Номер 343, страница 106 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 4.1. Алгебраический способ решения задач. Глава 4. Уравнения - номер 343, страница 106.

343 Составьте разные уравнения по условию задачи:

а) Пётр заметил, что в этом году он младше отца в 3 раза, отец младше деда в 2 раза, а сумма его возраста, возраста отца и возраста деда составляет 110 лет. Сколько лет каждому?
Пусть $P$ - возраст Петра, $F$ - возраст отца, $G$ - возраст деда.
$F = 3P$
$G = 2F$
$P + F + G = 110$

б) Брат старше сестры на 4 года. Отец сказал сыну: «Мне 30 лет. Если через 2 года я сложу твой возраст и возраст твоей сестры, то результат будет меньше моего возраста в 2 раза». Определите, сколько лет брату и сестре сейчас и сколько будет каждому из них через 2 года.
Пусть $B$ - нынешний возраст брата, $S$ - нынешний возраст сестры.
$B = S + 4$
$(B + 2) + (S + 2) = 30 / 2$

а) Для решения задачи составим уравнение. Пусть возраст Петра равен $x$ лет.

Согласно условию, Пётр младше отца в 3 раза, значит, возраст отца составляет $3x$ лет.

Отец, в свою очередь, младше деда в 2 раза, следовательно, возраст деда равен $2 \times (3x) = 6x$ лет.

Сумма возрастов Петра, отца и деда составляет 110 лет. Составим и решим уравнение:

$x + 3x + 6x = 110$

$10x = 110$

$x = \frac{110}{10}$

$x = 11$

Таким образом, возраст Петра составляет 11 лет.

Теперь найдём возраст отца и деда:

Возраст отца: $3x = 3 \times 11 = 33$ года.

Возраст деда: $6x = 6 \times 11 = 66$ лет.

Проверим: $11 + 33 + 66 = 110$. Все условия задачи выполнены.

Ответ: Петру 11 лет, отцу 33 года, а деду 66 лет.

б) Для решения задачи введём переменную. Пусть нынешний возраст сестры равен $x$ лет.

Поскольку брат старше сестры на 4 года, его нынешний возраст составляет $x + 4$ года. Нынешний возраст отца — 30 лет.

Теперь определим возраст каждого из них через 2 года:

Возраст сестры через 2 года будет $x + 2$ года.

Возраст брата через 2 года будет $(x + 4) + 2 = x + 6$ лет.

Возраст отца через 2 года будет $30 + 2 = 32$ года.

По условию, через 2 года сумма возрастов брата и сестры будет в 2 раза меньше возраста отца. Составим уравнение на основе данных через 2 года:

$(x + 2) + (x + 6) = \frac{32}{2}$

Теперь решим полученное уравнение:

$2x + 8 = 16$

$2x = 16 - 8$

$2x = 8$

$x = \frac{8}{2}$

$x = 4$

Следовательно, нынешний возраст сестры — 4 года.

Нынешний возраст брата: $x + 4 = 4 + 4 = 8$ лет.

Возраст каждого из них через 2 года:

Возраст сестры: $4 + 2 = 6$ лет.

Возраст брата: $8 + 2 = 10$ лет.

Ответ: сейчас брату 8 лет, а сестре 4 года; через 2 года брату будет 10 лет, а сестре — 6 лет.