Страница 108 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Что называется корнем уравнения? Определите, является ли число –2 корнем уравнения, и объясните ответ:

a) $x^2 + x + 2 = 0$

б) $x^4 + 4 = 20$

в) $(x-5)(x+2) = 0$

г) $|x| + 3 = 1$

Корнем (или решением) уравнения называется такое значение переменной (неизвестной), при подстановке которого в уравнение получается верное числовое равенство.

Чтобы определить, является ли число $-2$ корнем уравнения, необходимо подставить это значение вместо переменной $x$ в каждое уравнение и проверить, получится ли верное равенство (то есть, совпадут ли левая и правая части уравнения).

а) $x^2 + x + 2 = 0$
Подставляем $x = -2$ в уравнение:
$(-2)^2 + (-2) + 2 = 4 - 2 + 2 = 4$.
Мы получили равенство $4 = 0$, которое является неверным. Следовательно, число $-2$ не является корнем этого уравнения.
Ответ: нет.

б) $x^4 + 4 = 20$
Подставляем $x = -2$ в уравнение:
$(-2)^4 + 4 = 16 + 4 = 20$.
Мы получили равенство $20 = 20$, которое является верным. Следовательно, число $-2$ является корнем этого уравнения.
Ответ: да.

в) $(x - 5)(x + 2) = 0$
Подставляем $x = -2$ в уравнение:
$(-2 - 5)(-2 + 2) = (-7) \cdot 0 = 0$.
Мы получили равенство $0 = 0$, которое является верным. Следовательно, число $-2$ является корнем этого уравнения.
Ответ: да.

г) $|x| + 3 = 1$
Подставляем $x = -2$ в уравнение:
$|-2| + 3 = 2 + 3 = 5$.
Мы получили равенство $5 = 1$, которое является неверным. Следовательно, число $-2$ не является корнем этого уравнения.
Ответ: нет.

Прочитайте два предложения, разъясняющие смысл слов «решить уравнение». Объясните, почему они означают одно и то же.

Поскольку в тексте вопроса не приведены сами предложения, разъясняющие смысл слов «решить уравнение», будем исходить из двух стандартных определений, которые обычно приводятся в учебниках алгебры:

1. Решить уравнение — значит найти все его корни или доказать, что корней нет.

2. Решить уравнение — это значит найти множество его корней.

Эти два определения означают одно и то же, и чтобы это доказать, нужно понять, как соотносятся понятия «корень» и «множество корней».

Корень уравнения — это такое значение переменной (например, $x$), при подстановке которого в уравнение получается верное числовое равенство.

Множество корней — это совокупность (или коллекция) всех корней данного уравнения.

Теперь сопоставим оба определения.

Первое определение явно разделяет процесс решения на два возможных исхода:

- «найти все его корни»: это случай, когда у уравнения есть одно или несколько решений. Например, у уравнения $x^2 = 25$ есть два корня: $5$ и $-5$.

- «доказать, что корней нет»: это случай, когда не существует ни одного числа, которое бы удовлетворяло уравнению. Например, уравнение $x^2 = -4$ не имеет действительных корней.

Второе определение использует более общее и строгое математическое понятие «множество». Ключевой особенностью множества является то, что оно может содержать в себе элементы, а может быть и пустым, то есть не содержать ни одного элемента.

Связь между определениями становится очевидной, если рассмотреть, как понятие «множество корней» описывает оба этих исхода:

- Если у уравнения есть корни, то «найти множество его корней» означает найти множество, состоящее из этих чисел. Для уравнения $x^2 = 25$ множество корней — это $\{-5, 5\}$. Это полностью соответствует части «найти все его корни».

- Если у уравнения корней нет, то его множество корней не содержит ни одного элемента. Такое множество называется пустым множеством и обозначается символом $ \emptyset $. Таким образом, «найти множество его корней» в этом случае означает установить, что оно пусто. Это полностью соответствует части «доказать, что корней нет».

Следовательно, второе определение является более лаконичным и универсальным, так как оно одним понятием «множество корней» охватывает все возможные ситуации, которые в первом определении перечислены отдельно.

Ответ: Эти предложения означают одно и то же, потому что второе определение («найти множество его корней») является математическим обобщением первого. Понятие «множество» включает в себя как набор, состоящий из одного или нескольких корней (что соответствует части «найти все его корни»), так и «пустое множество» $ \emptyset $, которое соответствует части «доказать, что корней нет».

348 Докажите, что:

а) число 4 является корнем уравнения $2x - 7 = 5 - x;$

б) число $-3$ является корнем уравнения $x(x + 5) = -6;$

в) число 4 является корнем уравнения $\frac{x}{2} - \frac{x}{4} = 1;$

г) число $-2$ является корнем уравнения $x - 2(5x - 1) = -10x.$

а) Чтобы доказать, что число 4 является корнем уравнения $2x - 7 = 5 - x$, необходимо подставить $x = 4$ в обе части уравнения и проверить, выполняется ли равенство.
Подставляем в левую часть: $2x - 7 = 2 \cdot 4 - 7 = 8 - 7 = 1$.
Подставляем в правую часть: $5 - x = 5 - 4 = 1$.
Поскольку левая и правая части равны ($1 = 1$), то число 4 действительно является корнем данного уравнения.
Ответ: Доказано, так как при подстановке $x=4$ получается верное числовое равенство $1=1$.

б) Чтобы доказать, что число -3 является корнем уравнения $x(x + 5) = -6$, подставим $x = -3$ в левую часть уравнения.
Левая часть: $x(x + 5) = -3(-3 + 5) = -3 \cdot 2 = -6$.
Правая часть уравнения равна $-6$.
Поскольку левая часть равна правой ($-6 = -6$), то число -3 является корнем данного уравнения.
Ответ: Доказано, так как при подстановке $x=-3$ получается верное числовое равенство $-6=-6$.

в) Чтобы доказать, что число 4 является корнем уравнения $\frac{x}{2} - \frac{x}{4} = 1$, подставим $x = 4$ в левую часть уравнения.
Левая часть: $\frac{x}{2} - \frac{x}{4} = \frac{4}{2} - \frac{4}{4} = 2 - 1 = 1$.
Правая часть уравнения равна $1$.
Поскольку левая часть равна правой ($1 = 1$), то число 4 является корнем данного уравнения.
Ответ: Доказано, так как при подстановке $x=4$ получается верное числовое равенство $1=1$.

г) Чтобы доказать, что число -2 является корнем уравнения $x - 2(5x - 1) = -10x$, подставим $x = -2$ в обе части уравнения.
Левая часть: $x - 2(5x - 1) = -2 - 2(5 \cdot (-2) - 1) = -2 - 2(-10 - 1) = -2 - 2(-11) = -2 + 22 = 20$.
Правая часть: $-10x = -10 \cdot (-2) = 20$.
Поскольку левая и правая части равны ($20 = 20$), то число -2 является корнем данного уравнения.
Ответ: Доказано, так как при подстановке $x=-2$ получается верное числовое равенство $20=20$.

349 Является ли корнем уравнения $2x^2 - 5x - 3 = 0$ число:

а) 3;

б) -4;

в) $-\frac{1}{2}$;

г) $\frac{1}{2}$?

Чтобы проверить, является ли число корнем уравнения, нужно подставить это число вместо переменной $x$ в уравнение $2x^2 - 5x - 3 = 0$. Если в результате подстановки левая часть уравнения будет равна нулю, то число является корнем.

а) 3;

Подставим число 3 в уравнение:

$2 \cdot (3)^2 - 5 \cdot 3 - 3 = 2 \cdot 9 - 15 - 3 = 18 - 15 - 3 = 0$

Так как $0 = 0$, равенство верное. Следовательно, число 3 является корнем уравнения.

Ответ: является.

б) -4;

Подставим число -4 в уравнение:

$2 \cdot (-4)^2 - 5 \cdot (-4) - 3 = 2 \cdot 16 + 20 - 3 = 32 + 20 - 3 = 49$

Так как $49 \neq 0$, равенство неверное. Следовательно, число -4 не является корнем уравнения.

Ответ: не является.

в) $-\frac{1}{2}$;

Подставим число $-\frac{1}{2}$ в уравнение:

$2 \cdot (-\frac{1}{2})^2 - 5 \cdot (-\frac{1}{2}) - 3 = 2 \cdot \frac{1}{4} + \frac{5}{2} - 3 = \frac{2}{4} + \frac{5}{2} - 3 = \frac{1}{2} + \frac{5}{2} - 3 = \frac{6}{2} - 3 = 3 - 3 = 0$

Так как $0 = 0$, равенство верное. Следовательно, число $-\frac{1}{2}$ является корнем уравнения.

Ответ: является.

г) $\frac{1}{2}$?

Подставим число $\frac{1}{2}$ в уравнение:

$2 \cdot (\frac{1}{2})^2 - 5 \cdot \frac{1}{2} - 3 = 2 \cdot \frac{1}{4} - \frac{5}{2} - 3 = \frac{2}{4} - \frac{5}{2} - 3 = \frac{1}{2} - \frac{5}{2} - 3 = -\frac{4}{2} - 3 = -2 - 3 = -5$

Так как $-5 \neq 0$, равенство неверное. Следовательно, число $\frac{1}{2}$ не является корнем уравнения.

Ответ: не является.