Страница 106 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

342 Составьте уравнение по условию задачи. (Действуйте по плану, аналогичному плану задачи 341.)

В одной машине 3 т яблок, а в другой — 5 т яблок. Из первой машины выгрузили несколько ящиков, 15 кг в каждом, а из второй — в 2 раза больше ящиков, 20 кг в каждом. После этого в первой машине осталось столько же яблок, сколько во второй. Сколько ящиков выгрузили из каждой машины?

Для решения задачи составим уравнение. Сначала переведем все величины в одну единицу измерения — килограммы. В одной тонне 1000 кг.

Начальная масса яблок в первой машине: $3 \text{ т} = 3 \cdot 1000 = 3000 \text{ кг}$.

Начальная масса яблок во второй машине: $5 \text{ т} = 5 \cdot 1000 = 5000 \text{ кг}$.

Составьте уравнение по условию задачи.

Пусть $x$ — количество ящиков, которые выгрузили из первой машины. Масса одного такого ящика — 15 кг, следовательно, общая масса выгруженных яблок из первой машины составляет $15x$ кг. После этого в первой машине осталось $3000 - 15x$ кг яблок.

По условию, из второй машины выгрузили в 2 раза больше ящиков, то есть $2x$ ящиков. Масса одного ящика из второй машины — 20 кг, значит, общая масса выгруженных яблок составляет $20 \cdot 2x = 40x$ кг. После этого во второй машине осталось $5000 - 40x$ кг яблок.

В задаче сказано, что после выгрузки в обеих машинах яблок осталось поровну. Это позволяет нам составить уравнение, приравняв выражения для оставшейся массы яблок:

$3000 - 15x = 5000 - 40x$

Сколько ящиков выгрузили из каждой машины?

Теперь решим полученное уравнение для нахождения $x$:

$3000 - 15x = 5000 - 40x$

Перенесем слагаемые с переменной $x$ в левую часть уравнения, а числовые значения — в правую, меняя знаки при переносе:

$40x - 15x = 5000 - 3000$

Упростим обе части уравнения:

$25x = 2000$

Найдем $x$, разделив обе части на 25:

$x = \frac{2000}{25}$

$x = 80$

Мы нашли, что $x=80$ — это количество ящиков, выгруженных из первой машины.

Теперь найдем количество ящиков, выгруженных из второй машины:

$2x = 2 \cdot 80 = 160$

Выполним проверку:

Остаток в первой машине: $3000 - 15 \cdot 80 = 3000 - 1200 = 1800$ кг.

Остаток во второй машине: $5000 - 40 \cdot 80 = 5000 - 3200 = 1800$ кг.

Массы равны, значит, задача решена верно.

Ответ: из первой машины выгрузили 80 ящиков, а из второй — 160 ящиков.

343 Составьте разные уравнения по условию задачи:

а) Пётр заметил, что в этом году он младше отца в 3 раза, отец младше деда в 2 раза, а сумма его возраста, возраста отца и возраста деда составляет 110 лет. Сколько лет каждому?
Пусть $P$ - возраст Петра, $F$ - возраст отца, $G$ - возраст деда.
$F = 3P$
$G = 2F$
$P + F + G = 110$

б) Брат старше сестры на 4 года. Отец сказал сыну: «Мне 30 лет. Если через 2 года я сложу твой возраст и возраст твоей сестры, то результат будет меньше моего возраста в 2 раза». Определите, сколько лет брату и сестре сейчас и сколько будет каждому из них через 2 года.
Пусть $B$ - нынешний возраст брата, $S$ - нынешний возраст сестры.
$B = S + 4$
$(B + 2) + (S + 2) = 30 / 2$

а) Для решения задачи составим уравнение. Пусть возраст Петра равен $x$ лет.

Согласно условию, Пётр младше отца в 3 раза, значит, возраст отца составляет $3x$ лет.

Отец, в свою очередь, младше деда в 2 раза, следовательно, возраст деда равен $2 \times (3x) = 6x$ лет.

Сумма возрастов Петра, отца и деда составляет 110 лет. Составим и решим уравнение:

$x + 3x + 6x = 110$

$10x = 110$

$x = \frac{110}{10}$

$x = 11$

Таким образом, возраст Петра составляет 11 лет.

Теперь найдём возраст отца и деда:

Возраст отца: $3x = 3 \times 11 = 33$ года.

Возраст деда: $6x = 6 \times 11 = 66$ лет.

Проверим: $11 + 33 + 66 = 110$. Все условия задачи выполнены.

Ответ: Петру 11 лет, отцу 33 года, а деду 66 лет.

б) Для решения задачи введём переменную. Пусть нынешний возраст сестры равен $x$ лет.

Поскольку брат старше сестры на 4 года, его нынешний возраст составляет $x + 4$ года. Нынешний возраст отца — 30 лет.

Теперь определим возраст каждого из них через 2 года:

Возраст сестры через 2 года будет $x + 2$ года.

Возраст брата через 2 года будет $(x + 4) + 2 = x + 6$ лет.

Возраст отца через 2 года будет $30 + 2 = 32$ года.

По условию, через 2 года сумма возрастов брата и сестры будет в 2 раза меньше возраста отца. Составим уравнение на основе данных через 2 года:

$(x + 2) + (x + 6) = \frac{32}{2}$

Теперь решим полученное уравнение:

$2x + 8 = 16$

$2x = 16 - 8$

$2x = 8$

$x = \frac{8}{2}$

$x = 4$

Следовательно, нынешний возраст сестры — 4 года.

Нынешний возраст брата: $x + 4 = 4 + 4 = 8$ лет.

Возраст каждого из них через 2 года:

Возраст сестры: $4 + 2 = 6$ лет.

Возраст брата: $8 + 2 = 10$ лет.

Ответ: сейчас брату 8 лет, а сестре 4 года; через 2 года брату будет 10 лет, а сестре — 6 лет.

344 Широко известна старинная задача о фазанах и кроликах: «В клетке находятся фазаны и кролики. Известно, что у них 35 голов и 94 ноги. Узнайте число фазанов и число кроликов».

Составьте разные уравнения по условию задачи, обозначив буквой:

а) число фазанов;

б) число кроликов;

в) число ног у фазанов;

г) число ног у кроликов.

Это классическая задача, которую можно решить несколькими способами, составляя разные уравнения. В задаче дано: всего 35 голов и 94 ноги. У фазана 2 ноги, у кролика — 4. У каждого животного по одной голове.

а) число фазанов;

Обозначим число фазанов буквой $x$.

Поскольку всего 35 голов (животных), то число кроликов будет $35 - x$.

Теперь составим уравнение, исходя из общего числа ног. У $x$ фазанов будет $2x$ ног, а у $(35 - x)$ кроликов будет $4(35 - x)$ ног. Сумма всех ног равна 94.

Получаем уравнение:

$2x + 4(35 - x) = 94$

Решим это уравнение:

$2x + 140 - 4x = 94$

$140 - 2x = 94$

$2x = 140 - 94$

$2x = 46$

$x = 23$

Таким образом, число фазанов равно 23. Найдем число кроликов: $35 - 23 = 12$.

Проверка: $23 \text{ фазана} \times 2 \text{ ноги} + 12 \text{ кроликов} \times 4 \text{ ноги} = 46 + 48 = 94$ ноги. Все верно.

Ответ: 23 фазана и 12 кроликов.

б) число кроликов;

Обозначим число кроликов буквой $y$.

Так как всего 35 животных, то число фазанов будет $35 - y$.

Составим уравнение по числу ног. У $y$ кроликов будет $4y$ ног, а у $(35 - y)$ фазанов будет $2(35 - y)$ ног. Общее число ног — 94.

Получаем уравнение:

$4y + 2(35 - y) = 94$

Решим его:

$4y + 70 - 2y = 94$

$2y + 70 = 94$

$2y = 94 - 70$

$2y = 24$

$y = 12$

Итак, число кроликов равно 12. Найдем число фазанов: $35 - 12 = 23$.

Ответ: 23 фазана и 12 кроликов.

в) число ног у фазанов;

Обозначим общее число ног у всех фазанов буквой $z$.

Каждый фазан имеет 2 ноги, значит, число фазанов равно $z/2$.

Общее число ног у кроликов будет $94 - z$. Так как у каждого кролика 4 ноги, то число кроликов равно $(94 - z)/4$.

Сумма голов (числа фазанов и кроликов) равна 35. Составим уравнение:

$\frac{z}{2} + \frac{94 - z}{4} = 35$

Для решения умножим обе части уравнения на 4, чтобы избавиться от знаменателей:

$4 \cdot \frac{z}{2} + 4 \cdot \frac{94 - z}{4} = 35 \cdot 4$

$2z + (94 - z) = 140$

$z + 94 = 140$

$z = 140 - 94$

$z = 46$

Мы нашли общее число ног у фазанов. Теперь найдем число фазанов: $46 / 2 = 23$.

Число кроликов: $(94 - 46) / 4 = 48 / 4 = 12$.

Ответ: 23 фазана и 12 кроликов.

г) число ног у кроликов.

Обозначим общее число ног у всех кроликов буквой $w$.

У каждого кролика 4 ноги, следовательно, число кроликов равно $w/4$.

Общее число ног у фазанов будет $94 - w$. У каждого фазана 2 ноги, значит, число фазанов равно $(94 - w)/2$.

Сумма голов (животных) равна 35. Составим уравнение:

$\frac{w}{4} + \frac{94 - w}{2} = 35$

Умножим обе части уравнения на 4:

$4 \cdot \frac{w}{4} + 4 \cdot \frac{94 - w}{2} = 35 \cdot 4$

$w + 2(94 - w) = 140$

$w + 188 - 2w = 140$

$188 - w = 140$

$w = 188 - 140$

$w = 48$

Это общее число ног у кроликов. Найдем число кроликов: $48 / 4 = 12$.

Число фазанов: $(94 - 48) / 2 = 46 / 2 = 23$.

Ответ: 23 фазана и 12 кроликов.