Страница 107 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

345 Запишите условие задачи на языке уравнений:

a) К задуманному числу прибавили 11, затем сумму поделили пополам и получили число, которое на 2 больше задуманного. Какое число было задумано?

$(x + 11) / 2 = x + 2$

b) Из задуманного числа вычли 5, затем разность поделили на 5 и получили число, в 5 раз меньшее, чем получили бы, прибавив 5 к трети задуманного числа. Какое число было задумано?

$(x - 5) / 5 = (x/3 + 5) / 5$

а)

Пусть $x$ – это задуманное число.
Согласно условию, к этому числу прибавили 11, что можно записать как $x + 11$.
Затем полученную сумму поделили пополам, то есть $\frac{x+11}{2}$.
В результате получилось число, которое на 2 больше задуманного, то есть $x + 2$.
Теперь мы можем составить уравнение, приравняв результат операций к конечному числу:
$\frac{x+11}{2} = x+2$
Для решения этого уравнения умножим обе его части на 2:
$x+11 = 2(x+2)$
Раскроем скобки в правой части:
$x+11 = 2x+4$
Перенесем все слагаемые с $x$ в правую часть, а числа — в левую:
$11-4 = 2x-x$
$7 = x$
Таким образом, задуманное число равно 7.

Ответ: 7.

б)

Пусть $x$ – это задуманное число.
Из задуманного числа вычли 5, а затем разность поделили на 5. Это действие можно записать в виде выражения: $\frac{x-5}{5}$.
Другое действие: к трети задуманного числа (то есть к $\frac{x}{3}$) прибавили 5. Это можно записать так: $\frac{x}{3} + 5$.
По условию задачи, результат первого действия в 5 раз меньше, чем результат второго. Это означает, что если результат первого действия умножить на 5, он будет равен результату второго действия. Составим уравнение:
$5 \cdot \frac{x-5}{5} = \frac{x}{3} + 5$
Сократим 5 в левой части уравнения:
$x-5 = \frac{x}{3} + 5$
Перенесем слагаемое $\frac{x}{3}$ в левую часть, а число -5 – в правую, изменив их знаки:
$x - \frac{x}{3} = 5 + 5$
Приведем подобные слагаемые в левой части:
$\frac{3x}{3} - \frac{x}{3} = 10$
$\frac{2x}{3} = 10$
Чтобы найти $x$, умножим обе части уравнения на $\frac{3}{2}$:
$x = 10 \cdot \frac{3}{2}$
$x = 15$
Следовательно, задуманное число равно 15.

Ответ: 15.

346 Восстановите условие задачи «на задуманное число» по следующему уравнению (буквой обозначено задуманное число):

a) $8(x-1)=6x;$

б) $(4y-7):3-1=y.$

а)

Чтобы восстановить условие задачи, нужно "прочитать" уравнение $8(x - 1) = 6x$, где $x$ — задуманное число.

• $x-1$ — от задуманного числа отняли 1.
• $8(x-1)$ — полученную разность умножили на 8.
• $6x$ — задуманное число, умноженное на 6 (или увеличенное в 6 раз).
• $=$ — результат первого действия равен результату второго.

Таким образом, условие задачи может звучать так:
«Если от задуманного числа отнять 1, а полученную разность умножить на 8, то получится то же самое, что и задуманное число, умноженное на 6. Найдите задуманное число.»

Теперь решим это уравнение:
$8(x - 1) = 6x$
Раскроем скобки в левой части:
$8x - 8 = 6x$
Перенесем слагаемые с переменной $x$ в левую часть, а числа — в правую, меняя знаки:
$8x - 6x = 8$
$2x = 8$
Найдем $x$:
$x = 8 : 2$
$x = 4$

Ответ: Условие задачи: «Если от задуманного числа отнять 1, а полученную разность умножить на 8, то получится то же самое, что и задуманное число, умноженное на 6. Найдите задуманное число.» Задуманное число равно 4.

б)

Восстановим условие задачи для уравнения $(4y - 7) : 3 - 1 = y$, где $y$ — задуманное число.

• $4y$ — задуманное число умножили на 4.
• $4y-7$ — от результата отняли 7.
• $(4y-7):3$ — полученную разность разделили на 3.
• $(4y-7):3 - 1$ — от полученного частного отняли 1.
• $=$ — в итоге получилось исходное задуманное число $y$.

Таким образом, условие задачи может звучать так:
«Задумали число. Его умножили на 4, из результата вычли 7, полученную разность разделили на 3, а затем из частного вычли 1. В итоге получилось задуманное число. Какое число задумали?»

Теперь решим это уравнение:
$(4y - 7) : 3 - 1 = y$
Перенесем 1 в правую часть:
$(4y - 7) : 3 = y + 1$
Умножим обе части уравнения на 3:
$4y - 7 = 3(y + 1)$
Раскроем скобки в правой части:
$4y - 7 = 3y + 3$
Перенесем слагаемые с $y$ влево, а числа — вправо:
$4y - 3y = 3 + 7$
$y = 10$

Ответ: Условие задачи: «Задумали число. Его умножили на 4, из результата вычли 7, полученную разность разделили на 3, а затем из частного вычли 1. В итоге получилось задуманное число. Какое число задумали?» Задуманное число равно 10.

347 (Старинная задача.) Некто сказал другу: «Дай мне 100 рупий, и я буду вдвое богаче тебя». Друг ответил: «Дай ты мне только 10, и я стану в 6 раз богаче тебя». Сколько денег было у каждого? Составьте уравнение по условию задачи.

$x + 100 = 2(y - 100)$

$y + 10 = 6(x - 10)$

Для решения этой задачи введем переменные. Пусть у первого друга было $x$ рублей, а у второго друга — $y$ рублей.

Составьте уравнение по условию задачи

Условие задачи состоит из двух частей, на основе которых можно составить систему из двух уравнений.

1. «Дай мне 100 рупий, и я буду вдвое богаче тебя».
Если второй друг даст первому 100 рублей, то у первого станет $(x + 100)$ рублей, а у второго останется $(y - 100)$ рублей. По условию, сумма денег первого друга станет в два раза больше суммы денег второго. Это можно выразить уравнением:
$x + 100 = 2(y - 100)$

2. «Дай ты мне только 10, и я стану в 6 раз богаче тебя».
Если первый друг даст второму 10 рублей, то у него останется $(x - 10)$ рублей, а у второго станет $(y + 10)$ рублей. По условию, сумма денег второго друга станет в шесть раз больше суммы денег первого. Это можно выразить вторым уравнением:
$y + 10 = 6(x - 10)$

Таким образом, мы составили систему уравнений, полностью описывающую условие задачи:
$\begin{cases} x + 100 = 2(y - 100) \\ y + 10 = 6(x - 10) \end{cases}$

Сколько денег было у каждого?

Чтобы найти, сколько денег было у каждого, решим полученную систему уравнений. Сначала упростим оба уравнения.
Из первого уравнения выразим $x$:
$x + 100 = 2y - 200$
$x = 2y - 200 - 100$
$x = 2y - 300$

Упростим второе уравнение:
$y + 10 = 6x - 60$
$y = 6x - 70$

Теперь подставим выражение для $x$ (из первого уравнения) во второе уравнение:
$y = 6(2y - 300) - 70$
Раскроем скобки и решим уравнение относительно $y$:
$y = 12y - 1800 - 70$
$y = 12y - 1870$
$1870 = 12y - y$
$1870 = 11y$
$y = \frac{1870}{11}$
$y = 170$

Итак, у второго друга было 170 рублей. Теперь найдем количество денег у первого друга, подставив значение $y$ в выражение для $x$:
$x = 2y - 300$
$x = 2 \cdot 170 - 300$
$x = 340 - 300$
$x = 40$

Таким образом, у первого друга было 40 рублей, а у второго — 170 рублей.

Ответ: у первого друга было 40 рублей, а у второго друга было 170 рублей.