Страница 98 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

323 Как известно, перемножить непосредственно можно только два числа. Поэтому для вычисления произведения $xyz$ (без изменения порядка множителей) в нём надо — хотя бы мысленно — поставить скобки, т.е. представить его как $(xy)z$ или как $x(yz)$.

Итак, в выражении $xyz$ можно поставить скобки двумя способами. А сколькими способами можно поставить скобки в выражении $xyzt$? Докажите, что при этом каждый раз будут получаться равные выражения.

А сколькими способами можно поставить скобки в выражении xyzt?

Для вычисления произведения четырех множителей $xyzt$ необходимо последовательно выполнить три операции умножения. Поскольку операция умножения является бинарной (т.е. применяется к двум аргументам), порядок вычислений определяется расстановкой скобок. Перечислим все возможные способы, не меняя порядок самих множителей.

Способы расстановки скобок можно сгруппировать в зависимости от того, какая операция умножения выполняется последней:

• Если последнее действие — умножение первого множителя на произведение остальных трех: $x \cdot (yzt)$. Выражение в скобках $yzt$ можно вычислить двумя способами (как указано в условии задачи): $(yz)t$ или $y(zt)$. Это дает нам два варианта: $x((yz)t)$ и $x(y(zt))$.
• Если последнее действие — умножение произведения первых двух множителей на произведение последних двух: $(xy) \cdot (zt)$. Здесь порядок действий определен однозначно. Это дает один вариант: $(xy)(zt)$.
• Если последнее действие — умножение произведения первых трех множителей на последний: $(xyz) \cdot t$. Выражение в скобках $xyz$ можно вычислить двумя способами: $(xy)z$ или $x(yz)$. Это дает еще два варианта: $((xy)z)t$ и $(x(yz))t$.

Суммируя все варианты, получаем $2 + 1 + 2 = 5$ способов. Вот их полный список:

1. $((xy)z)t$
2. $(x(yz))t$
3. $(xy)(zt)$
4. $x((yz)t)$
5. $x(y(zt))$

Ответ: В выражении $xyzt$ можно поставить скобки пятью способами.

Докажите, что при этом каждый раз будут получаться равные выражения.

Доказательство основано на сочетательном (ассоциативном) законе умножения, который гласит, что для любых чисел $a, b, c$ справедливо равенство $(ab)c = a(bc)$. Мы покажем, что все 5 полученных выражений равны, последовательно преобразуя одно в другое с помощью этого закона.

1. Начнем с выражения $((xy)z)t$. Применим сочетательный закон к выражению в первых скобках: $(xy)z = x(yz)$. Тогда исходное выражение станет равно $(x(yz))t$. Итак, $((xy)z)t = (x(yz))t$.
2. Теперь к выражению $(x(yz))t$ применим сочетательный закон, считая $a=x$, $b=(yz)$ и $c=t$. Получим $x((yz)t)$. Итак, $(x(yz))t = x((yz)t)$.
3. В выражении $x((yz)t)$ снова применим закон к части в скобках: $(yz)t = y(zt)$. В результате получим $x(y(zt))$. Итак, $x((yz)t) = x(y(zt))$.
4. Осталось связать с ними выражение $(xy)(zt)$. Вернемся к $((xy)z)t$. Применим сочетательный закон, считая $a=(xy)$, $b=z$ и $c=t$. Получим $(xy)(zt)$. Итак, $((xy)z)t = (xy)(zt)$.

Мы установили следующую цепь равенств: $((xy)z)t = (x(yz))t = x((yz)t) = x(y(zt))$. А также показали, что $((xy)z)t = (xy)(zt)$. Следовательно, все пять способов расстановки скобок приводят к одному и тому же результату.

Ответ: Равенство всех выражений следует из сочетательного (ассоциативного) закона умножения, который позволяет произвольно группировать сомножители в произведении.

324 В выражениях $2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5$ и $2 : 3 : 4 : 5$ поставьте скобки всеми возможными способами и вычислите значения полученных выражений. Сделайте вывод.

Для выражения $2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5$

Расставим скобки всеми возможными способами и вычислим значения:

1) $((2 \cdot 3) \cdot 4) \cdot 5 = (6 \cdot 4) \cdot 5 = 24 \cdot 5 = 120$. Ответ: 120.

2) $(2 \cdot (3 \cdot 4)) \cdot 5 = (2 \cdot 12) \cdot 5 = 24 \cdot 5 = 120$. Ответ: 120.

3) $2 \cdot ((3 \cdot 4) \cdot 5) = 2 \cdot (12 \cdot 5) = 2 \cdot 60 = 120$. Ответ: 120.

4) $2 \cdot (3 \cdot (4 \cdot 5)) = 2 \cdot (3 \cdot 20) = 2 \cdot 60 = 120$. Ответ: 120.

5) $(2 \cdot 3) \cdot (4 \cdot 5) = 6 \cdot 20 = 120$. Ответ: 120.

Для выражения $2 : 3 : 4 : 5$

Расставим скобки всеми возможными способами и вычислим значения:

1) $((2 : 3) : 4) : 5 = (\frac{2}{3} : 4) : 5 = \frac{2}{3 \cdot 4} : 5 = \frac{2}{12} : 5 = \frac{1}{6} : 5 = \frac{1}{6 \cdot 5} = \frac{1}{30}$. Ответ: $\frac{1}{30}$.

2) $(2 : (3 : 4)) : 5 = (2 : \frac{3}{4}) : 5 = (2 \cdot \frac{4}{3}) : 5 = \frac{8}{3} : 5 = \frac{8}{3 \cdot 5} = \frac{8}{15}$. Ответ: $\frac{8}{15}$.

3) $2 : ((3 : 4) : 5) = 2 : (\frac{3}{4} : 5) = 2 : \frac{3}{4 \cdot 5} = 2 : \frac{3}{20} = 2 \cdot \frac{20}{3} = \frac{40}{3}$. Ответ: $\frac{40}{3}$.

4) $2 : (3 : (4 : 5)) = 2 : (3 : \frac{4}{5}) = 2 : (3 \cdot \frac{5}{4}) = 2 : \frac{15}{4} = 2 \cdot \frac{4}{15} = \frac{8}{15}$. Ответ: $\frac{8}{15}$.

5) $(2 : 3) : (4 : 5) = \frac{2}{3} : \frac{4}{5} = \frac{2}{3} \cdot \frac{5}{4} = \frac{10}{12} = \frac{5}{6}$. Ответ: $\frac{5}{6}$.

Вывод:

При расстановке скобок в выражении, содержащем только умножение, результат не меняется. Это свойство называется сочетательным (ассоциативным) законом умножения: для любых чисел $a, b, c$ верно равенство $(a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)$.

При расстановке скобок в выражении, содержащем только деление, результат меняется. Это означает, что деление не обладает сочетательным (ассоциативным) свойством, то есть в общем случае $(a : b) : c \neq a : (b : c)$. Поэтому порядок действий в выражениях с делением строго определен и важен для получения правильного ответа. Если скобки отсутствуют, действия выполняются последовательно слева направо.

325 Докажите, что $x + (y + (z + (t + u))) = x + y + z + t + u.$

Для доказательства данного тождества мы будем использовать сочетательный (ассоциативный) закон сложения, который гласит, что для любых чисел $a$, $b$ и $c$ справедливо равенство $(a + b) + c = a + (b + c)$. Этот закон позволяет нам изменять группировку слагаемых, а также раскрывать скобки, если перед ними стоит знак «+», не меняя знаков слагаемых внутри.

Рассмотрим левую часть равенства и будем последовательно ее упрощать, раскрывая скобки, начиная с самых внутренних.

Исходное выражение в левой части: $x + (y + (z + (t + u)))$.

1. Сначала раскроем самые внутренние скобки. Выражение $z + (t + u)$ можно записать без скобок как $z + t + u$, поскольку перед скобкой $(t+u)$ стоит знак сложения. После этого исходное выражение примет вид:

$x + (y + (z + t + u))$

2. Далее раскроем следующую пару скобок. Выражение $y + (z + t + u)$ можно, в свою очередь, записать без скобок как $y + z + t + u$. Исходное выражение теперь выглядит так:

$x + (y + z + t + u)$

3. Наконец, раскроем последнюю пару скобок. Поскольку перед скобкой $(y + z + t + u)$ стоит знак сложения, мы можем ее опустить:

$x + y + z + t + u$

Таким образом, мы преобразовали левую часть равенства $x + (y + (z + (t + u)))$ и получили $x + y + z + t + u$.

Это выражение в точности совпадает с правой частью исходного равенства.

Поскольку левая часть равна правой, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано. Преобразование левой части $x + (y + (z + (t + u)))$ в правую часть $x + y + z + t + u$ выполняется путем последовательного раскрытия скобок, начиная с самых внутренних, на основании сочетательного закона сложения.

326 Составьте сумму и разность выражений $m + 0,1n$ и $2(m-0,3n)$ и упростите их.

Даны два выражения: $m + 0,1n$ и $2(m - 0,3n)$.

Прежде чем находить их сумму и разность, упростим второе выражение, раскрыв скобки с помощью распределительного свойства умножения:

$2(m - 0,3n) = 2 \cdot m - 2 \cdot 0,3n = 2m - 0,6n$.

Теперь у нас есть два выражения для работы: $m + 0,1n$ и $2m - 0,6n$.

Сумма

Чтобы найти сумму, сложим первое выражение и упрощенное второе:
$(m + 0,1n) + (2m - 0,6n)$
Раскроем скобки и сгруппируем подобные слагаемые (члены с $m$ и члены с $n$):
$m + 0,1n + 2m - 0,6n = (m + 2m) + (0,1n - 0,6n)$
Выполним действия с коэффициентами:
$3m - 0,5n$

Ответ: $3m - 0,5n$.

Разность

Чтобы найти разность, вычтем упрощенное второе выражение из первого:
$(m + 0,1n) - (2m - 0,6n)$
Раскроем скобки. Важно помнить, что знак минус перед скобкой меняет знаки всех слагаемых внутри нее на противоположные:
$m + 0,1n - 2m + 0,6n$
Сгруппируем подобные слагаемые:
$(m - 2m) + (0,1n + 0,6n)$
Выполним действия с коэффициентами:
$-m + 0,7n$

Ответ: $-m + 0,7n$.

327 Упростите выражение:

а) $5(x + 1,4y) - 0,8(2x + y);$

б) $\frac{2}{3}(x - y + z) - \left(\frac{2}{3}x - y + z\right);$

в) $-a + 0,5(3a + 0,2b) - (a + 0,1b);$

г) $-10\left(\frac{2}{5}b + \frac{1}{2}\right) + \frac{3}{4}(8 - b) + 5b.$

а) $5(x + 1,4y) - 0,8(2x + y)$

Чтобы упростить это выражение, мы сначала раскроем скобки. Для этого умножим каждый член в скобках на множитель перед ними. Важно обратить внимание на знак перед вторым множителем.

$5 \cdot x + 5 \cdot 1,4y - 0,8 \cdot 2x - 0,8 \cdot y$

Выполним умножение:

$5x + 7y - 1,6x - 0,8y$

Теперь сгруппируем подобные слагаемые (члены с одинаковыми переменными):

$(5x - 1,6x) + (7y - 0,8y)$

Выполним вычитание в каждой группе:

$3,4x + 6,2y$

Ответ: $3,4x + 6,2y$

б) $\frac{2}{3}(x - y + z) - (\frac{2}{3}x - y + z)$

Сначала раскроем скобки. Умножим дробь $\frac{2}{3}$ на каждый член в первых скобках. Перед вторыми скобками стоит знак минус, поэтому при их раскрытии знаки всех членов внутри меняются на противоположные.

$\frac{2}{3} \cdot x - \frac{2}{3} \cdot y + \frac{2}{3} \cdot z - \frac{2}{3}x + y - z$

Сгруппируем подобные слагаемые:

$(\frac{2}{3}x - \frac{2}{3}x) + (-\frac{2}{3}y + y) + (\frac{2}{3}z - z)$

Приведем подобные члены. Члены с $x$ взаимно уничтожаются. Представим $y$ как $\frac{3}{3}y$ и $z$ как $\frac{3}{3}z$ для удобства вычитания:

$0 + (-\frac{2}{3}y + \frac{3}{3}y) + (\frac{2}{3}z - \frac{3}{3}z)$

$\frac{1}{3}y - \frac{1}{3}z$

Ответ: $\frac{1}{3}y - \frac{1}{3}z$

в) $-a + 0,5(3a + 0,2b) - (a + 0,1b)$

Для упрощения раскроем все скобки. Умножим $0,5$ на каждый член в первых скобках. Перед вторыми скобками стоит знак минус, поэтому знаки членов внутри изменятся на противоположные.

$-a + 0,5 \cdot 3a + 0,5 \cdot 0,2b - a - 0,1b$

Выполним умножение:

$-a + 1,5a + 0,1b - a - 0,1b$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые (члены с $a$ и члены с $b$):

$(-a + 1,5a - a) + (0,1b - 0,1b)$

$(-1 + 1,5 - 1)a + (0,1 - 0,1)b$

$-0,5a + 0 \cdot b = -0,5a$

Ответ: $-0,5a$

г) $-10(\frac{2}{5}b + \frac{1}{2}) + \frac{3}{4}(8 - b) + 5b$

Раскроем скобки, умножая множители на члены внутри скобок:

$-10 \cdot \frac{2}{5}b - 10 \cdot \frac{1}{2} + \frac{3}{4} \cdot 8 - \frac{3}{4} \cdot b + 5b$

Выполним умножения:

$-\frac{20}{5}b - \frac{10}{2} + \frac{24}{4} - \frac{3}{4}b + 5b$

Упростим полученные дроби:

$-4b - 5 + 6 - \frac{3}{4}b + 5b$

Сгруппируем подобные слагаемые (члены с переменной $b$ и свободные члены):

$(-4b - \frac{3}{4}b + 5b) + (-5 + 6)$

Приведем подобные слагаемые. Сначала сложим целые коэффициенты при $b$:

$(-4 + 5)b - \frac{3}{4}b + 1 = 1 \cdot b - \frac{3}{4}b + 1$

Теперь вычтем дроби, представив $b$ как $\frac{4}{4}b$:

$(\frac{4}{4}b - \frac{3}{4}b) + 1 = \frac{1}{4}b + 1$

Ответ: $\frac{1}{4}b + 1$

328 Найдите значение выражения:

а) $3k + 0,5(1 - 6k) - (7 - 6k)$ при $k = 0,05$; $k = -1,2;$

б) $x(y - 1) - y(x + 1)$ при $x = 1$, $y = -\frac{2}{3}$; $x = -\frac{1}{5}$, $y = -0,6;$

в) $c(b + c) - b(a - c) + c(b - c) + ab$ при $b = 0,3$, $c = -\frac{1}{9}$; $b = -0,25$, $c = -\frac{2}{15}.$

а) Сначала упростим выражение, раскрыв скобки и приведя подобные слагаемые:
$3k + 0,5(1 - 6k) - (7 - 6k) = 3k + 0,5 \cdot 1 - 0,5 \cdot 6k - 7 + 6k = 3k + 0,5 - 3k - 7 + 6k$.
Сгруппируем члены с переменной $k$ и свободные члены: $(3k - 3k + 6k) + (0,5 - 7) = 6k - 6,5$.
Теперь подставим в полученное выражение заданные значения $k$:
1) При $k = 0,05$:
$6 \cdot 0,05 - 6,5 = 0,3 - 6,5 = -6,2$.
2) При $k = -1,2$:
$6 \cdot (-1,2) - 6,5 = -7,2 - 6,5 = -13,7$.
Ответ: -6,2; -13,7.

б) Упростим выражение, раскрыв скобки:
$x(y - 1) - y(x + 1) = xy - x - (yx + y) = xy - x - yx - y$.
Так как $xy$ и $yx$ взаимно уничтожаются, выражение принимает вид: $-x - y = -(x + y)$.
Теперь подставим значения переменных:
1) При $x = 1, y = -\frac{2}{3}$:
$-(1 + (-\frac{2}{3})) = -(1 - \frac{2}{3}) = -(\frac{3}{3} - \frac{2}{3}) = -\frac{1}{3}$.
2) При $x = -\frac{1}{5}, y = -0,6$:
Сначала преобразуем десятичную дробь в обыкновенную: $-0,6 = -\frac{6}{10} = -\frac{3}{5}$.
$-(x + y) = -((-\frac{1}{5}) + (-\frac{3}{5})) = -(-\frac{1}{5} - \frac{3}{5}) = -(-\frac{4}{5}) = \frac{4}{5}$.
Ответ: $-\frac{1}{3}$; $\frac{4}{5}$.

в) Упростим выражение, раскрыв все скобки:
$c(b + c) - b(a - c) + c(b - c) + ab = cb + c^2 - ba + bc + cb - c^2 + ab$.
Сгруппируем и приведем подобные слагаемые (учитывая, что $ab = ba$ и $cb = bc$):
$(-ba + ab) + (cb + bc + cb) + (c^2 - c^2) = 0 + 3bc + 0 = 3bc$.
Как видим, выражение не зависит от переменной $a$. Подставим значения $b$ и $c$:
1) При $b = 0,3, c = -\frac{1}{9}$:
Преобразуем $0,3 = \frac{3}{10}$.
$3bc = 3 \cdot \frac{3}{10} \cdot (-\frac{1}{9}) = \frac{9}{10} \cdot (-\frac{1}{9}) = -\frac{9}{90} = -\frac{1}{10} = -0,1$.
2) При $b = -0,25, c = -\frac{2}{15}$:
Преобразуем $-0,25 = -\frac{1}{4}$.
$3bc = 3 \cdot (-\frac{1}{4}) \cdot (-\frac{2}{15}) = \frac{3 \cdot 1 \cdot 2}{4 \cdot 15} = \frac{6}{60} = \frac{1}{10} = 0,1$.
Ответ: -0,1; 0,1.