Страница 81 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Сформулируйте правило преобразования суммы (фрагмент 2). Из каких законов оно следует?

Правило преобразования суммы

Правило преобразования суммы заключается в том, что в любой алгебраической сумме можно произвольно менять местами слагаемые и объединять их в группы в любом порядке. Результат вычисления суммы при этом не изменится. Это свойство позволяет проводить вычисления наиболее удобным и рациональным способом.

Например, в выражении $136 + 58 - 36 + 42$ можно сгруппировать слагаемые следующим образом для упрощения расчета: $(136 - 36) + (58 + 42) = 100 + 100 = 200$.

Это общее правило применимо как к числовым, так и к алгебраическим выражениям, где оно лежит в основе таких операций, как приведение подобных слагаемых.

Ответ: Правило преобразования суммы гласит, что значение суммы не изменяется при перестановке ее слагаемых и при любой их группировке.

Из каких законов оно следует?

Данное правило является следствием двух основных законов (свойств) операции сложения:

Во-первых, это коммутативный (переместительный) закон сложения, который гласит, что от перемены мест слагаемых сумма не меняется. В общем виде этот закон записывается формулой: $a + b = b + a$. Этот закон позволяет менять слагаемые местами.

Во-вторых, это ассоциативный (сочетательный) закон сложения, который гласит, что при сложении нескольких чисел их можно объединять в группы (расставлять скобки) произвольным образом. В общем виде: $(a + b) + c = a + (b + c)$.

Именно совместное применение этих двух законов позволяет выполнять любые перестановки и группировки слагаемых в сумме.

Ответ: Правило следует из коммутативного (переместительного) и ассоциативного (сочетательного) законов сложения.

Пользуясь примером 1 как образцом, упростите сумму $m - n + m + n$. Запишите подробную цепочку преобразований и объясните каждый шаг.

Чтобы упростить сумму $m - n + m + n$, необходимо выполнить последовательные преобразования, объясняя каждый шаг.

1. Исходное выражение
Дана сумма: $m - n + m + n$.

2. Группировка подобных слагаемых
$m - n + m + n = m + m - n + n$
Объяснение: Используем переместительное свойство сложения (от перемены мест слагаемых сумма не меняется), чтобы поставить рядом слагаемые с одинаковой буквенной частью (подобные слагаемые).

3. Объединение слагаемых с помощью скобок
$m + m - n + n = (m + m) + (-n + n)$
Объяснение: Используем сочетательное свойство сложения, чтобы объединить подобные слагаемые в группы для наглядности и удобства дальнейших вычислений. Выражение $-n+n$ является суммой противоположных чисел.

4. Сложение подобных слагаемых (приведение подобных)
$(m + m) + (-n + n) = 2m + 0$
Объяснение: Выполняем действия в скобках. Сумма $m$ и $m$ равна $2m$. Сумма противоположных слагаемых $-n$ и $n$ равна нулю.

5. Окончательное упрощение
$2m + 0 = 2m$
Объяснение: Прибавление нуля не изменяет значение выражения.

Таким образом, полная цепочка преобразований выглядит так: $m - n + m + n = m + m - n + n = (m + m) + (-n + n) = 2m + 0 = 2m$.

Ответ: $2m$

Сформулируйте правило преобразования произведения (фрагмент 3). Из каких законов оно следует?

$2x - (y - 3z)$

Сформулируйте правило преобразования произведения (фрагмент 3)

Правило преобразования произведения многочленов гласит: чтобы умножить многочлен на многочлен, нужно каждый член одного многочлена умножить на каждый член другого многочлена и полученные произведения сложить. Это правило также известно как правило раскрытия скобок.

Для примера умножения двух двучленов $(a+b)$ и $(c+d)$ это правило записывается в виде формулы:

$(a+b)(c+d) = ac + ad + bc + bd$

Если один из сомножителей — одночлен (например, $a$), а второй — многочлен (например, $b+c$), то правило является прямой записью распределительного закона:

$a(b+c) = ab + ac$

Из каких законов оно следует?

Правило преобразования произведения многочленов не является самостоятельной аксиомой, а является следствием применения более фундаментальных законов алгебры. Ключевым законом, на котором основан вывод, является распределительный (дистрибутивный) закон умножения относительно сложения. Также в процессе вывода и последующих упрощений используются сочетательный (ассоциативный) и переместительный (коммутативный) законы сложения и умножения.

Продемонстрируем вывод на примере произведения $(a+b)(c+d)$. Для этого применим распределительный закон последовательно. Сначала умножим каждый член первого многочлена ( $a$ и $b$ ) на весь второй многочлен $(c+d)$:

$(a+b)(c+d) = a(c+d) + b(c+d)$

Далее снова применим распределительный закон к каждому из получившихся слагаемых:

$a(c+d) = ac + ad$

$b(c+d) = bc + bd$

Теперь сложим все полученные произведения: $ac + ad + bc + bd$. Сочетательный и переместительный законы сложения позволяют нам записывать эту сумму без скобок и в любом удобном порядке.

Ответ: Правило преобразования произведения многочленов гласит, что каждый член одного многочлена нужно умножить на каждый член другого и результаты сложить. Это правило следует в первую очередь из распределительного закона умножения относительно сложения, а также из сочетательного и переместительного законов.

Пользуясь примером 2 как образцом, упростите произведение $2a \cdot (-3c)$.

Запишите подробную цепочку преобразований и объясните каждый шаг.

Чтобы упростить произведение $2a \cdot (-3c)$, нужно выполнить умножение числовых коэффициентов и буквенных множителей по отдельности, используя переместительное и сочетательное свойства умножения.

Подробная цепочка преобразований:

1. Исходное выражение:

$2a \cdot (-3c)$

Объяснение: Нам дано произведение двух одночленов $2a$ и $-3c$.

2. Применение свойств умножения:

$2a \cdot (-3c) = (2 \cdot (-3)) \cdot (a \cdot c)$

Объяснение: Согласно переместительному ($xy=yx$) и сочетательному ($x(yz)=(xy)z$) свойствам умножения, мы можем менять множители местами и группировать их по своему усмотрению. Мы сгруппировали числовые коэффициенты ($2$ и $-3$) и буквенные множители ($a$ и $c$).

3. Вычисление произведения числовых коэффициентов:

$(2 \cdot (-3)) = -6$

Объяснение: Умножаем число $2$ на число $-3$. Произведение чисел с разными знаками является отрицательным числом.

4. Вычисление произведения буквенных множителей:

$(a \cdot c) = ac$

Объяснение: Произведение переменных $a$ и $c$ записывается как $ac$.

5. Запись итогового результата:

$-6 \cdot ac = -6ac$

Объяснение: Мы объединяем полученный числовой коэффициент ($-6$) и буквенное выражение ($ac$), опуская знак умножения между ними. Это и есть упрощенное выражение.

Таким образом, полная цепочка преобразований выглядит следующим образом:
$2a \cdot (-3c) = (2 \cdot (-3)) \cdot (a \cdot c) = -6ac$

Ответ: $-6ac$

Чему равен коэффициент произведения $\frac{1}{3} abc? -0,2xy$? Как принято записы-сывать произведение, у которого коэффициент равен $1$? равен $-1$?

Чему равен коэффициент произведения $\frac{1}{3}abc$?

Коэффициентом в алгебраическом выражении (одночлене) называют числовой множитель, который стоит перед буквенной частью. В выражении $\frac{1}{3}abc$ буквенная часть — это $abc$, а числовой множитель, на который она умножается, — это $\frac{1}{3}$.

Ответ: $\frac{1}{3}$.

Чему равен коэффициент произведения $-0,2xy$?

Аналогично, в выражении $-0,2xy$ буквенной частью является $xy$. Числовой множитель перед ней равен $-0,2$. Знак "минус" является неотъемлемой частью коэффициента.

Ответ: $-0,2$.

Как принято записывать произведение, у которого коэффициент равен 1?

В алгебре принято упрощать запись. Поскольку умножение на единицу не изменяет значение выражения ($1 \cdot x = x$), коэффициент, равный 1, обычно опускают (не пишут). Например, произведение $1 \cdot cde$ принято записывать просто как $cde$.

Ответ: Если коэффициент равен 1, то он опускается, и записывается только буквенная часть выражения.

Как принято записывать произведение, у которого коэффициент равен -1?

Если коэффициент произведения равен -1, то для краткости записи опускают цифру "1", но знак "минус" обязательно сохраняют перед буквенной частью. Например, произведение $-1 \cdot mn$ принято записывать как $-mn$.

Ответ: Если коэффициент равен -1, то при записи опускают цифру 1, но знак "минус" сохраняется перед буквенной частью.

Упростите выражение: $5a \cdot \frac{1}{2}b$; $6x \cdot \left(-\frac{1}{6}y\right)$.

$5a \cdot \frac{1}{2}b$

Чтобы упростить данное алгебраическое выражение, необходимо перемножить числовые коэффициенты и буквенные множители (переменные) между собой.

1. Сначала определим числовые коэффициенты и переменные. В выражении $5a \cdot \frac{1}{2}b$ коэффициентами являются числа $5$ и $\frac{1}{2}$, а переменными — a и b.

2. Умножим числовые коэффициенты:
$5 \cdot \frac{1}{2} = \frac{5}{1} \cdot \frac{1}{2} = \frac{5 \cdot 1}{1 \cdot 2} = \frac{5}{2}$
Полученную неправильную дробь можно представить в виде десятичной дроби: $\frac{5}{2} = 2.5$.

3. Умножим переменные:
$a \cdot b = ab$

4. Объединим полученные результаты, чтобы получить упрощенное выражение:
$2.5 \cdot ab = 2.5ab$

Ответ: $2.5ab$

$6x \cdot (-\frac{1}{6}y)$

Для упрощения второго выражения применим тот же самый подход.

1. Определим числовые коэффициенты и переменные. В выражении $6x \cdot (-\frac{1}{6}y)$ коэффициенты — это $6$ и $-\frac{1}{6}$, а переменные — x и y.

2. Умножим числовые коэффициенты. При умножении положительного числа на отрицательное результат будет отрицательным:
$6 \cdot (-\frac{1}{6}) = -\left(6 \cdot \frac{1}{6}\right) = -\frac{6}{6} = -1$

3. Умножим переменные:
$x \cdot y = xy$

4. Объединим результаты. Произведение коэффициентов умножается на произведение переменных:
$-1 \cdot xy = -xy$
В алгебре принято не записывать коэффициент -1 перед буквенным выражением, поэтому результат записывается как $-xy$.

Ответ: $-xy$

245 Назовите слагаемые алгебраической суммы:

a) $a - b + c - d;$

б) $-x - y - z - 10;$

в) $3a - 5b + 6c - 2d - 1;$

г) $-2x - 3y - 10z + t;$

д) $ab + ac - bc - 4;$

е) $2xyz - 3xy + xz - y.$

а) Алгебраическая сумма — это выражение, которое можно представить в виде суммы положительных и отрицательных чисел (или одночленов). Чтобы найти слагаемые в выражении $a - b + c - d$, нужно представить его как сумму. Каждое вычитание можно заменить прибавлением противоположного числа: $a - b + c - d = a + (-b) + c + (-d)$. Следовательно, слагаемыми в данной алгебраической сумме являются одночлены, которые складываются.
Ответ: слагаемые: $a$, $-b$, $c$, $-d$.

б) В выражении $-x - y - z - 10$ все знаки — минусы. Представим это выражение в виде суммы: $-x - y - z - 10 = (-x) + (-y) + (-z) + (-10)$. Слагаемые — это члены этой суммы.
Ответ: слагаемые: $-x$, $-y$, $-z$, $-10$.

в) Рассмотрим выражение $3a - 5b + 6c - 2d - 1$. Каждое слагаемое — это одночлен со своим знаком. Представим выражение в виде суммы: $3a - 5b + 6c - 2d - 1 = 3a + (-5b) + 6c + (-2d) + (-1)$.
Ответ: слагаемые: $3a$, $-5b$, $6c$, $-2d$, $-1$.

г) В выражении $-2x - 3y - 10z + t$ слагаемыми являются одночлены вместе с их знаками. Представим выражение в виде суммы: $-2x - 3y - 10z + t = (-2x) + (-3y) + (-10z) + t$.
Ответ: слагаемые: $-2x$, $-3y$, $-10z$, $t$.

д) Рассмотрим выражение $ab + ac - bc - 4$. Слагаемые здесь — это произведения переменных и числа. Представим выражение в виде суммы, заменяя вычитание сложением противоположных выражений: $ab + ac - bc - 4 = ab + ac + (-bc) + (-4)$.
Ответ: слагаемые: $ab$, $ac$, $-bc$, $-4$.

е) В выражении $2xyz - 3xy + xz - y$ слагаемыми являются одночлены. Представим его в виде суммы: $2xyz - 3xy + xz - y = 2xyz + (-3xy) + xz + (-y)$.
Ответ: слагаемые: $2xyz$, $-3xy$, $xz$, $-y$.

246 Составьте алгебраическую сумму из следующих слагаемых:

а) $-x, -y, a, -b;$

б) $a, -b, -c, d;$

в) $2a, -2b, 4c, -3d;$

г) $-p, 12q, -2m, -3n, 5;$

д) $2xy, -3xz, yz, -2;$

е) $-abc, -2ac, bc, 4ab.$

а) Чтобы составить алгебраическую сумму из данных слагаемых ($-x, -y, a, -b$), нужно записать их последовательно, соединив знаком сложения. Если слагаемое отрицательное, его заключают в скобки.
Запись суммы: $(-x) + (-y) + a + (-b)$.
Далее раскрываем скобки. Сложение отрицательного числа эквивалентно вычитанию соответствующего положительного числа. Таким образом, получаем:
$-x - y + a - b$.
Ответ: $-x - y + a - b$

б) Даны слагаемые: $a, -b, -c, d$.
Записываем их в виде суммы: $a + (-b) + (-c) + d$.
Раскрывая скобки, получаем алгебраическую сумму:
$a - b - c + d$.
Ответ: $a - b - c + d$

в) Даны слагаемые: $2a, -2b, 4c, -3d$.
Записываем их в виде суммы: $2a + (-2b) + 4c + (-3d)$.
Раскрывая скобки, получаем алгебраическую сумму:
$2a - 2b + 4c - 3d$.
Ответ: $2a - 2b + 4c - 3d$

г) Даны слагаемые: $-p, 12q, -2m, -3n, 5$.
Записываем их в виде суммы: $(-p) + 12q + (-2m) + (-3n) + 5$.
Раскрывая скобки, получаем алгебраическую сумму:
$-p + 12q - 2m - 3n + 5$.
Ответ: $-p + 12q - 2m - 3n + 5$

д) Даны слагаемые: $2xy, -3xz, yz, -2$.
Записываем их в виде суммы: $2xy + (-3xz) + yz + (-2)$.
Раскрывая скобки, получаем алгебраическую сумму:
$2xy - 3xz + yz - 2$.
Ответ: $2xy - 3xz + yz - 2$

е) Даны слагаемые: $-abc, -2ac, bc, 4ab$.
Записываем их в виде суммы: $(-abc) + (-2ac) + bc + 4ab$.
Раскрывая скобки, получаем алгебраическую сумму:
$-abc - 2ac + bc + 4ab$.
Для удобства можно переставить слагаемые, например, начав с положительных: $4ab + bc - 2ac - abc$.
Ответ: $-abc - 2ac + bc + 4ab$

247 Выражение $x+(-y)+(-2z)$ можно записать в виде алгебраической суммы, опустив знаки сложения перед скобками:

$x+(-y)+(-2z)=x-y-2z.$

Воспользовавшись этим образцом, преобразуйте выражение:

а) $5a+(-b)+(-3c);$

б) $4x+y+(-6z);$

в) $-m+(-n)+p;$

г) $-m+(-n)+(-p).$

Данная задача основана на правиле раскрытия скобок, которому предшествует знак сложения. Если перед скобками стоит знак «+», то при раскрытии скобок знаки слагаемых внутри скобок не меняются. Это можно записать в виде формулы: $a + (b - c) = a + b - c$ и $a + (-b - c) = a - b - c$. Используем это правило для преобразования каждого выражения.

а) Чтобы преобразовать выражение $5a + (-b) + (-3c)$, мы опускаем знаки сложения перед скобками и сами скобки, сохраняя знаки слагаемых, которые были внутри. Сложение отрицательного числа $(-b)$ равносильно вычитанию положительного числа $b$. Аналогично, сложение $(-3c)$ равносильно вычитанию $3c$. Таким образом, выражение принимает вид:
$5a + (-b) + (-3c) = 5a - b - 3c$.
Ответ: $5a - b - 3c$

б) В выражении $4x + y + (-6z)$ слагаемое $y$ уже записано без скобок. Для слагаемого $(-6z)$ мы применяем то же правило: опускаем знак сложения и скобки, оставляя знак минус перед $6z$.
$4x + y + (-6z) = 4x + y - 6z$.
Ответ: $4x + y - 6z$

в) Рассмотрим выражение $-m + (-n) + p$. Здесь первое слагаемое $-m$ и третье слагаемое $p$ уже записаны без скобок. Для второго слагаемого $(-n)$ опускаем знак сложения и скобки.
$-m + (-n) + p = -m - n + p$.
Ответ: $-m - n + p$

г) В выражении $-m + (-n) + (-p)$ мы преобразуем второе и третье слагаемые. Сложение $(-n)$ становится вычитанием $n$, а сложение $(-p)$ становится вычитанием $p$.
$-m + (-n) + (-p) = -m - n - p$.
Ответ: $-m - n - p$