Номер 347, страница 107 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 4.1. Алгебраический способ решения задач. Глава 4. Уравнения - номер 347, страница 107.

347 (Старинная задача.) Некто сказал другу: «Дай мне 100 рупий, и я буду вдвое богаче тебя». Друг ответил: «Дай ты мне только 10, и я стану в 6 раз богаче тебя». Сколько денег было у каждого? Составьте уравнение по условию задачи.

$x + 100 = 2(y - 100)$

$y + 10 = 6(x - 10)$

Для решения этой задачи введем переменные. Пусть у первого друга было $x$ рублей, а у второго друга — $y$ рублей.

Составьте уравнение по условию задачи

Условие задачи состоит из двух частей, на основе которых можно составить систему из двух уравнений.

1. «Дай мне 100 рупий, и я буду вдвое богаче тебя».
Если второй друг даст первому 100 рублей, то у первого станет $(x + 100)$ рублей, а у второго останется $(y - 100)$ рублей. По условию, сумма денег первого друга станет в два раза больше суммы денег второго. Это можно выразить уравнением:
$x + 100 = 2(y - 100)$

2. «Дай ты мне только 10, и я стану в 6 раз богаче тебя».
Если первый друг даст второму 10 рублей, то у него останется $(x - 10)$ рублей, а у второго станет $(y + 10)$ рублей. По условию, сумма денег второго друга станет в шесть раз больше суммы денег первого. Это можно выразить вторым уравнением:
$y + 10 = 6(x - 10)$

Таким образом, мы составили систему уравнений, полностью описывающую условие задачи:
$\begin{cases} x + 100 = 2(y - 100) \\ y + 10 = 6(x - 10) \end{cases}$

Сколько денег было у каждого?

Чтобы найти, сколько денег было у каждого, решим полученную систему уравнений. Сначала упростим оба уравнения.
Из первого уравнения выразим $x$:
$x + 100 = 2y - 200$
$x = 2y - 200 - 100$
$x = 2y - 300$

Упростим второе уравнение:
$y + 10 = 6x - 60$
$y = 6x - 70$

Теперь подставим выражение для $x$ (из первого уравнения) во второе уравнение:
$y = 6(2y - 300) - 70$
Раскроем скобки и решим уравнение относительно $y$:
$y = 12y - 1800 - 70$
$y = 12y - 1870$
$1870 = 12y - y$
$1870 = 11y$
$y = \frac{1870}{11}$
$y = 170$

Итак, у второго друга было 170 рублей. Теперь найдем количество денег у первого друга, подставив значение $y$ в выражение для $x$:
$x = 2y - 300$
$x = 2 \cdot 170 - 300$
$x = 340 - 300$
$x = 40$

Таким образом, у первого друга было 40 рублей, а у второго — 170 рублей.

Ответ: у первого друга было 40 рублей, а у второго друга было 170 рублей.