-z) = -xyz$

Ответ: $-xyz$

б)

В выражении $-m \cdot (-n) \cdot p$ содержится два отрицательных множителя ($-m$ и $-n$). Произведение четного числа отрицательных множителей является положительным. Перемножаем модули переменных: $m \cdot n \cdot p = mnp$. Результат будет со знаком "плюс".

$-m \cdot (-n) \cdot p = mnp$

Ответ: $mnp$

в)

В выражении $-a \cdot (-b) \cdot (-c) \cdot (-d)$ четыре отрицательных множителя. Поскольку 4 — это четное число, итоговое произведение будет положительным. Перемножаем модули переменных: $a \cdot b \cdot c \cdot d = abcd$.

$-a \cdot (-b) \cdot (-c) \cdot (-d) = abcd$

Ответ: $abcd$

г)

В выражении $a \cdot (-b) \cdot (-c) \cdot (-d)$ содержится три отрицательных множителя ($-b$, $-c$, $-d$). Поскольку 3 — это нечетное число, итоговое произведение будет отрицательным. Перемножаем модули переменных: $a \cdot b \cdot c \cdot d = abcd$. Приписываем к результату знак "минус".

$a \cdot (-b) \cdot (-c) \cdot (-d) = -abcd$

Ответ: $-abcd$

258 Для каждого выражения из верхней строки выберите равное ему из нижней строки и запишите соответствующее равенство.

$a(-b)c$ $(-c)(-a)b$ $ad(-c)(-b)$ $(-a)(-b)(-c)d$

$abcd$ $-abcd$ $abc$ $-abc$

a(-b)c
Чтобы упростить выражение $a(-b)c$, мы перемножаем все множители. В выражении присутствует один отрицательный множитель ($-b$). Произведение нечетного числа отрицательных множителей дает отрицательный результат. Поэтому, используя переместительное свойство умножения, мы можем записать:
$a(-b)c = a \cdot (-1) \cdot b \cdot c = -(a \cdot b \cdot c) = -abc$.
Соответствующее выражение из нижней строки: $-abc$.
Ответ: $a(-b)c = -abc$.

(-c)(-a)b
Рассмотрим выражение $(-c)(-a)b$. В нем два отрицательных множителя: $-c$ и $-a$. Произведение двух отрицательных чисел (четного числа отрицательных множителей) является положительным числом.
$(-c)(-a)b = (-1) \cdot c \cdot (-1) \cdot a \cdot b = ((-1) \cdot (-1)) \cdot (a \cdot b \cdot c) = 1 \cdot abc = abc$.
Соответствующее выражение из нижней строки: $abc$.
Ответ: $(-c)(-a)b = abc$.

ad(-c)(-b)
В выражении $ad(-c)(-b)$ два отрицательных множителя: $-c$ и $-b$. Как и в предыдущем случае, произведение четного числа отрицательных множителей положительно.
$ad(-c)(-b) = a \cdot d \cdot (-1) \cdot c \cdot (-1) \cdot b = ((-1) \cdot (-1)) \cdot (a \cdot b \cdot c \cdot d) = 1 \cdot abcd = abcd$.
Соответствующее выражение из нижней строки: $abcd$.
Ответ: $ad(-c)(-b) = abcd$.

(-a)(-b)(-c)d
В выражении $(-a)(-b)(-c)d$ три отрицательных множителя: $-a$, $-b$ и $-c$. Произведение нечетного числа отрицательных множителей является отрицательным числом.
$(-a)(-b)(-c)d = (-1) \cdot a \cdot (-1) \cdot b \cdot (-1) \cdot c \cdot d = ((-1) \cdot (-1) \cdot (-1)) \cdot (abcd) = -1 \cdot abcd = -abcd$.
Соответствующее выражение из нижней строки: $-abcd$.
Ответ: $(-a)(-b)(-c)d = -abcd$.

259 Упростите произведение:

а) $3m \cdot 2m;$

б) $10a \cdot 0,2a;$

в) $3c \cdot 0,5x \cdot c;$

г) $x \cdot 5y \cdot x;$

д) $(-z)xz(-y);$

е) $(-2a) \cdot (-5a);$

ж) $-3m \cdot (-2n) \cdot m;$

з) $4c \cdot (-2c) \cdot (-b) \cdot (-b).$

а) Чтобы упростить произведение $3m \cdot 2m$, нужно перемножить числовые коэффициенты и переменные отдельно.
Произведение числовых коэффициентов: $3 \cdot 2 = 6$.
Произведение переменных: $m \cdot m = m^2$.
Объединив результаты, получаем: $6m^2$.
Ответ: $6m^2$.

б) Для упрощения произведения $10a \cdot 0,2a$ сгруппируем числовые коэффициенты и переменные.
Произведение коэффициентов: $10 \cdot 0,2 = 2$.
Произведение переменных: $a \cdot a = a^2$.
В результате получаем: $2a^2$.
Ответ: $2a^2$.

в) Упростим выражение $3c \cdot 0,5x \cdot c$.
Сгруппируем числовые множители и переменные: $(3 \cdot 0,5) \cdot (c \cdot x \cdot c)$.
Перемножим числа: $3 \cdot 0,5 = 1,5$.
Перемножим переменные, сгруппировав одинаковые: $(c \cdot c) \cdot x = c^2x$.
Итоговый результат: $1,5c^2x$.
Ответ: $1,5c^2x$.

г) Для упрощения произведения $x \cdot 5y \cdot x$ используем переместительный закон умножения, чтобы сгруппировать одинаковые множители.
Перегруппируем множители: $5 \cdot x \cdot x \cdot y$.
Выполним умножение переменных: $x \cdot x = x^2$.
Запишем упрощенное выражение: $5x^2y$.
Ответ: $5x^2y$.

д) Рассмотрим произведение $(-z)xz(-y)$.
Сначала определим знак произведения. У нас есть два отрицательных множителя ($-z$ и $-y$), поэтому произведение будет положительным: $(-z) \cdot (-y) = zy$.
Теперь выражение можно записать как $z \cdot x \cdot z \cdot y$.
Сгруппируем переменные: $x \cdot y \cdot (z \cdot z)$.
Перемножим одинаковые переменные: $z \cdot z = z^2$.
Конечный результат, записанный в алфавитном порядке: $xyz^2$.
Ответ: $xyz^2$.

е) Упростим произведение $(-2a) \cdot (-5a)$.
Перемножим числовые коэффициенты: $(-2) \cdot (-5) = 10$. Произведение двух отрицательных чисел положительно.
Перемножим переменные: $a \cdot a = a^2$.
Объединяем результаты: $10a^2$.
Ответ: $10a^2$.

ж) Упростим выражение $-3m \cdot (-2n) \cdot m$.
Сгруппируем и перемножим числовые коэффициенты: $(-3) \cdot (-2) = 6$.
Теперь сгруппируем и перемножим переменные: $m \cdot n \cdot m = (m \cdot m) \cdot n = m^2n$.
Соединяем числовую и буквенную части: $6m^2n$.
Ответ: $6m^2n$.

з) Упростим произведение $4c \cdot (-2c) \cdot (-b) \cdot (-b)$.
Сначала определим знак итогового выражения. В произведении три отрицательных множителя (в $-2c$, $-b$ и $-b$), поэтому результат будет отрицательным.
Перемножим модули числовых коэффициентов: $4 \cdot 2 = 8$.
Перемножим переменные: $c \cdot c \cdot b \cdot b = c^2b^2$.
Запишем результат, учитывая знак минус, и расположим переменные в алфавитном порядке: $-8b^2c^2$.
Ответ: $-8b^2c^2$.

260 Упростите выражение:

а) $2ab \cdot 3ac;$

б) $5xy \cdot (-0,2xy);$

в) $0,25cd \cdot \frac{1}{4}c;$

г) $8abc \cdot (-3ab);$

д) $-\frac{2}{3}mnp \cdot (-\frac{1}{2}n);$

е) $0,1xyz \cdot 2xy.$

а) Чтобы упростить выражение $2ab \cdot 3ac$, необходимо перемножить числовые коэффициенты и соответствующие переменные. Это делается с помощью переместительного и сочетательного законов умножения.

Сгруппируем коэффициенты и переменные:

$2ab \cdot 3ac = (2 \cdot 3) \cdot (a \cdot a) \cdot b \cdot c$

Выполним умножение в каждой группе:

Произведение числовых коэффициентов: $2 \cdot 3 = 6$.

Произведение переменных: $a \cdot a = a^{1+1} = a^2$.

Соединив результаты, получаем итоговое выражение: $6a^2bc$.

Ответ: $6a^2bc$.

б) Упростим выражение $5xy \cdot (-0,2xy)$. Сгруппируем множители:

$5xy \cdot (-0,2xy) = (5 \cdot (-0,2)) \cdot (x \cdot x) \cdot (y \cdot y)$

Перемножим коэффициенты: $5 \cdot (-0,2) = -1$.

Перемножим переменные: $x \cdot x = x^2$ и $y \cdot y = y^2$.

Объединяем полученные части: $-1 \cdot x^2y^2 = -x^2y^2$.

Ответ: $-x^2y^2$.

в) Упростим выражение $0,25cd \cdot \frac{1}{4}c$. Для удобства вычислений представим десятичную дробь $0,25$ в виде обыкновенной: $0,25 = \frac{25}{100} = \frac{1}{4}$.

Теперь выражение выглядит так: $\frac{1}{4}cd \cdot \frac{1}{4}c$.

Сгруппируем и перемножим коэффициенты и переменные:

$(\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4}) \cdot (c \cdot c) \cdot d = \frac{1}{16}c^2d$.

Ответ: $\frac{1}{16}c^2d$.

г) Упростим выражение $8abc \cdot (-3ab)$.

Группируем множители: $8abc \cdot (-3ab) = (8 \cdot (-3)) \cdot (a \cdot a) \cdot (b \cdot b) \cdot c$.

Находим произведение коэффициентов: $8 \cdot (-3) = -24$.

Находим произведение переменных: $a \cdot a = a^2$ и $b \cdot b = b^2$.

Собираем все вместе: $-24a^2b^2c$.

Ответ: $-24a^2b^2c$.

д) Упростим выражение $-\frac{2}{3}mnp \cdot (-\frac{1}{2}n)$.

Группируем множители: $(-\frac{2}{3} \cdot -\frac{1}{2}) \cdot m \cdot (n \cdot n) \cdot p$.

Перемножаем коэффициенты. Произведение двух отрицательных чисел положительно: $-\frac{2}{3} \cdot (-\frac{1}{2}) = \frac{2 \cdot 1}{3 \cdot 2} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.

Перемножаем переменные: $n \cdot n = n^2$.

Объединяем результаты: $\frac{1}{3}mn^2p$.

Ответ: $\frac{1}{3}mn^2p$.

е) Упростим выражение $0,1xyz \cdot 2xy$.

Сгруппируем множители: $0,1xyz \cdot 2xy = (0,1 \cdot 2) \cdot (x \cdot x) \cdot (y \cdot y) \cdot z$.

Умножаем числовые коэффициенты: $0,1 \cdot 2 = 0,2$.

Умножаем переменные: $x \cdot x = x^2$ и $y \cdot y = y^2$.

Записываем итоговое выражение: $0,2x^2y^2z$.

Ответ: $0,2x^2y^2z$.

261 Составьте выражение по условию задачи и упростите его:

а) Всего в автопарке $M$ машин, $\frac{5}{6}$ из них — автобусы, а $\frac{2}{3}$ из этих автобусов — микроавтобусы. Сколько в автопарке микроавтобусов?

б) В продаже было $x$ велосипедов, 80% из них — двухколёсные, среди которых 20% — гоночные. Сколько было в продаже же гоночных велосипедов?

а) По условию, общее количество машин в автопарке равно $M$.
Количество автобусов составляет $\frac{5}{6}$ от общего числа машин. Чтобы найти их количество, нужно общее число машин умножить на эту дробь:
$M \times \frac{5}{6}$ — количество автобусов.
Количество микроавтобусов составляет $\frac{2}{3}$ от количества автобусов. Чтобы найти их количество, нужно число автобусов умножить на эту долю:
$(M \times \frac{5}{6}) \times \frac{2}{3}$
Это и есть искомое выражение. Теперь упростим его:
$M \times \frac{5}{6} \times \frac{2}{3} = M \times \frac{5 \times 2}{6 \times 3} = M \times \frac{10}{18} = M \times \frac{5}{9} = \frac{5}{9}M$.
Ответ: $\frac{5}{9}M$ микроавтобусов.

б) По условию, общее количество велосипедов в продаже равно $x$.
Представим проценты в виде десятичных дробей: $80\% = 0.8$ и $20\% = 0.2$.
Количество двухколёсных велосипедов составляет $80\%$ от общего числа велосипедов. Чтобы найти их количество, нужно общее число велосипедов умножить на соответствующую десятичную дробь:
$x \times 0.8 = 0.8x$ — количество двухколёсных велосипедов.
Количество гоночных велосипедов составляет $20\%$ от количества двухколёсных. Чтобы найти их количество, нужно число двухколёсных велосипедов умножить на соответствующую десятичную дробь:
$(0.8x) \times 0.2$
Это и есть искомое выражение. Теперь упростим его:
$(0.8 \times 0.2) \times x = 0.16x$.
Ответ: $0.16x$ гоночных велосипедов.