Страница 99 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

329 Докажите, что число:

a) записанное тремя одинаковыми цифрами, делится на 37;

б) записанное четырьмя одинаковыми цифрами, делится на 11 и на 101.

Подсказка. Представьте число в виде суммы разрядных слагаемых. Например, число, записанное двумя одинаковыми цифрами, можно представить в виде $10a + a$.

а) записанное тремя одинаковыми цифрами, делится на 37;
Пусть $a$ — это любая цифра от 1 до 9. Тогда число, записанное тремя одинаковыми цифрами $a$, можно представить в виде $\overline{aaa}$.
Следуя подсказке, представим это число в виде суммы разрядных слагаемых:
$\overline{aaa} = a \cdot 100 + a \cdot 10 + a \cdot 1$
Вынесем общий множитель $a$ за скобки:
$a \cdot (100 + 10 + 1) = a \cdot 111$
Чтобы доказать, что это число делится на 37, нужно проверить, делится ли на 37 один из множителей. Проверим число 111:
$111 \div 37 = 3$
Таким образом, мы можем переписать наше исходное число как:
$\overline{aaa} = a \cdot 111 = a \cdot (3 \cdot 37) = 37 \cdot (3a)$
Поскольку один из множителей в произведении равен 37, то все число делится на 37 без остатка, что и требовалось доказать.
Ответ: Доказано.

б) записанное четырьмя одинаковыми цифрами, делится на 11 и на 101.
Пусть $a$ — это любая цифра от 1 до 9. Тогда число, записанное четырьмя одинаковыми цифрами $a$, можно представить в виде $\overline{aaaa}$.
Представим это число в виде суммы разрядных слагаемых:
$\overline{aaaa} = a \cdot 1000 + a \cdot 100 + a \cdot 10 + a \cdot 1$
Вынесем общий множитель $a$ за скобки:
$a \cdot (1000 + 100 + 10 + 1) = a \cdot 1111$
Чтобы доказать, что это число делится на 11 и на 101, разложим множитель 1111 на простые множители. Заметим, что $1111 = 1100 + 11 = 11 \cdot 100 + 11 \cdot 1 = 11 \cdot (100 + 1) = 11 \cdot 101$.
Теперь мы можем переписать наше исходное число как:
$\overline{aaaa} = a \cdot 1111 = a \cdot (11 \cdot 101)$
Из этого выражения видно, что число $\overline{aaaa}$ можно представить как произведение $11 \cdot (101a)$, что доказывает его делимость на 11.
Также его можно представить как произведение $101 \cdot (11a)$, что доказывает его делимость на 101.
Следовательно, любое число, записанное четырьмя одинаковыми цифрами, делится и на 11, и на 101.
Ответ: Доказано.

330 В последовательности Фибоначчи каждое число, начиная с третьего, равно сумме двух предыдущих:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, ... .

a) Обозначьте одно из чисел этой последовательности буквой $a$, следующее за ним буквой $b$ и запишите в виде буквенного выражения каждое из четырёх следующих чисел.

б) Докажите, что сумма любых шести последовательных чисел в последовательности Фибоначчи делится на 4.

в) Докажите, что сумма любых восьми последовательных чисел в последовательности Фибоначчи делится на 3.

а)

Пусть $a$ и $b$ — два последовательных числа в последовательности Фибоначчи. По определению, каждый следующий член равен сумме двух предыдущих. Запишем четыре следующих за $b$ члена последовательности в виде буквенных выражений:

Первый член после $b$: $a + b$
Второй член после $b$: $b + (a + b) = a + 2b$
Третий член после $b$: $(a + b) + (a + 2b) = 2a + 3b$
Четвертый член после $b$: $(a + 2b) + (2a + 3b) = 3a + 5b$

Ответ: Четыре следующих числа: $a + b$, $a + 2b$, $2a + 3b$, $3a + 5b$.

б)

Для доказательства возьмем шесть произвольных последовательных членов последовательности Фибоначчи. Обозначим первые два члена как $a$ и $b$. Тогда следующие четыре члена будут такими, как мы нашли в пункте а). Шесть последовательных членов: $a, b, a + b, a + 2b, 2a + 3b, 3a + 5b$.

Найдем их сумму $S_6$:
$S_6 = a + b + (a + b) + (a + 2b) + (2a + 3b) + (3a + 5b)$

Сгруппируем слагаемые с переменными $a$ и $b$ и упростим выражение:
$S_6 = (a + a + a + 2a + 3a) + (b + b + 2b + 3b + 5b) = 8a + 12b$

Вынесем общий множитель 4 за скобки:
$S_6 = 4(2a + 3b)$

Поскольку числа Фибоначчи являются целыми, то $a$ и $b$ — целые числа. Значит, выражение в скобках $2a + 3b$ также является целым числом. Таким образом, сумма шести последовательных членов последовательности Фибоначчи всегда является произведением числа 4 на целое число, следовательно, она делится на 4 без остатка, что и требовалось доказать.

Ответ: Сумма шести последовательных чисел Фибоначчи равна $4(2a+3b)$, что доказывает её делимость на 4.

в)

Для доказательства возьмем восемь произвольных последовательных членов последовательности Фибоначчи. Первые два члена обозначим как $a$ и $b$. Первые шесть членов и их сумма нам уже известны. Найдем седьмой и восьмой члены:

Седьмой член: $(2a + 3b) + (3a + 5b) = 5a + 8b$
Восьмой член: $(3a + 5b) + (5a + 8b) = 8a + 13b$

Таким образом, восемь последовательных членов это: $a, b, a + b, a + 2b, 2a + 3b, 3a + 5b, 5a + 8b, 8a + 13b$.

Найдем их сумму $S_8$. Можно сложить все восемь выражений или к сумме первых шести членов $S_6=8a+12b$ прибавить седьмой и восьмой члены:
$S_8 = S_6 + (5a + 8b) + (8a + 13b) = (8a + 12b) + 5a + 8b + 8a + 13b$

Сгруппируем слагаемые и упростим:
$S_8 = (8a + 5a + 8a) + (12b + 8b + 13b) = 21a + 33b$

Вынесем общий множитель 3 за скобки:
$S_8 = 3(7a + 11b)$

Так как $a$ и $b$ — целые числа, выражение в скобках $7a + 11b$ также является целым числом. Это означает, что сумма восьми последовательных членов последовательности Фибоначчи всегда является произведением числа 3 на целое число и, следовательно, делится на 3 без остатка, что и требовалось доказать.

Ответ: Сумма восьми последовательных чисел Фибоначчи равна $3(7a+11b)$, что доказывает её делимость на 3.

331 Докажите равенство:

а) $p(k + p) - 2k(p - 1) - p^2 = 2k - 2p;$

б) $a(b + 1) - c(a + b) + b(c + 1) - (a + b) = ab - ac.$

а)

Для того чтобы доказать равенство, необходимо преобразовать его левую часть и сравнить с правой.

Левая часть равенства: $p(k + p) - 2k(p - 1) - p^2$.

Выполним преобразования шаг за шагом:

1. Раскроем скобки в выражении $p(k + p)$:
$p(k + p) = p \cdot k + p \cdot p = pk + p^2$.

2. Раскроем скобки в выражении $-2k(p - 1)$:
$-2k(p - 1) = -2k \cdot p - (-2k) \cdot 1 = -2kp + 2k$.

3. Теперь подставим полученные выражения обратно в левую часть исходного равенства:

$pk + p^2 - 2kp + 2k - p^2$.

4. Приведем подобные слагаемые. Слагаемые $p^2$ и $-p^2$ взаимно уничтожаются. Учитывая, что умножение коммутативно ($pk = kp$), сгруппируем слагаемые с $k$ и $p$:

$(p^2 - p^2) + (pk - 2kp) + 2k = 0 - kp + 2k = 2k - kp$.

Таким образом, левая часть равенства равна $2k - kp$.

Правая часть исходного равенства равна $2k - 2p$.

Сравнивая левую и правую части, мы получаем $2k - kp = 2k - 2p$. Данное равенство будет верным, только если $-kp = -2p$, или $p(k-2) = 0$. Это выполняется только в двух случаях: при $p = 0$ или при $k = 2$.

Поскольку равенство выполняется не для всех возможных значений переменных, оно не является тождеством. Вероятно, в условии задачи допущена опечатка.

Ответ: Исходное равенство не является тождеством. Оно верно только при $p=0$ или $k=2$.

б)

Для того чтобы доказать равенство, преобразуем его левую часть, раскрыв все скобки и приведя подобные слагаемые.

Левая часть равенства: $a(b + 1) - c(a + b) + b(c + 1) - (a + b)$.

1. Последовательно раскроем все скобки:

$a(b + 1) = ab + a$

$-c(a + b) = -ac - bc$

$b(c + 1) = bc + b$

$-(a + b) = -a - b$

2. Запишем выражение целиком после раскрытия скобок:

$ab + a - ac - bc + bc + b - a - b$.

3. Теперь сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$ab - ac + (a - a) + (-bc + bc) + (b - b)$

4. Выполним вычисления в скобках:

$ab - ac + 0 + 0 + 0 = ab - ac$.

В результате преобразований левая часть равенства оказалась тождественно равна правой части: $ab - ac = ab - ac$.

Ответ: Равенство доказано.

332 Докажите, что если равенство $ \frac{a}{b} = \frac{c}{d} $ – пропорция, то равенства $ \frac{a+b}{b} = \frac{c+d}{d} $ и $ \frac{a-b}{b} = \frac{c-d}{d} $ также являются пропорциями. Используя доказанное утверждение, составьте две новые пропорции из пропорции $ \frac{2}{3} = \frac{10}{15} $.

Задача состоит из двух частей: доказательства двух свойств пропорции и их применения на конкретном примере.

Доказательство, что равенство $\frac{a+b}{b} = \frac{c+d}{d}$ является пропорцией

Начнем с исходной пропорции, которая дана как верное равенство: $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$

Прибавим к обеим частям этого равенства число 1. Равенство при этом сохранится.

$\frac{a}{b} + 1 = \frac{c}{d} + 1$

Теперь представим 1 в левой части как дробь $\frac{b}{b}$, а в правой части — как дробь $\frac{d}{d}$.

$\frac{a}{b} + \frac{b}{b} = \frac{c}{d} + \frac{d}{d}$

Сложив дроби в каждой части равенства, получим:

$\frac{a+b}{b} = \frac{c+d}{d}$

Таким образом, мы доказали, что из пропорции $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ следует пропорция $\frac{a+b}{b} = \frac{c+d}{d}$.

Ответ: Доказано.

Доказательство, что равенство $\frac{a-b}{b} = \frac{c-d}{d}$ является пропорцией

Снова используем исходное верное равенство:

$\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$

Теперь вычтем из обеих частей равенства число 1.

$\frac{a}{b} - 1 = \frac{c}{d} - 1$

Представим 1 в виде дробей с соответствующими знаменателями, как и в предыдущем случае.

$\frac{a}{b} - \frac{b}{b} = \frac{c}{d} - \frac{d}{d}$

Выполнив вычитание дробей, получим:

$\frac{a-b}{b} = \frac{c-d}{d}$

Таким образом, мы доказали, что из пропорции $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ следует пропорция $\frac{a-b}{b} = \frac{c-d}{d}$.

Ответ: Доказано.

Составление двух новых пропорций из пропорции $\frac{2}{3} = \frac{10}{15}$

В данной пропорции $\frac{2}{3} = \frac{10}{15}$ имеем: $a=2$, $b=3$, $c=10$ и $d=15$.

1. Используем первое доказанное свойство $\frac{a+b}{b} = \frac{c+d}{d}$:

Подставляем наши значения:

$\frac{2+3}{3} = \frac{10+15}{15}$

$\frac{5}{3} = \frac{25}{15}$

Это первая новая пропорция.

2. Используем второе доказанное свойство $\frac{a-b}{b} = \frac{c-d}{d}$:

Подставляем наши значения:

$\frac{2-3}{3} = \frac{10-15}{15}$

$\frac{-1}{3} = \frac{-5}{15}$

Это вторая новая пропорция.

Ответ: Две новые пропорции, составленные из исходной: $\frac{5}{3} = \frac{25}{15}$ и $\frac{-1}{3} = \frac{-5}{15}$.

Запишите выражение по условию задачи и упростите его (333–335).

Автобус прошёл расстояние между городами, равное 200 км, за 5 ч. За первый час пути он прошёл $x$ км, за второй — на 20 км меньше, а за третий — путь, в $1,5$ раза больший, чем за предыдущий час. Сколько километров прошёл автобус в оставшееся время?

Для решения задачи необходимо составить выражение, описывающее пройденный путь за первые три часа, а затем вычесть его из общего расстояния.

1. Определим расстояние, пройденное за каждый из первых трех часов.
- Расстояние за первый час по условию равно $x$ км.
- Расстояние за второй час на 20 км меньше, чем за первый, следовательно, оно равно $(x - 20)$ км.
- Расстояние за третий час в 1,5 раза больше, чем за предыдущий (второй) час, следовательно, оно равно $1.5 \cdot (x - 20)$ км.

2. Составим выражение для расстояния, пройденного за первые три часа, и упростим его.
Для этого сложим расстояния, пройденные за каждый час:
$S_{1-3} = x + (x - 20) + 1.5 \cdot (x - 20)$
Теперь упростим это выражение. Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
$x + x - 20 + 1.5x - 1.5 \cdot 20 = 2x - 20 + 1.5x - 30 = (2 + 1.5)x - (20 + 30) = 3.5x - 50$
Итак, за первые три часа автобус прошел $(3.5x - 50)$ км.

3. Найдем расстояние, которое автобус прошел за оставшееся время.
Весь путь занял 5 часов. Мы нашли расстояние за первые 3 часа. Оставшееся время составляет $5 - 3 = 2$ часа. Чтобы найти расстояние, пройденное за это время, нужно из общего расстояния (200 км) вычесть расстояние, пройденное за первые три часа:
$S_{ост} = 200 - (3.5x - 50)$
Раскроем скобки. Так как перед скобкой стоит знак минус, знаки всех слагаемых внутри скобок меняются на противоположные:
$200 - 3.5x + 50$
Сложим числовые значения:
$(200 + 50) - 3.5x = 250 - 3.5x$
Таким образом, за оставшееся время автобус прошел $(250 - 3.5x)$ км.

Ответ: $250 - 3.5x$ км.

334 Провод разрезали на четыре части так, что длина первой части, равная $x$ м, в 3 раза меньше второй, на 1,5 м меньше третьей и в 2 раза больше четвёртой. Чему равна длина всего провода?

Для того чтобы найти длину всего провода, необходимо выразить длину каждой из четырех частей через переменную $x$ и затем сложить полученные значения.

Длина первой части
Согласно условию задачи, длина первой части составляет $x$ м.

Длина второй части
В условии сказано, что первая часть в 3 раза меньше второй. Это означает, что вторая часть в 3 раза длиннее первой. Следовательно, ее длина равна $3x$ м.

Длина третьей части
Известно, что первая часть на 1,5 м меньше третьей. Это значит, что третья часть на 1,5 м длиннее первой. Таким образом, ее длина составляет $(x + 1,5)$ м.

Длина четвертой части
Первая часть в 2 раза больше четвертой, что означает, что четвертая часть в 2 раза короче первой. Ее длина равна $\frac{x}{2}$ м, или $0,5x$ м.

Общая длина провода
Чтобы найти длину всего провода, сложим длины всех четырех частей:

Общая длина = (1-я часть) + (2-я часть) + (3-я часть) + (4-я часть)

$L = x + 3x + (x + 1,5) + 0,5x$

Теперь упростим полученное выражение, сгруппировав слагаемые с переменной $x$ и числовые слагаемые:

$L = (x + 3x + x + 0,5x) + 1,5$

$L = 5,5x + 1,5$

Таким образом, длина всего провода выражается формулой $(5,5x + 1,5)$ м.

Ответ: $5,5x + 1,5$ м.

335 В коробке $n$ пуговиц. Их количество удвоили, а затем из коробки вынули дюжину пуговиц. Остаток пуговиц снова удвоили, а затем вновь вынули дюжину пуговиц. Эту операцию проделали и в третий раз. Сколько пуговиц стало в коробке?

Для решения данной задачи необходимо последовательно отслеживать количество пуговиц в коробке, выполняя описанные операции. Обозначим начальное количество пуговиц за $n$. Следует помнить, что дюжина — это 12.

Шаг 1: Первая операция
Сначала количество пуговиц удваивают, в результате чего их становится $2 \times n = 2n$.
Затем из коробки вынимают дюжину пуговиц. Количество пуговиц после первой операции составляет: $2n - 12$.

Шаг 2: Вторая операция
Оставшееся количество пуговиц ($2n - 12$) снова удваивают: $2 \times (2n - 12) = 4n - 24$.
И снова вынимают дюжину. После второй операции в коробке остаётся: $(4n - 24) - 12 = 4n - 36$ пуговиц.

Шаг 3: Третья операция
Операцию повторяют в третий раз. Количество пуговиц ($4n - 36$) опять удваивают: $2 \times (4n - 36) = 8n - 72$.
И в последний раз вынимают дюжину. Итоговое количество пуговиц в коробке: $(8n - 72) - 12 = 8n - 84$.

Таким образом, после выполнения всех трех операций конечное количество пуговиц в коробке можно выразить формулой.
Ответ: В коробке стало $8n - 84$ пуговиц.