Страница 88 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

280 Составьте два выражения для вычисления площади фигуры (рис. 3.8, а, б) и покажите, как одно из этих выражений можно преобразовать в другое.

а) Площадь фигуры может быть выражена как сумма площадей двух меньших прямоугольников: $S = ab + ac$.

Также площадь фигуры может быть выражена как произведение высоты на общую ширину: $S = a(b + c)$.

Преобразование одного выражения в другое демонстрирует распределительный закон умножения относительно сложения:

$a(b + c) = ab + ac$

б) Площадь фигуры может быть выражена как сумма площадей трех меньших прямоугольников: $S = am + an + ak$.

Также площадь фигуры может быть выражена как произведение высоты на общую ширину: $S = a(m + n + k)$.

Преобразование одного выражения в другое также демонстрирует распределительный закон умножения относительно сложения (для трех слагаемых):

$a(m + n + k) = am + an + ak$

Рис. 3.8

а)

Фигура на рисунке 3.8, а является прямоугольником. Площадь прямоугольника вычисляется как произведение его сторон.

Первый способ. Мы можем рассматривать фигуру как один большой прямоугольник. Одна его сторона равна $a$, а другая является суммой отрезков $b$ и $c$, то есть равна $(b+c)$. Таким образом, первое выражение для площади $S$ будет:

$S_1 = a \cdot (b+c)$

Второй способ. Мы можем рассматривать фигуру как состоящую из двух меньших прямоугольников. Площадь левого прямоугольника со сторонами $a$ и $b$ равна $a \cdot b$. Площадь правого прямоугольника со сторонами $a$ и $c$ равна $a \cdot c$. Общая площадь равна сумме площадей этих двух прямоугольников:

$S_2 = a \cdot b + a \cdot c$

Преобразование. Чтобы показать, как одно выражение преобразуется в другое, воспользуемся распределительным свойством умножения относительно сложения. Раскроем скобки в первом выражении:

$a \cdot (b+c) = a \cdot b + a \cdot c$

Таким образом, мы видим, что первое выражение $S_1$ в результате преобразования становится равным второму выражению $S_2$.

Ответ: Два выражения для вычисления площади: $a(b+c)$ и $ab+ac$. Преобразование одного выражения в другое демонстрирует распределительное свойство умножения: $a(b+c) = ab+ac$.

б)

Фигура на рисунке 3.8, б также является прямоугольником.

Первый способ. Рассматриваем фигуру как один большой прямоугольник. Одна его сторона равна $a$, а другая является суммой отрезков $m$, $n$ и $k$, то есть равна $(m+n+k)$. Первое выражение для площади $S$ будет:

$S_1 = a \cdot (m+n+k)$

Второй способ. Рассматриваем фигуру как состоящую из трех меньших прямоугольников. Их площади равны $a \cdot m$, $a \cdot n$ и $a \cdot k$. Общая площадь равна сумме площадей этих трех прямоугольников:

$S_2 = a \cdot m + a \cdot n + a \cdot k$

Преобразование. Аналогично предыдущему пункту, используем распределительное свойство умножения. Раскроем скобки в первом выражении:

$a \cdot (m+n+k) = a \cdot m + a \cdot n + a \cdot k$

В результате преобразования первого выражения $S_1$ мы получаем второе выражение $S_2$.

Ответ: Два выражения для вычисления площади: $a(m+n+k)$ и $am+an+ak$. Преобразование одного выражения в другое демонстрирует распределительное свойство умножения: $a(m+n+k) = am+an+ak$.

281 Раскройте скобки в произведении:

а) $8(x + 3);$

б) $2(a - 1);$

в) $-9(a - 4);$

г) $-7(b + 5);$

д) $12(a - b);$

е) $-3(x - y).$

Чтобы раскрыть скобки в произведении, необходимо использовать распределительное свойство умножения: $a(b+c) = ab + ac$. Это означает, что множитель перед скобками нужно умножить на каждый член внутри скобок, сохраняя их знаки.

а) В выражении $8(x + 3)$ мы умножаем 8 на каждый член в скобках.

$8(x + 3) = 8 \cdot x + 8 \cdot 3$

Выполняем умножение:

$8x + 24$

Ответ: $8x + 24$.

б) В выражении $2(a - 1)$ мы умножаем 2 на каждый член в скобках, учитывая знак минус.

$2(a - 1) = 2 \cdot a - 2 \cdot 1$

Выполняем умножение:

$2a - 2$

Ответ: $2a - 2$.

в) В выражении $-9(a - 4)$ мы умножаем отрицательное число $-9$ на каждый член в скобках. При умножении отрицательного числа на отрицательное получается положительное.

$-9(a - 4) = (-9) \cdot a - (-9) \cdot 4$

Выполняем умножение:

$-9a - (-36) = -9a + 36$

Ответ: $-9a + 36$.

г) В выражении $-7(b + 5)$ мы умножаем $-7$ на каждый член в скобках.

$-7(b + 5) = (-7) \cdot b + (-7) \cdot 5$

Выполняем умножение:

$-7b - 35$

Ответ: $-7b - 35$.

д) В выражении $12(a - b)$ мы умножаем 12 на каждый член в скобках.

$12(a - b) = 12 \cdot a - 12 \cdot b$

Результат:

$12a - 12b$

Ответ: $12a - 12b$.

е) В выражении $-3(x - y)$ мы умножаем $-3$ на каждый член в скобках. Умножая на $-y$, мы меняем знак.

$-3(x - y) = (-3) \cdot x - (-3) \cdot y$

Выполняем умножение:

$-3x - (-3y) = -3x + 3y$

Ответ: $-3x + 3y$.

282 Выполните умножение:

а) $a(b - x);$

б) $x(x + y);$

в) $(b - a) \cdot (-2);$

г) $(10 - a) \cdot 4;$

д) $y(x - y - z);$

е) $(a - m + n) \cdot (-5).$

а) Для того чтобы выполнить умножение одночлена на многочлен, необходимо умножить этот одночлен на каждый член многочлена, используя распределительное свойство умножения $k(m+n) = km + kn$.

Умножим $a$ на каждый член в скобках $(b - x)$:

$a(b - x) = a \cdot b - a \cdot x = ab - ax$

Ответ: $ab - ax$

б) Умножим $x$ на каждый член в скобках $(x + y)$:

$x(x + y) = x \cdot x + x \cdot y = x^2 + xy$

Ответ: $x^2 + xy$

в) Умножим каждый член многочлена $(b - a)$ на $(-2)$. Порядок множителей не имеет значения.

$(b - a) \cdot (-2) = b \cdot (-2) - a \cdot (-2) = -2b - (-2a) = -2b + 2a$

Обычно записывают в порядке, начиная с положительного члена: $2a - 2b$.

Ответ: $2a - 2b$

г) Умножим каждый член многочлена $(10 - a)$ на $4$.

$(10 - a) \cdot 4 = 10 \cdot 4 - a \cdot 4 = 40 - 4a$

Ответ: $40 - 4a$

д) Умножим $y$ на каждый член многочлена $(x - y - z)$:

$y(x - y - z) = y \cdot x - y \cdot y - y \cdot z = xy - y^2 - yz$

Ответ: $xy - y^2 - yz$

е) Умножим каждый член многочлена $(a - m + n)$ на $(-5)$.

$(a - m + n) \cdot (-5) = a \cdot (-5) - m \cdot (-5) + n \cdot (-5) = -5a + 5m - 5n$

Ответ: $-5a + 5m - 5n$

283 Раскройте скобки в произведении:

a) $1/4(4x - 16)$;

б) $-1/3(3x + 12)$;

в) $(2x - 3y) \cdot (-3)$;

г) $2m(m - n)$;

д) $2x(a + 3b - c)$;

е) $-c(x - 2y + 3z)$.

а) Чтобы раскрыть скобки в выражении $\frac{1}{4}(4x - 16)$, необходимо применить распределительный закон умножения. Для этого нужно умножить множитель перед скобками, то есть $\frac{1}{4}$, на каждый член внутри скобок ($4x$ и $-16$).
Выполним умножение для первого члена в скобках:
$\frac{1}{4} \cdot 4x = \frac{4}{4}x = x$
Теперь выполним умножение для второго члена в скобках:
$\frac{1}{4} \cdot (-16) = -\frac{16}{4} = -4$
Объединим полученные результаты:
$x - 4$
Ответ: $x - 4$.

б) В выражении $-\frac{1}{3}(3x + 12)$ нужно умножить множитель $-\frac{1}{3}$ на каждый член в скобках ($3x$ и $12$).
Умножаем на первый член:
$-\frac{1}{3} \cdot 3x = -\frac{3}{3}x = -x$
Умножаем на второй член:
$-\frac{1}{3} \cdot 12 = -\frac{12}{3} = -4$
Результат сложения:
$-x - 4$
Ответ: $-x - 4$.

в) Для раскрытия скобок в выражении $(2x - 3y) \cdot (-3)$ необходимо каждый член, находящийся в скобках, умножить на $-3$.
Умножаем первый член:
$2x \cdot (-3) = -6x$
Умножаем второй член:
$(-3y) \cdot (-3) = 9y$
Складываем полученные произведения:
$-6x + 9y$
Ответ: $-6x + 9y$.

г) В выражении $2m(m - n)$ мы умножаем одночлен $2m$ на каждый член двучлена $(m - n)$.
Умножаем $2m$ на $m$:
$2m \cdot m = 2m^2$
Умножаем $2m$ на $-n$:
$2m \cdot (-n) = -2mn$
Итоговый многочлен:
$2m^2 - 2mn$
Ответ: $2m^2 - 2mn$.

д) В выражении $2x(a + 3b - c)$ нужно умножить $2x$ на каждый из трех членов в скобках ($a$, $3b$ и $-c$).
$2x \cdot a = 2ax$
$2x \cdot 3b = 6bx$
$2x \cdot (-c) = -2cx$
Складывая результаты, получаем:
$2ax + 6bx - 2cx$
Ответ: $2ax + 6bx - 2cx$.

е) Раскроем скобки в выражении $-c(x - 2y + 3z)$, умножая $-c$ на каждый член в скобках ($x$, $-2y$ и $3z$).
$-c \cdot x = -cx$
$-c \cdot (-2y) = 2cy$
$-c \cdot 3z = -3cz$
Объединяем все члены:
$-cx + 2cy - 3cz$
Ответ: $-cx + 2cy - 3cz$.

284 Упростите:

a) $c(a + 1) - c$;

б) $\frac{1}{4}(8b - 2) - 1$;

в) $m(1 + m) - (m - 1)$;

г) $\frac{1}{3}(3k + 9) - k$.

а) Чтобы упростить выражение $c(a + 1) - c$, нужно сначала раскрыть скобки. Для этого умножим $c$ на каждый член в скобках:

$c(a + 1) - c = c \cdot a + c \cdot 1 - c = ca + c - c$

Теперь приведем подобные слагаемые. Слагаемые $c$ и $-c$ взаимно уничтожаются:

$ca + (c - c) = ca + 0 = ca$

Ответ: $ca$

б) Чтобы упростить выражение $\frac{1}{4}(8b - 2) - 1$, раскроем скобки, умножив $\frac{1}{4}$ на каждый член в скобках:

$\frac{1}{4}(8b - 2) - 1 = \frac{1}{4} \cdot 8b - \frac{1}{4} \cdot 2 - 1$

Выполним умножение:

$\frac{8}{4}b - \frac{2}{4} - 1 = 2b - \frac{1}{2} - 1$

Теперь приведем подобные слагаемые (числовые значения):

$2b - (\frac{1}{2} + 1) = 2b - (\frac{1}{2} + \frac{2}{2}) = 2b - \frac{3}{2}$

Результат можно также представить в виде десятичной дроби:

$2b - 1.5$

Ответ: $2b - \frac{3}{2}$

в) Чтобы упростить выражение $m(1 + m) - (m - 1)$, раскроем обе скобки. Первую — умножением $m$ на каждый член, вторую — изменив знаки на противоположные из-за минуса перед скобкой:

$m(1 + m) - (m - 1) = (m \cdot 1 + m \cdot m) - m + 1 = m + m^2 - m + 1$

Теперь приведем подобные слагаемые. Слагаемые $m$ и $-m$ взаимно уничтожаются:

$m^2 + (m - m) + 1 = m^2 + 0 + 1 = m^2 + 1$

Ответ: $m^2 + 1$

г) Чтобы упростить выражение $\frac{1}{3}(3k + 9) - k$, раскроем скобки, умножив $\frac{1}{3}$ на каждый член в скобках:

$\frac{1}{3}(3k + 9) - k = \frac{1}{3} \cdot 3k + \frac{1}{3} \cdot 9 - k$

Выполним умножение:

$\frac{3}{3}k + \frac{9}{3} - k = 1k + 3 - k = k + 3 - k$

Теперь приведем подобные слагаемые. Слагаемые $k$ и $-k$ взаимно уничтожаются:

$(k - k) + 3 = 0 + 3 = 3$

Ответ: $3$

285 РАССУЖДАЕМ Расставьте скобки так, чтобы выражение в левой части равенства было равно выражению в правой части:

a) $x - x - x = x$;

б) $x - y - y - x = 2x$.

а)

Рассмотрим левую часть равенства: $x - x - x$. Наша задача — расставить скобки так, чтобы в результате получилось $x$.

Для достижения цели необходимо, чтобы вычитаемое стало равным нулю. Этого можно добиться, заключив в скобки вычитание $x - x$.

Проверим вариант с расстановкой скобок следующим образом: $x - (x - x)$.

Согласно порядку действий, сначала выполняем операцию в скобках: $x - x = 0$.

Теперь подставим полученное значение обратно в выражение: $x - 0 = x$.

В результате мы получили $x$, что соответствует правой части исходного равенства. Таким образом, скобки расставлены верно.

Ответ: $x - (x - x) = x$.

б)

Рассмотрим левую часть равенства: $x - y - y - x$. Наша задача — расставить скобки так, чтобы в результате получилось $2x$.

Чтобы получить $2x$, нам нужно, чтобы второй $x$ в выражении стал положительным ($+x$). Этого можно достичь, если он окажется внутри скобок, перед которыми стоит знак минус, так как при раскрытии скобок знак перед $x$ изменится на противоположный.

Проверим вариант с расстановкой скобок следующим образом: $x - (y - y - x)$.

Раскроем скобки. При раскрытии скобок, перед которыми стоит знак минус, знаки всех слагаемых внутри скобок меняются на противоположные: $x - (y - y - x) = x - y + y + x$.

Теперь сгруппируем и приведем подобные слагаемые: $(x + x) + (-y + y) = 2x + 0 = 2x$.

В результате мы получили $2x$, что соответствует правой части исходного равенства. Таким образом, скобки расставлены верно.

Ответ: $x - (y - y - x) = 2x$.

286 Упростите выражение:

а) $(ab - 1) - (ab + 1) - (a - b);$

б) $(m - mn) - (n - mn) + (m + n).$

а) Для упрощения выражения $(ab - 1) - (ab + 1) - (a - b)$ необходимо раскрыть скобки. При раскрытии скобок, перед которыми стоит знак «минус», знаки слагаемых внутри скобок меняются на противоположные.

$(ab - 1) - (ab + 1) - (a - b) = ab - 1 - ab - 1 - a + b$

Теперь сгруппируем подобные слагаемые — это слагаемые с одинаковой буквенной частью.

$(ab - ab) - a + b + (-1 - 1)$

Приведем подобные слагаемые, выполнив действия с их коэффициентами:

$ab - ab = 0$

$-1 - 1 = -2$

В результате получаем:

$0 - a + b - 2 = b - a - 2$

Ответ: $b - a - 2$

б) Упростим выражение $(m - mn) - (n - mn) + (m + n)$. Раскроем скобки, учитывая знаки перед ними.

$(m - mn) - (n - mn) + (m + n) = m - mn - n + mn + m + n$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$(m + m) + (-mn + mn) + (-n + n)$

Выполним действия:

$m + m = 2m$

$-mn + mn = 0$

$-n + n = 0$

Соберем полученные результаты вместе:

$2m + 0 + 0 = 2m$

Ответ: $2m$

287 a) В выражении $a + b + c$ выполните подстановку $a = x - y$, $b = y - z$, $c = x + z$ и упростите полученное выражение.

б) В выражении $a - b - c$ выполните подстановку $a = x + y$, $b = y + z$, $c = x - z$ и упростите полученное выражение.

а)

Дано выражение $a + b + c$ и подстановки $a = x - y$, $b = y - z$, $c = x + z$.

Подставим значения $a$, $b$ и $c$ в исходное выражение:

$a + b + c = (x - y) + (y - z) + (x + z)$

Раскроем скобки. Так как перед скобками стоят знаки плюса, знаки слагаемых внутри скобок не меняются:

$x - y + y - z + x + z$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$(x + x) + (-y + y) + (-z + z) = 2x + 0 + 0 = 2x$

Ответ: $2x$

б)

Дано выражение $a - b - c$ и подстановки $a = x + y$, $b = y + z$, $c = x - z$.

Подставим значения $a$, $b$ и $c$ в исходное выражение:

$a - b - c = (x + y) - (y + z) - (x - z)$

Раскроем скобки. При раскрытии скобок, перед которыми стоит знак минус, знаки слагаемых внутри скобок меняются на противоположные:

$x + y - y - z - x + z$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$(x - x) + (y - y) + (-z + z) = 0 + 0 + 0 = 0$

Ответ: $0$