Номер 344, страница 106 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 4.1. Алгебраический способ решения задач. Глава 4. Уравнения - номер 344, страница 106.

344 Широко известна старинная задача о фазанах и кроликах: «В клетке находятся фазаны и кролики. Известно, что у них 35 голов и 94 ноги. Узнайте число фазанов и число кроликов».

Составьте разные уравнения по условию задачи, обозначив буквой:

а) число фазанов;

б) число кроликов;

в) число ног у фазанов;

г) число ног у кроликов.

Это классическая задача, которую можно решить несколькими способами, составляя разные уравнения. В задаче дано: всего 35 голов и 94 ноги. У фазана 2 ноги, у кролика — 4. У каждого животного по одной голове.

а) число фазанов;

Обозначим число фазанов буквой $x$.

Поскольку всего 35 голов (животных), то число кроликов будет $35 - x$.

Теперь составим уравнение, исходя из общего числа ног. У $x$ фазанов будет $2x$ ног, а у $(35 - x)$ кроликов будет $4(35 - x)$ ног. Сумма всех ног равна 94.

Получаем уравнение:

$2x + 4(35 - x) = 94$

Решим это уравнение:

$2x + 140 - 4x = 94$

$140 - 2x = 94$

$2x = 140 - 94$

$2x = 46$

$x = 23$

Таким образом, число фазанов равно 23. Найдем число кроликов: $35 - 23 = 12$.

Проверка: $23 \text{ фазана} \times 2 \text{ ноги} + 12 \text{ кроликов} \times 4 \text{ ноги} = 46 + 48 = 94$ ноги. Все верно.

Ответ: 23 фазана и 12 кроликов.

б) число кроликов;

Обозначим число кроликов буквой $y$.

Так как всего 35 животных, то число фазанов будет $35 - y$.

Составим уравнение по числу ног. У $y$ кроликов будет $4y$ ног, а у $(35 - y)$ фазанов будет $2(35 - y)$ ног. Общее число ног — 94.

Получаем уравнение:

$4y + 2(35 - y) = 94$

Решим его:

$4y + 70 - 2y = 94$

$2y + 70 = 94$

$2y = 94 - 70$

$2y = 24$

$y = 12$

Итак, число кроликов равно 12. Найдем число фазанов: $35 - 12 = 23$.

Ответ: 23 фазана и 12 кроликов.

в) число ног у фазанов;

Обозначим общее число ног у всех фазанов буквой $z$.

Каждый фазан имеет 2 ноги, значит, число фазанов равно $z/2$.

Общее число ног у кроликов будет $94 - z$. Так как у каждого кролика 4 ноги, то число кроликов равно $(94 - z)/4$.

Сумма голов (числа фазанов и кроликов) равна 35. Составим уравнение:

$\frac{z}{2} + \frac{94 - z}{4} = 35$

Для решения умножим обе части уравнения на 4, чтобы избавиться от знаменателей:

$4 \cdot \frac{z}{2} + 4 \cdot \frac{94 - z}{4} = 35 \cdot 4$

$2z + (94 - z) = 140$

$z + 94 = 140$

$z = 140 - 94$

$z = 46$

Мы нашли общее число ног у фазанов. Теперь найдем число фазанов: $46 / 2 = 23$.

Число кроликов: $(94 - 46) / 4 = 48 / 4 = 12$.

Ответ: 23 фазана и 12 кроликов.

г) число ног у кроликов.

Обозначим общее число ног у всех кроликов буквой $w$.

У каждого кролика 4 ноги, следовательно, число кроликов равно $w/4$.

Общее число ног у фазанов будет $94 - w$. У каждого фазана 2 ноги, значит, число фазанов равно $(94 - w)/2$.

Сумма голов (животных) равна 35. Составим уравнение:

$\frac{w}{4} + \frac{94 - w}{2} = 35$

Умножим обе части уравнения на 4:

$4 \cdot \frac{w}{4} + 4 \cdot \frac{94 - w}{2} = 35 \cdot 4$

$w + 2(94 - w) = 140$

$w + 188 - 2w = 140$

$188 - w = 140$

$w = 188 - 140$

$w = 48$

Это общее число ног у кроликов. Найдем число кроликов: $48 / 4 = 12$.

Число фазанов: $(94 - 48) / 2 = 46 / 2 = 23$.

Ответ: 23 фазана и 12 кроликов.