Страница 94 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

310 Упростите выражение:

а) $a(b + 3) + b(a + 3) - 3(a + b);$

б) $2(x - y) + 6(y - x) - (4x - 4y);$

в) $a(b + c) - b(a + c) - c(a + b);$

г) $m(n - l) + n(l - m) + l(m - n).$

а) $a(b + 3) + b(a + 3) - 3(a + b)$

Сначала раскроем все скобки в выражении, применяя распределительный закон умножения ($x(y+z) = xy + xz$):

$a(b + 3) = a \cdot b + a \cdot 3 = ab + 3a$

$b(a + 3) = b \cdot a + b \cdot 3 = ab + 3b$

$-3(a + b) = -3 \cdot a - 3 \cdot b = -3a - 3b$

Теперь подставим раскрытые скобки обратно в исходное выражение и получим:

$ab + 3a + ab + 3b - 3a - 3b$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые (слагаемые с одинаковой буквенной частью):

$(ab + ab) + (3a - 3a) + (3b - 3b) = 2ab + 0 + 0 = 2ab$

Ответ: $2ab$

б) $2(x - y) + 6(y - x) - (4x - 4y)$

Раскроем все скобки в данном выражении:

$2(x - y) = 2x - 2y$

$6(y - x) = 6y - 6x$

$-(4x - 4y) = -4x + 4y$ (при раскрытии скобок, перед которыми стоит знак минус, знаки слагаемых в скобках меняются на противоположные).

Подставим полученные выражения обратно:

$2x - 2y + 6y - 6x - 4x + 4y$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые по переменным $x$ и $y$:

$(2x - 6x - 4x) + (-2y + 6y + 4y) = -8x + 8y$

Выражение также можно записать в виде $8y - 8x$ или, вынеся общий множитель 8 за скобки, $8(y - x)$.

Ответ: $8y - 8x$

в) $a(b + c) - b(a + c) - c(a + b)$

Раскроем скобки в каждом члене выражения:

$a(b + c) = ab + ac$

$-b(a + c) = -ba - bc = -ab - bc$

$-c(a + b) = -ca - cb = -ac - bc$

Теперь сложим все полученные части:

$ab + ac - ab - bc - ac - bc$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$(ab - ab) + (ac - ac) + (-bc - bc) = 0 + 0 - 2bc = -2bc$

Ответ: $-2bc$

г) $m(n - l) + n(l - m) + l(m - n)$

Раскроем скобки в каждом слагаемом выражения:

$m(n - l) = mn - ml$

$n(l - m) = nl - nm = nl - mn$ (поскольку $nm = mn$)

$l(m - n) = lm - ln = ml - nl$ (поскольку $lm = ml$ и $ln = nl$)

Сложим все полученные части вместе:

$mn - ml + nl - mn + ml - nl$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые. Каждая пара слагаемых взаимно уничтожается:

$(mn - mn) + (-ml + ml) + (nl - nl) = 0 + 0 + 0 = 0$

Ответ: $0$

311 РАССУЖДАЕМ Расставьте скобки так, чтобы путём преобразования левой части равенства можно было получить правую часть:

а) $2k - a - k - a = k;$

б) $2k - a - k - a = k - a;$

в) $ab + 1 - ab + 1 = 0;$

г) $ab + 1 - ab + 1 = b + 1.$

а) Чтобы левая часть равенства стала равна $k$, необходимо сгруппировать последние два члена выражения в скобки. При этом, поскольку перед скобкой стоит знак "минус", знаки внутри скобок изменятся на противоположные.

Проверим преобразование: $2k - a - (k - a) = 2k - a - k + a$.

Теперь приведем подобные слагаемые:

$(2k - k) + (-a + a) = k + 0 = k$.

Равенство $k = k$ выполняется.

Ответ: $2k - a - (k - a) = k$.

б) В данном равенстве, скорее всего, допущена опечатка. Левая часть выражения $2k - a - k - a$ приводится к виду $k - 2a$. С помощью расстановки скобок можно получить и другие результаты (например, $k$ или $3k - 2a$), но получить $k - a$ при помощи стандартных алгебраических правил невозможно. Наиболее вероятная опечатка — в правой части равенства. Если предположить, что в правой части должно было быть $k - 2a$, то равенство становится верным при следующей расстановке скобок:

$(2k - a - k) - a = (k - a) - a = k - 2a$.

Ответ: В условии задачи, вероятно, ошибка. Если предположить, что правая часть равна $k-2a$, то решение: $(2k - a - k) - a = k - 2a$.

в) В этом равенстве, по-видимому, также есть опечатка. Левая часть $ab + 1 - ab + 1$ после упрощения равна $2$. Чтобы в результате получился $0$, необходимо, чтобы выражения взаимно уничтожились. Это возможно, если бы левая часть имела вид $ab + 1 - ab - 1$. В таком случае можно было бы сгруппировать члены следующим образом:

$ab + 1 - (ab + 1) = ab + 1 - ab - 1 = 0$.

Ответ: При условии, что в левой части была допущена опечатка и выражение должно быть $ab + 1 - ab - 1$, решение: $ab + 1 - (ab + 1) = 0$.

г) Левая часть этого равенства, как и в предыдущем пункте, равна $2$. Чтобы в результате преобразований получить $b + 1$, в выражении должна присутствовать переменная $b$ отдельно от произведения $ab$. Вероятнее всего, последний член `+1` является опечаткой, и вместо него должен стоять `+b`. Если левая часть выражения выглядит как $ab + 1 - ab + b$, то скобки можно расставить следующим образом:

$(ab - ab) + 1 + b = 0 + 1 + b = b + 1$.

Равенство $b + 1 = b + 1$ выполняется.

Ответ: При условии, что в левой части была допущена опечатка и выражение должно быть $ab + 1 - ab + b$, решение: $(ab - ab) + 1 + b = b + 1$.

312 Раскройте скобки:

а) $4y - (3y - (2y + 1));$

б) $a - (2x - (2a - x));$

в) $3m - (3m + (3m - (m + 3)));$

г) $b - (2c - (3b + (4c - 5b))).$

а) $4y - (3y - (2y + 1))$
Чтобы раскрыть скобки в выражении, необходимо двигаться изнутри наружу.
1. Сначала раскроем самые внутренние скобки $(2y + 1)$. Так как перед ними стоит знак минус, все знаки внутри скобок меняются на противоположные: $-(2y + 1) = -2y - 1$.
Выражение принимает вид: $4y - (3y - 2y - 1)$.
2. Упростим выражение в оставшихся скобках, приведя подобные слагаемые: $3y - 2y = y$.
Получаем: $4y - (y - 1)$.
3. Теперь раскроем последние скобки. Перед ними также стоит знак минус, поэтому знаки слагаемых $y$ и $-1$ меняются на противоположные:
$4y - y + 1$.
4. Приведем подобные слагаемые: $4y - y = 3y$.
Итоговый результат: $3y + 1$.
Ответ: $3y + 1$

б) $a - (2x - (2a - x))$
Раскрываем скобки последовательно, начиная с внутренних.
1. Раскроем внутренние скобки $(2a - x)$. Перед ними стоит знак минус, поэтому меняем знаки: $-(2a - x) = -2a + x$.
Выражение становится: $a - (2x - 2a + x)$.
2. Приведем подобные слагаемые внутри оставшихся скобок: $2x + x = 3x$.
Получаем: $a - (3x - 2a)$.
3. Раскроем последние скобки. Знак минус перед ними меняет знаки у $3x$ и $-2a$:
$a - 3x + 2a$.
4. Приведем подобные слагаемые: $a + 2a = 3a$.
Итоговый результат: $3a - 3x$.
Ответ: $3a - 3x$

в) $3m - (3m + (3m - (m + 3)))$
Действуем пошагово, раскрывая скобки изнутри.
1. Раскрываем самые внутренние скобки $(m + 3)$: $-(m+3) = -m - 3$.
$3m - (3m + (3m - m - 3))$
2. Упрощаем выражение в средних скобках: $3m - m = 2m$.
$3m - (3m + (2m - 3))$
3. Раскрываем средние скобки. Перед ними стоит знак плюс, знаки не меняются:
$3m - (3m + 2m - 3)$
4. Упрощаем выражение во внешних скобках: $3m + 2m = 5m$.
$3m - (5m - 3)$
5. Раскрываем последние скобки. Знак минус меняет знаки внутри:
$3m - 5m + 3$
6. Приводим подобные слагаемые: $3m - 5m = -2m$.
Итоговый результат: $-2m + 3$.
Ответ: $-2m + 3$

г) $b - (2c - (3b + (4c - 5b)))$
Раскрываем скобки последовательно изнутри.
1. Начинаем с самых внутренних скобок $(4c - 5b)$. Перед ними стоит знак плюс, поэтому скобки можно просто убрать:
$b - (2c - (3b + 4c - 5b))$
2. Приводим подобные слагаемые в средних скобках: $3b - 5b = -2b$.
$b - (2c - (-2b + 4c))$
3. Раскрываем средние скобки $(-2b + 4c)$. Перед ними стоит знак минус, поэтому знаки слагаемых меняются на противоположные: $-(-2b + 4c) = 2b - 4c$.
$b - (2c + 2b - 4c)$
4. Упрощаем выражение во внешних скобках: $2c - 4c = -2c$.
$b - (2b - 2c)$
5. Раскрываем последние скобки. Знак минус перед ними меняет знаки слагаемых внутри:
$b - 2b + 2c$
6. Приводим подобные слагаемые: $b - 2b = -b$.
Итоговый результат: $-b + 2c$, что можно записать как $2c - b$.
Ответ: $2c - b$

313 В январе за коммунальные услуги заплатили $n$ р., в феврале тарифы повысились на 10%, а в марте — ещё на 20%. Сколько заплатили за коммунальные услуги за эти три месяца?

Для того чтобы найти общую сумму, уплаченную за коммунальные услуги за три месяца, необходимо последовательно вычислить стоимость услуг для каждого месяца и затем их сложить.

Стоимость услуг в январе, согласно условию, составила $n$ рублей.

В феврале тарифы повысились на 10%. Следовательно, плата за февраль составила 110% от январской. Выразим это математически:$n \cdot (1 + \frac{10}{100}) = n \cdot (1 + 0,1) = 1,1n$ рублей.

В марте тарифы повысились еще на 20%, но уже от новой, февральской, суммы. Это означает, что повышение рассчитывается от $1,1n$. Значит, плата за март составила 120% от февральской:$(1,1n) \cdot (1 + \frac{20}{100}) = (1,1n) \cdot (1 + 0,2) = 1,1n \cdot 1,2 = 1,32n$ рублей.

Чтобы найти общую сумму за три месяца, сложим платежи за январь, февраль и март:$n + 1,1n + 1,32n$

Вынесем общий множитель $n$ за скобки и выполним сложение:$n \cdot (1 + 1,1 + 1,32) = n \cdot 3,42 = 3,42n$ рублей.

Ответ: За эти три месяца за коммунальные услуги заплатили $3,42n$ рублей.

314 В центре городского района планировали разбить сквер прямоугольной формы размером $a \times b$ м. В процессе работ одну сторону увеличили на 50%, а другую уменьшили на 20%. Увеличилась или уменьшилась площадь сквера и на сколько процентов?

Пусть первоначальные размеры сквера были $a$ и $b$ метров. Тогда его первоначальная площадь $S_1$ была равна:

$S_1 = a \cdot b$

В процессе работ одну сторону, например $a$, увеличили на 50%. Это означает, что к ее первоначальной длине (100%) добавили еще 50%. Новая длина этой стороны, обозначим ее $a'$, составит 150% от старой, или в десятичных дробях:

$a' = a + 0.5a = 1.5a$

Другую сторону, $b$, уменьшили на 20%. Это означает, что от ее первоначальной длины (100%) отняли 20%. Новая длина этой стороны, $b'$, будет равна 80% от старой, или:

$b' = b - 0.2b = 0.8b$

Теперь найдем новую площадь сквера $S_2$, перемножив новые длины сторон:

$S_2 = a' \cdot b' = (1.5a) \cdot (0.8b) = (1.5 \cdot 0.8) \cdot (a \cdot b)$

Вычислим произведение коэффициентов:

$1.5 \cdot 0.8 = 1.2$

Таким образом, новая площадь $S_2$ связана с первоначальной площадью $S_1$ следующим образом:

$S_2 = 1.2 \cdot (a \cdot b) = 1.2 \cdot S_1$

Поскольку коэффициент $1.2$ больше единицы, новая площадь $S_2$ больше первоначальной площади $S_1$. Это означает, что площадь сквера увеличилась.

Чтобы найти, на сколько процентов увеличилась площадь, сравним новую площадь со старой. Новая площадь составляет $1.2$ от старой. Переведем это в проценты: $1.2 \cdot 100\% = 120\%$.

Первоначальная площадь составляла 100%. Увеличение составило:

$120\% - 100\% = 20\%$

Ответ: площадь сквера увеличилась на 20%.

315 Автомобиль находился в пути 5 ч. Из этого времени $t$ ч он ехал по просёлочной дороге, остальное время — по шоссе. Какой путь проехал автомобиль, если по шоссе он ехал со скоростью $a$ км/ч, а по просёлку со скоростью, на 40 км/ч меньшей?

Для того чтобы найти общий путь, который проехал автомобиль, необходимо сложить два отрезка пути: пройденный по просёлочной дороге и пройденный по шоссе. Для каждого отрезка путь вычисляется по формуле $S = v \cdot t$, где $S$ — путь, $v$ — скорость, $t$ — время.

1. Определим время и скорость для каждого участка пути.

Участок по просёлочной дороге:

Время движения по просёлочной дороге дано в условии и равно $t$ ч.

Скорость по шоссе равна $a$ км/ч, а по просёлочной дороге — на 40 км/ч меньше. Значит, скорость на этом участке составляет $(a - 40)$ км/ч.

Участок по шоссе:

Общее время в пути — 5 часов. Из них $t$ часов автомобиль ехал по просёлочной дороге. Следовательно, время движения по шоссе составляет $(5 - t)$ ч.

Скорость движения по шоссе дана в условии и равна $a$ км/ч.

2. Рассчитаем расстояние, пройденное на каждом участке.

Путь по просёлочной дороге ($S_1$) равен произведению скорости на время:

$S_1 = (a - 40) \cdot t$ км.

Путь по шоссе ($S_2$) также равен произведению скорости на время:

$S_2 = a \cdot (5 - t)$ км.

3. Найдем общий путь.

Общий путь ($S_{общ}$) — это сумма путей, пройденных на двух участках:

$S_{общ} = S_1 + S_2 = (a - 40)t + a(5 - t)$

Теперь раскроем скобки и упростим полученное выражение:

$S_{общ} = a \cdot t - 40 \cdot t + a \cdot 5 - a \cdot t$

Приведём подобные слагаемые. Выражения $a \cdot t$ и $-a \cdot t$ взаимно уничтожаются:

$S_{общ} = (at - at) + 5a - 40t = 5a - 40t$

Таким образом, общий путь, который проехал автомобиль, составляет $5a - 40t$ км.

Ответ: $5a - 40t$ км.

316 Лодка плыла некоторое время по течению реки и столько же времени против течения. Докажите, что для того, чтобы проплыть такое же расстояние в стоячей воде, потребуется такое же количество времени.

Для доказательства введем следующие обозначения:

• $v_л$ — собственная скорость лодки (скорость в стоячей воде);
• $v_т$ — скорость течения реки;
• $t$ — время, которое лодка плыла по течению, и, согласно условию, такое же время она плыла против течения.

Скорость лодки при движении по течению реки равна сумме её собственной скорости и скорости течения:

$v_{по} = v_л + v_т$

Скорость лодки при движении против течения реки равна разности её собственной скорости и скорости течения:

$v_{против} = v_л - v_т$

Теперь найдем общее расстояние $S_{общ}$, которое проплыла лодка. Оно складывается из расстояния, пройденного по течению ($S_{по}$), и расстояния, пройденного против течения ($S_{против}$).

$S_{по} = v_{по} \cdot t = (v_л + v_т) \cdot t$

$S_{против} = v_{против} \cdot t = (v_л - v_т) \cdot t$

Общее расстояние равно:

$S_{общ} = S_{по} + S_{против} = (v_л + v_т) \cdot t + (v_л - v_т) \cdot t$

Раскроем скобки и упростим выражение:

$S_{общ} = v_л \cdot t + v_т \cdot t + v_л \cdot t - v_т \cdot t = 2 \cdot v_л \cdot t$

Общее время, которое лодка была в пути, составляет $T_{общ} = t + t = 2t$.

Теперь определим, сколько времени $T_{стоячая}$ потребуется лодке, чтобы проплыть то же самое общее расстояние $S_{общ}$ в стоячей воде. В стоячей воде скорость лодки равна её собственной скорости $v_л$.

$T_{стоячая} = \frac{S_{общ}}{v_л}$

Подставим в эту формулу полученное нами выражение для $S_{общ}$:

$T_{стоячая} = \frac{2 \cdot v_л \cdot t}{v_л}$

Сократив $v_л$ в числителе и знаменателе, получаем:

$T_{стоячая} = 2t$

Сравнивая общее время движения по реке $T_{общ} = 2t$ и время, необходимое для преодоления того же расстояния в стоячей воде $T_{стоячая} = 2t$, мы видим, что они равны: $T_{общ} = T_{стоячая}$.

Это доказывает, что для того, чтобы проплыть такое же расстояние в стоячей воде, потребуется такое же количество времени.

Ответ: Утверждение доказано. Суммарное время движения по течению и против течения ($2t$) равно времени, необходимому для прохождения общего полученного расстояния в стоячей воде.