Страница 105 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

337 a) В двух пачках вместе 350 листов бумаги. Сколько листов бумаги в каждой пачке, если известно, что в одной из них листов в 4 раза больше, чем в другой?

б) В июле число отдыхающих в пансионате возросло по сравнению с июнем в 2,5 раза. Сколько отдыхающих было в июне и сколько в июле, если всего в эти два месяца отдохнуло 4550 человек?

а)

Обозначим количество листов бумаги в меньшей пачке через $x$.

По условию, в другой пачке листов в 4 раза больше, следовательно, в ней $4x$ листов.

Всего в двух пачках 350 листов. Составим и решим уравнение:

$x + 4x = 350$

$5x = 350$

$x = 350 \div 5$

$x = 70$ (листов) – в меньшей пачке.

Теперь найдем количество листов в большей пачке:

$4 \cdot 70 = 280$ (листов).

Проверим: $70 + 280 = 350$. Решение верное.

Ответ: в одной пачке 70 листов, а в другой 280 листов.

б)

Пусть в июне в пансионате было $x$ отдыхающих.

По условию, в июле число отдыхающих возросло в 2,5 раза, значит, в июле их стало $2.5x$.

Всего за два месяца отдохнуло 4550 человек. Составим и решим уравнение:

$x + 2.5x = 4550$

$3.5x = 4550$

$x = 4550 \div 3.5$

$x = 45500 \div 35$

$x = 1300$ (человек) – было в июне.

Теперь найдем количество отдыхающих в июле:

$2.5 \cdot 1300 = 3250$ (человек).

Проверим: $1300 + 3250 = 4550$. Решение верное.

Ответ: в июне было 1300 отдыхающих, а в июле – 3250 отдыхающих.

ВЕРНО ИЛИ НЕВЕРНО (338–339)

338 В три ящика разложили 23 кг слив. Во втором ящике слив в 1,5 раза больше, чем в первом, а в третьем — на 2 кг больше, чем в первом. Сколько слив в каждом ящике?

Выберите равенство, которое является переводом условия этой задачи на математический язык. (Буквой $x$ обозначена масса слив в первом ящике.)

1) $x + 1,5x + 2x = 23$

2) $x + (x + 1,5) + (x + 2) = 23$

3) $x + 1,5x + (x + 2) = 23$

Выберите равенство, которое является переводом условия этой задачи на математический язык.

Чтобы составить уравнение, обозначим массу слив в первом ящике как $x$ кг.

Исходя из условия задачи:

• Масса слив в первом ящике: $x$ кг.
• Во втором ящике слив в 1,5 раза больше, чем в первом. Это означает, что масса слив во втором ящике равна $1.5 \cdot x$ кг.
• В третьем ящике слив на 2 кг больше, чем в первом. Это означает, что масса слив в третьем ящике равна $(x + 2)$ кг.

Общая масса слив во всех трех ящиках составляет 23 кг. Сумма масс слив из трех ящиков должна быть равна 23 кг. Составим уравнение:

$x + 1.5x + (x + 2) = 23$

Сравнив полученное уравнение с предложенными вариантами, мы видим, что оно совпадает с вариантом №3.

Ответ: Равенство, которое является переводом условия задачи на математический язык, находится под номером 3.

Сколько слив в каждом ящике?

Теперь решим составленное уравнение для нахождения $x$:

$x + 1.5x + (x + 2) = 23$

Раскроем скобки и сгруппируем слагаемые с переменной $x$:

$(1 + 1.5 + 1)x + 2 = 23$

$3.5x + 2 = 23$

Перенесем 2 в правую часть уравнения с противоположным знаком:

$3.5x = 23 - 2$

$3.5x = 21$

Чтобы найти $x$, разделим 21 на 3.5:

$x = \frac{21}{3.5} = \frac{210}{35} = 6$

Итак, масса слив в первом ящике составляет 6 кг.

Теперь найдем массу слив в остальных ящиках:

• Масса во втором ящике: $1.5 \cdot x = 1.5 \cdot 6 = 9$ кг.
• Масса в третьем ящике: $x + 2 = 6 + 2 = 8$ кг.

Для проверки сложим массы слив во всех ящиках: $6 \text{ кг} + 9 \text{ кг} + 8 \text{ кг} = 23 \text{ кг}$. Результат совпадает с условием задачи.

Ответ: в первом ящике 6 кг слив, во втором — 9 кг, в третьем — 8 кг.

339 На трёх книжных полках 47 книг. На верхней полке на 8 книг меньше, чем на средней, а на нижней — в 3 раза больше, чем на средней. Сколько книг на каждой полке?

Выберите равенство, которое является переводом условия этой задачи на математический язык. (Буквой x обозначено количество книг на средней полке.)

1) $(x + 8) + x + 3x = 47$

2) $(x - 8) + x + 3x = 47$

3) $(x - 8) + x + (x + 3) = 47$

Сколько книг на каждой полке?

Для решения задачи введём переменную и составим уравнение. Пусть $x$ — это количество книг на средней полке.

Согласно условию задачи:

– на верхней полке находится на 8 книг меньше, чем на средней, то есть $x - 8$ книг;

– на нижней полке находится в 3 раза больше книг, чем на средней, то есть $3x$ книг.

Общее количество книг на всех трёх полках равно 47. Сумма книг на верхней, средней и нижней полках должна быть равна 47. Составим уравнение:

$(x - 8) + x + 3x = 47$

Теперь решим это уравнение. Сначала упростим левую часть, сложив все члены с $x$:

$x + x + 3x - 8 = 47$

$5x - 8 = 47$

Далее, перенесём число -8 в правую часть уравнения с противоположным знаком:

$5x = 47 + 8$

$5x = 55$

Найдём значение $x$, разделив обе части уравнения на 5:

$x = \frac{55}{5}$

$x = 11$

Мы нашли, что на средней полке находится 11 книг.

Теперь определим количество книг на других полках:

– на верхней полке: $x - 8 = 11 - 8 = 3$ книги;

– на нижней полке: $3x = 3 \cdot 11 = 33$ книги.

Для проверки сложим количество книг на всех полках: $3 + 11 + 33 = 47$. Результат совпадает с условием задачи.

Ответ: на верхней полке — 3 книги, на средней — 11 книг, на нижней — 33 книги.

Выберите равенство, которое является переводом условия этой задачи на математический язык. (Буквой x обозначено количество книг на средней полке.)

Чтобы выбрать правильное равенство, переведём каждое условие задачи на математический язык, используя переменную $x$ для количества книг на средней полке:

1. Количество книг на средней полке: $x$.

2. "На верхней полке на 8 книг меньше, чем на средней". Это означает, что количество книг на верхней полке равно $x - 8$.

3. "На нижней — в 3 раза больше, чем на средней". Это означает, что количество книг на нижней полке равно $3 \cdot x$ или просто $3x$.

4. "На трёх книжных полках 47 книг". Это означает, что сумма книг на всех трёх полках равна 47.

Складываем количество книг на каждой полке и приравниваем к общему количеству:

(книги на верхней) + (книги на средней) + (книги на нижней) = 47

$(x - 8) + x + 3x = 47$

Теперь сравним это уравнение с предложенными вариантами:

1) $(x + 8) + x + 3x = 47$ — неверно. Здесь предполагается, что на верхней полке на 8 книг больше.

2) $(x - 8) + x + 3x = 47$ — верно. Это уравнение в точности соответствует нашему переводу условия задачи.

3) $(x - 8) + x + (x + 3) = 47$ — неверно. Здесь предполагается, что на нижней полке на 3 книги больше, а не в 3 раза больше.

Следовательно, правильным является второе равенство.

Ответ: 2) $(x - 8) + x + 3x = 47$

340 Придумайте задачу, переводом которой на язык математики является уравнение:

а) $x+(x-3)=33;$

б) $x+(x+3)+(x+6)=30;$

в) $x+3x=160;$

г) $x+2x+3x=60.$

а) Задача: У Кати и ее сестры Ани вместе 33 открытки. Причем у Ани на 3 открытки меньше, чем у Кати. Сколько открыток у каждой девочки?

Решение:

Пусть у Кати $x$ открыток. Тогда у Ани $(x-3)$ открытки. Вместе у них $x + (x-3)$ открыток, что по условию равно 33. Составим и решим уравнение:

$x + (x - 3) = 33$

$2x - 3 = 33$

$2x = 33 + 3$

$2x = 36$

$x = 36 / 2$

$x = 18$

Значит, у Кати 18 открыток.

Тогда у Ани: $18 - 3 = 15$ открыток.

Проверка: $18 + 15 = 33$.

Ответ: у Кати 18 открыток, а у Ани 15 открыток.

б) Задача: Три отряда собрали 30 мешков макулатуры. Второй отряд собрал на 3 мешка больше, чем первый, а третий — на 6 мешков больше, чем первый. Сколько мешков макулатуры собрал каждый отряд?

Решение:

Пусть первый отряд собрал $x$ мешков. Тогда второй отряд собрал $(x+3)$ мешка, а третий — $(x+6)$ мешков. Всего они собрали $x + (x+3) + (x+6)$ мешков, что по условию равно 30. Составим и решим уравнение:

$x + (x + 3) + (x + 6) = 30$

$3x + 9 = 30$

$3x = 30 - 9$

$3x = 21$

$x = 21 / 3$

$x = 7$

Значит, первый отряд собрал 7 мешков.

Второй отряд собрал: $7 + 3 = 10$ мешков.

Третий отряд собрал: $7 + 6 = 13$ мешков.

Проверка: $7 + 10 + 13 = 30$.

Ответ: первый отряд собрал 7 мешков, второй — 10 мешков, третий — 13 мешков.

в) Задача: За два дня турист прошел 160 км. Во второй день он прошел в 3 раза большее расстояние, чем в первый. Какое расстояние турист проходил каждый день?

Решение:

Пусть в первый день турист прошел $x$ км. Тогда во второй день он прошел $3x$ км. За два дня он прошел $x + 3x$ км, что по условию равно 160. Составим и решим уравнение:

$x + 3x = 160$

$4x = 160$

$x = 160 / 4$

$x = 40$

Значит, в первый день турист прошел 40 км.

Во второй день он прошел: $3 \cdot 40 = 120$ км.

Проверка: $40 + 120 = 160$.

Ответ: в первый день турист прошел 40 км, а во второй — 120 км.

г) Задача: Для приготовления компота взяли 60 ягод: смородину, малину и клубнику. Малины было в 2 раза больше, чем смородины, а клубники — в 3 раза больше, чем смородины. Сколько ягод каждого вида взяли для компота?

Решение:

Пусть для компота взяли $x$ ягод смородины. Тогда малины было $2x$ ягод, а клубники — $3x$ ягод. Всего ягод было $x + 2x + 3x$, что по условию равно 60. Составим и решим уравнение:

$x + 2x + 3x = 60$

$6x = 60$

$x = 60 / 6$

$x = 10$

Значит, для компота взяли 10 ягод смородины.

Малины взяли: $2 \cdot 10 = 20$ ягод.

Клубники взяли: $3 \cdot 10 = 30$ ягод.

Проверка: $10 + 20 + 30 = 60$.

Ответ: для компота взяли 10 ягод смородины, 20 ягод малины и 30 ягод клубники.

341 Составьте уравнение по условию задачи, опираясь на приведенный ниже план.

На одной овощной базе 500 т картофеля, а на другой 700 т. Ежедневно с первой базы отправляют в овощные магазины 20 ц картофеля, а со второй — 30 ц. Через сколько дней картофеля на овощных базах окажется поровну?

Выразите данные величины в одних и тех же единицах.

Обозначьте искомое количество дней буквой $x$.

Запишите выражения, показывающие:

1) сколько картофеля отправлено с первой овощной базы за $x$ дней;

2) сколько картофеля отправлено со второй овощной базы за $x$ дней;

3) сколько картофеля осталось на первой овощной базе через $x$ дней;

4) сколько картофеля осталось на второй овощной базе через $x$ дней.

Запишите уравнение.

Для решения задачи последовательно выполним все пункты плана.

Выразите данные величины в одних и тех же единицах.

В условии задачи количество картофеля на базах указано в тоннах (т), а ежедневный вывоз — в центнерах (ц). Чтобы составить уравнение, нужно использовать единую единицу измерения. Переведем все данные в тонны, зная, что $1$ т $= 10$ ц.

• Начальное количество картофеля на первой базе: $500$ т.
• Начальное количество картофеля на второй базе: $700$ т.
• Ежедневно с первой базы отправляют: $20$ ц $= 20 \div 10 = 2$ т.
• Ежедневно со второй базы отправляют: $30$ ц $= 30 \div 10 = 3$ т.

Обозначьте искомое количество дней буквой x.

Пусть $x$ — это количество дней, через которое на обеих овощных базах картофеля окажется поровну.

Запишите выражения, показывающие:

1) сколько картофеля отправлено с первой овощной базы за x дней;

С первой базы каждый день отправляют 2 т картофеля. За $x$ дней с нее будет отправлено $2 \cdot x$ тонн.

Ответ: $2x$ т.

2) сколько картофеля отправлено со второй овощной базы за x дней;

Со второй базы каждый день отправляют 3 т картофеля. За $x$ дней с нее будет отправлено $3 \cdot x$ тонн.

Ответ: $3x$ т.

3) сколько картофеля осталось на первой овощной базе через x дней;

Изначально на первой базе было 500 т картофеля. Через $x$ дней на ней останется разность между начальным количеством и вывезенным: $500 - 2x$ тонн.

Ответ: $500 - 2x$ т.

4) сколько картофеля осталось на второй овощной базе через x дней.

Изначально на второй базе было 700 т картофеля. Через $x$ дней на ней останется разность между начальным количеством и вывезенным: $700 - 3x$ тонн.

Ответ: $700 - 3x$ т.

Запишите уравнение.

По условию, через $x$ дней количество картофеля на базах должно стать равным. Приравняем выражения, обозначающие остаток картофеля на первой и второй базах:

$500 - 2x = 700 - 3x$

Теперь решим это уравнение, чтобы найти значение $x$ — ответ на главный вопрос задачи.

Перенесем слагаемые с переменной $x$ в левую часть уравнения, а числовые значения — в правую, меняя знаки при переносе:

$3x - 2x = 700 - 500$

Упростим обе части уравнения:

$x = 200$

Таким образом, количество картофеля на базах станет одинаковым через 200 дней.

Ответ: Уравнение по условию задачи: $500 - 2x = 700 - 3x$. Картофеля на овощных базах окажется поровну через 200 дней.