Страница 101 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

1 Какое из следующих равенств выражает правило вычитания из числа суммы двух чисел?

1) $a + (b - c) = a + b - c$

2) $a - (b - c) = a - b + c$

3) $a - (b + c) = a - b - c$

4) $(a + b) - c = a + b - c$

Вопрос заключается в том, чтобы найти равенство, которое соответствует правилу "вычитания из числа суммы двух чисел".

Сформулируем это правило в общем виде. Пусть нам нужно из числа $a$ вычесть сумму двух чисел $b$ и $c$. Это действие записывается как $a - (b + c)$. Правило гласит, что для этого можно из числа $a$ вычесть первое слагаемое $b$, а затем из полученного результата вычесть второе слагаемое $c$.

Таким образом, искомое равенство имеет вид: $a - (b + c) = a - b - c$.

Теперь проанализируем предложенные варианты:

1) Равенство $a + (b - c) = a + b - c$ выражает правило прибавления к числу разности. Это не соответствует условию.

2) Равенство $a - (b - c) = a - b + c$ выражает правило вычитания из числа разности. Это также не является искомым правилом.

3) Равенство $a - (b + c) = a - b - c$ в точности соответствует искомому правилу. В левой части мы видим вычитание суммы $(b+c)$ из числа $a$. В правой части показан результат выполнения этого действия согласно правилу раскрытия скобок, перед которыми стоит знак минус. Этот вариант является верным.

4) Равенство $(a + b) - c = a + b - c$ выражает правило вычитания числа из суммы, а не суммы из числа.

Следовательно, равенство, которое выражает правило вычитания из числа суммы двух чисел, находится под номером 3.

Ответ: 3

2 Из приведённых выражений:

А) $a^2 - b^2$

Б) $a^2 + b^2$

В) $a(a - b) + b(a - b)$

выберите те, с помощью которых можно найти площадь фигуры, изображённой на рисунке.

1) А и Б

2) А и В

3) Б и В

4) А, Б и В

Для того чтобы определить, какие из предложенных выражений подходят для нахождения площади фигуры, проанализируем каждое из них, рассмотрев различные способы вычисления площади.

А) $a^2 - b^2$
Этот способ основан на методе вычитания. Фигуру можно рассматривать как большой квадрат со стороной $a$, площадь которого равна $a^2$, и из которого вырезали меньший квадрат со стороной $b$, площадь которого равна $b^2$. Площадь оставшейся фигуры равна разности этих площадей: $S = a^2 - b^2$.
Ответ: Выражение подходит.

Б) $a^2 + b^2$
Это выражение представляет собой сумму площадей двух квадратов. Оно не соответствует площади данной фигуры, которая получена в результате вырезания (вычитания) части из целого, а не сложения.
Ответ: Выражение не подходит.

В) $a(a - b) + b(a - b)$
Этот способ основан на методе сложения. Фигуру можно разбить на два прямоугольника. Например, вертикальным разрезом можно получить левый прямоугольник со сторонами $a$ и $(a-b)$ и правый прямоугольник со сторонами $b$ и $(a-b)$. Сумма их площадей будет равна $S = a(a - b) + b(a - b)$. Также стоит отметить, что это выражение алгебраически тождественно выражению А, так как по формуле разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$.
Ответ: Выражение подходит.

Таким образом, для вычисления площади фигуры можно использовать выражения А и В. Среди предложенных вариантов это соответствует номеру 2.

3 Какому из выражений равно выражение $a+a+a+a+a+a$?

1) $6a$

2) $a^6$

3) $a+6$

4) $6$

В задаче требуется найти эквивалентное выражение для суммы $a + a + a + a + a + a$.

Данное выражение представляет собой сумму шести одинаковых слагаемых, каждое из которых равно переменной $a$.

По определению умножения, сложение одинаковых слагаемых можно заменить умножением. Если некоторое слагаемое $x$ складывается само с собой $n$ раз, то результат равен произведению $n \cdot x$.

В нашем случае слагаемое — это $a$, а количество слагаемых — 6. Следовательно, сумму можно записать в виде произведения: $a + a + a + a + a + a = 6 \cdot a = 6a$.

Теперь сравним полученный результат с предложенными вариантами:

1) $6a$ — это выражение совпадает с результатом нашего упрощения.

2) $a^6$ — это степень, которая означает произведение $a \cdot a \cdot a \cdot a \cdot a \cdot a$. Это неверно, так как в исходном выражении используется сложение.

3) $a + 6$ — это сумма переменной $a$ и числа 6, что не эквивалентно сложению шести переменных $a$. Это неверно.

4) $6$ — это число, которое не может быть равно выражению, содержащему переменную (за исключением частных случаев, которые не рассматриваются при поиске тождества). Это неверно.

Таким образом, верным является первый вариант.

Ответ: 1) $6a$.

4. Запишите без скобок алгебраическую сумму $2m - (-p) + (-12q)$.

Чтобы записать данную алгебраическую сумму без скобок, необходимо применить правила раскрытия скобок. Напомним правила знаков:

• Если перед скобкой стоит знак «+», то знаки слагаемых в скобках не меняются. Например, $a + (b - c) = a + b - c$.
• Если перед скобкой стоит знак «−», то знаки слагаемых в скобках меняются на противоположные. Например, $a - (b - c) = a - b + c$.

Рассмотрим исходное выражение: $2m - (-p) + (-12q)$.

1. Раскроем скобку в выражении $-(-p)$. Перед скобкой стоит знак «−», поэтому знак у $p$ меняется с минуса на плюс. Получаем: $ -(-p) = +p$.

2. Раскроем скобку в выражении $+(-12q)$. Перед скобкой стоит знак «+», поэтому знак у $12q$ не меняется и остается минусом. Получаем: $+(-12q) = -12q$.

3. Теперь подставим полученные результаты в исходное выражение:

$2m - (-p) + (-12q) = 2m + p - 12q$.

Ответ: $2m + p - 12q$

5 Каждое выражение из верхней строки соотнесите с равными ему выражениями из нижней строки.

А) $a - b - c$

Б) $a - b + c$

1) $c - b + a$

2) $-c - b + a$

3) $-b + a - c$

4) $-b + a + c$

Для решения этой задачи необходимо для каждого выражения из верхней строки найти все равные ему выражения из нижней строки. Равенство выражений будем проверять с помощью перестановки слагаемых, сохраняя их знаки. Это основано на переместительном свойстве сложения, которое гласит, что от перемены мест слагаемых сумма не меняется ($x+y = y+x$). Вычитание можно рассматривать как сложение с отрицательным числом ($x-y = x+(-y)$).

Рассмотрим выражение $a - b - c$. Оно состоит из трех слагаемых: $+a$, $-b$ и $-c$. Теперь проанализируем каждое выражение из нижней строки, приводя его к стандартному виду с алфавитным порядком переменных.

1) Выражение $c - b + a$. Переставим слагаемые: $a - b + c$. Это выражение не равно исходному $a - b - c$, так как знак при переменной $c$ отличается.

2) Выражение $-c - b + a$. Переставим слагаемые: $a - b - c$. Это выражение полностью совпадает с исходным.

3) Выражение $-b + a - c$. Переставим слагаемые: $a - b - c$. Это выражение также полностью совпадает с исходным.

4) Выражение $-b + a + c$. Переставим слагаемые: $a - b + c$. Это выражение не равно исходному.

Следовательно, выражению А) равны выражения под номерами 2 и 3.

Ответ: 2, 3.

Рассмотрим выражение $a - b + c$. Оно состоит из трех слагаемых: $+a$, $-b$ и $+c$. Проанализируем каждое выражение из нижней строки.

1) Выражение $c - b + a$. Переставим слагаемые: $a - b + c$. Это выражение полностью совпадает с исходным.

2) Выражение $-c - b + a$. Переставим слагаемые: $a - b - c$. Это выражение не равно исходному.

3) Выражение $-b + a - c$. Переставим слагаемые: $a - b - c$. Это выражение не равно исходному.

4) Выражение $-b + a + c$. Переставим слагаемые: $a - b + c$. Это выражение также полностью совпадает с исходным.

Следовательно, выражению Б) равны выражения под номерами 1 и 4.

Ответ: 1, 4.

6 Какое из следующих равенств неверно?

1) $(-a)(-b)(-c) = -abc$

2) $(-a)(-b)c = abc$

3) $a(-b)(-c) = abc$

4) $(-a)b(-c) = -abc$

Для того чтобы определить, какое из равенств неверно, необходимо проверить каждое из них, используя правила умножения чисел с разными знаками. Основное правило, которое мы будем использовать: произведение четного числа отрицательных множителей является положительным, а произведение нечетного числа отрицательных множителей — отрицательным.

1) $(-a)(-b)(-c) = -abc$

В левой части равенства находится произведение трех множителей со знаком «минус»: $(-a)$, $(-b)$, и $(-c)$. Так как количество отрицательных множителей нечетное (равно 3), то их произведение будет отрицательным числом.

Выполним умножение последовательно:

$(-a) \cdot (-b) = ab$

$(ab) \cdot (-c) = -abc$

В результате получаем, что левая часть равна $-abc$, что совпадает с правой частью. Таким образом, равенство $-abc = -abc$ является верным.

2) $(-a)(-b)c = abc$

В левой части равенства находятся два отрицательных множителя, $(-a)$ и $(-b)$, и один положительный, $c$. Количество отрицательных множителей четное (равно 2), следовательно, результат произведения будет положительным числом.

$(-a) \cdot (-b) \cdot c = (ab) \cdot c = abc$

Левая часть равна $abc$, что совпадает с правой частью. Равенство $abc = abc$ является верным.

3) $a(-b)(-c) = abc$

В левой части также два отрицательных множителя, $(-b)$ и $(-c)$, и один положительный, $a$. Количество отрицательных множителей четное (равно 2), поэтому результат будет положительным.

$a \cdot (-b) \cdot (-c) = a \cdot (bc) = abc$

Левая часть равна $abc$, что совпадает с правой частью. Равенство $abc = abc$ является верным.

4) $(-a)b(-c) = -abc$

В левой части равенства два отрицательных множителя, $(-a)$ и $(-c)$, и один положительный, $b$. Количество отрицательных множителей четное (равно 2), значит, их произведение должно быть положительным числом.

$(-a) \cdot b \cdot (-c) = ((-a) \cdot (-c)) \cdot b = (ac) \cdot b = abc$

В результате преобразования левой части мы получили $abc$. Правая же часть равенства равна $-abc$. Равенство $abc = -abc$ является неверным (оно справедливо только в частном случае, когда $abc = 0$).

Следовательно, неверным является четвертое равенство.

Ответ: 4

7 Упростите выражение $-3xy \cdot (-2xz)$.

Чтобы упростить выражение $-3xy \cdot (-2xz)$, необходимо перемножить два одночлена. Умножение выполняется поэтапно: сначала перемножаются числовые коэффициенты, а затем — переменные.

1. Умножение коэффициентов. Перемножим числовые множители $-3$ и $-2$. Произведение двух отрицательных чисел является положительным числом:

$-3 \cdot (-2) = 6$

2. Умножение переменных. Теперь перемножим переменные части одночленов: $xy$ и $xz$. Используя переместительный закон умножения, сгруппируем одинаковые переменные:

$(x \cdot x) \cdot y \cdot z$

При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются (по правилу $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$). В нашем случае $x = x^1$:

$x \cdot x = x^1 \cdot x^1 = x^{1+1} = x^2$

Переменные $y$ и $z$ встречаются только по одному разу, поэтому они остаются в первой степени.

3. Объединение результатов. Соединим полученный числовой коэффициент и результат умножения переменных:

$6 \cdot x^2 \cdot y \cdot z = 6x^2yz$

Ответ: $6x^2yz$

8 Туристы проехали на автобусе $n$ км, на поезде в 3 раза больше и прошли пешком $\frac{1}{6}$ того расстояния, которое они проехали на поезде. Сколько километров туристы прошли пешком?

Для решения задачи нужно последовательно найти расстояние, пройденное на каждом виде транспорта, опираясь на данные из условия.

1. Находим расстояние, которое туристы проехали на поезде.

Из условия известно, что на автобусе туристы проехали $n$ км. Расстояние, которое они проехали на поезде, в 3 раза больше. Следовательно, чтобы найти это расстояние, нужно расстояние на автобусе умножить на 3:

$n \times 3 = 3n$ (км) — расстояние, которое проехали на поезде.

2. Находим расстояние, которое туристы прошли пешком.

По условию, пешком туристы прошли $\frac{1}{6}$ того расстояния, которое они проехали на поезде. Мы уже знаем, что на поезде они проехали $3n$ км. Чтобы найти $\frac{1}{6}$ от этого числа, нужно умножить расстояние на поезде на дробь $\frac{1}{6}$:

$3n \times \frac{1}{6} = \frac{3n}{6}$ (км)

Теперь упростим полученное выражение, сократив дробь $\frac{3}{6}$ на 3:

$\frac{3n}{6} = \frac{1n}{2} = \frac{n}{2}$ (км)

Таким образом, туристы прошли пешком расстояние, равное $\frac{n}{2}$ километров.

Ответ: $\frac{n}{2}$ км.

9 Упростите выражение $(m+m+m)(n+n+n)$.

1) $6mn$

2) $9mn$

3) $m^3 n^3$

4) $3(m+n)$

Для того чтобы упростить выражение $(m + m + m)(n + n + n)$, необходимо сначала выполнить сложение в каждой из скобок.

1. Упростим выражение в первой скобке. Сумма трех одинаковых слагаемых $m$ эквивалентна произведению этого слагаемого на 3.

$m + m + m = 3m$

2. Аналогично упростим выражение во второй скобке. Сумма трех одинаковых слагаемых $n$ эквивалентна произведению этого слагаемого на 3.

$n + n + n = 3n$

3. Теперь исходное выражение можно записать как произведение результатов, полученных на предыдущих шагах:

$(3m) \times (3n)$

Чтобы перемножить эти два одночлена, мы перемножаем их числовые коэффициенты и переменные по отдельности:

$(3 \times 3) \times (m \times n) = 9mn$

Таким образом, упрощенное выражение равно $9mn$. Сравнив с предложенными вариантами, мы видим, что это соответствует варианту 2.

Ответ: 2) $9mn$

10 Пусть $x$ — отрицательное число. Какие из чисел:

1) $x+x+x$

2) $x(x+x+x)$

3) $x^3+x$

4) $x^3$

являются отрицательными?

По условию задачи, $x$ — отрицательное число, то есть $x < 0$. Проанализируем каждое выражение, чтобы определить его знак.

1) $x + x + x$

Упростим данное выражение: $x + x + x = 3x$. Поскольку $x$ — отрицательное число, а 3 — положительное, их произведение $3x$ будет отрицательным числом. Например, если $x = -2$, то $3 \cdot (-2) = -6 < 0$.
Ответ: отрицательное.

2) $x(x + x + x)$

Сначала упростим выражение в скобках: $x + x + x = 3x$. Теперь подставим это в исходное выражение: $x \cdot (3x) = 3x^2$. Так как $x$ — отрицательное число, его квадрат $x^2$ будет положительным числом (например, $(-2)^2 = 4$). Произведение положительного числа 3 на положительное число $x^2$ даст в результате положительное число. Например, если $x = -2$, то $3 \cdot (-2)^2 = 3 \cdot 4 = 12 > 0$.
Ответ: положительное.

3) $xxx + x$

Выражение $xxx$ представляет собой произведение $x \cdot x \cdot x = x^3$. Таким образом, мы имеем выражение $x^3 + x$. Поскольку $x$ — отрицательное число, его нечетная степень $x^3$ также будет отрицательной (например, $(-2)^3 = -8$). Сумма двух отрицательных чисел ($x^3$ и $x$) всегда является отрицательным числом. Альтернативный способ: вынесем $x$ за скобки: $x(x^2 + 1)$. Множитель $x$ — отрицательный. Множитель $(x^2 + 1)$ — положительный, так как $x^2 > 0$. Произведение отрицательного и положительного чисел является отрицательным.
Ответ: отрицательное.

4) $xxx$

Это выражение равно $x^3$. Как было упомянуто в предыдущем пункте, нечетная степень отрицательного числа является отрицательным числом. Например, если $x = -2$, то $x^3 = (-2)^3 = -8 < 0$.
Ответ: отрицательное.

Таким образом, отрицательными являются числа, представленные в пунктах 1, 3 и 4.

11 Укажите выражение, равное выражению $(a-b)-(b-c)$.

1) $a+c$

2) $a-c$

3) $a-2b+c$

4) $a-2b-c$

Для того чтобы найти выражение, равное $(a - b) - (b - c)$, необходимо упростить его, выполнив два основных шага: раскрытие скобок и приведение подобных слагаемых.

1. Раскрытие скобок.

Выражение состоит из двух частей в скобках. Первые скобки $(a - b)$ можно просто убрать, так как перед ними нет знака минус:

$a - b - (b - c)$

Перед вторыми скобками $(b - c)$ стоит знак минус. Это означает, что при их раскрытии знаки всех членов внутри скобок необходимо изменить на противоположные:

$a - b - b + c$

2. Приведение подобных слагаемых.

В полученном выражении $a - b - b + c$ есть подобные слагаемые: $-b$ и $-b$. Сложим их:

$-b - b = -2b$

Теперь подставим результат обратно в выражение:

$a - 2b + c$

Дальнейшее упрощение невозможно. Полученное выражение $a - 2b + c$ соответствует варианту ответа под номером 3.

Ответ: 3) $a - 2b + c$