Страница 91 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Какие слагаемые называют подобными? Подчеркните подобные слагаемые в каждом из выражений:

$4x + 4 - x + 0,2x;$ $2ab + 3ac - ab + 6a.$

Подобными слагаемыми (или подобными членами) называют слагаемые в алгебраическом выражении, которые имеют одинаковую буквенную часть. Буквенная часть — это все переменные и их степени, входящие в слагаемое. Подобные слагаемые могут отличаться только числовыми коэффициентами. Например, в выражении $7xy - 3xy + 2x$ слагаемые $7xy$ и $-3xy$ являются подобными.

$4x + 4 - x + 0{,}2x$

В данном выражении слагаемые $4x$, $-x$ и $0{,}2x$ являются подобными, так как у них одинаковая буквенная часть $x$. Слагаемое $4$ является числом (константой) и не имеет подобных ему слагаемых в этом выражении.

Ответ: $4x + 4 - x + 0{,}2x$

$2ab + 3ac - ab + 6a$

В этом выражении подобными являются слагаемые $2ab$ и $-ab$, так как у них одинаковая буквенная часть $ab$. Слагаемые $3ac$ и $6a$ имеют другие буквенные части ($ac$ и $a$ соответственно), поэтому они не являются подобными ни друг другу, ни первым двум слагаемым.

Ответ: $2ab + 3ac - ab + 6a$

□ На каком законе основано приведение подобных слагаемых?

На каком законе основано приведение подобных слагаемых?

Приведение подобных слагаемых основано на распределительном (дистрибутивном) законе умножения относительно сложения. Этот закон связывает операции умножения и сложения.

Формула распределительного закона выглядит так:

$a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c$

При приведении подобных слагаемых этот закон используется в обратную сторону — для вынесения общего множителя за скобки:

$a \cdot b + a \cdot c = a \cdot (b + c)$

Подобными слагаемыми называют слагаемые с одинаковой буквенной частью. Эта общая буквенная часть и выступает в роли общего множителя $a$ из формулы выше, который можно вынести за скобки.

Рассмотрим, как это работает на примере выражения $5x + 3x - x$:

1. Слагаемые $5x$, $3x$ и $-x$ являются подобными, так как у них есть общая буквенная часть $x$. Напомним, что $-x$ — это то же самое, что и $-1 \cdot x$.

2. Представим выражение в виде суммы произведений:

$5 \cdot x + 3 \cdot x - 1 \cdot x$

3. Вынесем общий множитель $x$ за скобки, применяя распределительный закон. В скобках останется сумма и разность числовых коэффициентов:

$(5 + 3 - 1) \cdot x$

4. Выполним действия в скобках:

$(8 - 1) \cdot x = 7 \cdot x = 7x$

Таким образом, упрощение выражения путем сложения коэффициентов подобных слагаемых — это прямое применение распределительного закона.

Ответ: Приведение подобных слагаемых основано на распределительном законе умножения.

Проиллюстрируйте правило приведения подобных слагаемых на примере выражения $7c - 2,5 - 1,5c$.

Правило приведения подобных слагаемых заключается в том, чтобы сложить коэффициенты слагаемых, имеющих одинаковую буквенную часть, и умножить полученную сумму на эту общую буквенную часть. Проиллюстрируем этот процесс на примере выражения $7c - 2,5 - 1,5c$.

1. Нахождение подобных слагаемых

В данном выражении слагаемые $7c$ и $-1,5c$ являются подобными, так как они содержат одну и ту же буквенную часть — $c$. Число $-2,5$ не содержит буквенной части, поэтому оно не подобно другим членам выражения.

2. Группировка и применение правила

Чтобы привести подобные слагаемые, нужно сгруппировать их и вынести общую буквенную часть за скобки, используя распределительное свойство умножения ($a \cdot c - b \cdot c = (a - b) \cdot c$).

$7c - 2,5 - 1,5c = (7c - 1,5c) - 2,5$

Выносим $c$ за скобки:

$(7 - 1,5)c - 2,5$

3. Вычисление и конечный результат

Теперь выполним действие с коэффициентами в скобках:

$7 - 1,5 = 5,5$

Подставим полученный результат обратно в выражение:

$5,5c - 2,5$

Так как в полученном выражении больше нет подобных слагаемых, упрощение завершено.
Ответ: $5,5c - 2,5$

ДЕЙСТВУЕМ ПО ПРАВИЛУ (294–295) Упростите выражение.

294 а) $5a + 4a;$

б) $2x + 3x + 10;$

в) $1,5a + a + 2,5a;$

г) $6y + 8 + 6y;$

д) $7m + m;$

е) $\frac{3}{8}n + \frac{5}{8}n + \frac{1}{3}n.$

а) $5a + 4a$

Чтобы упростить это выражение, нужно сложить подобные слагаемые. Подобные слагаемые — это слагаемые, имеющие одинаковую буквенную часть. В данном случае это $5a$ и $4a$. Мы можем вынести общую буквенную часть $a$ за скобки, используя распределительный закон умножения.

$5a + 4a = (5 + 4)a$

Складываем числа в скобках: $5 + 4 = 9$.

Таким образом, выражение упрощается до $9a$.

Ответ: $9a$.

б) $2x + 3x + 10$

В этом выражении есть два подобных слагаемых ($2x$ и $3x$) и одно слагаемое, которое является числом (10). Сначала сложим подобные слагаемые.

$2x + 3x = (2 + 3)x = 5x$

Число 10 остается без изменений, так как у него нет буквенной части $x$. Сложить $5x$ и $10$ нельзя, так как это не подобные слагаемые.

Таким образом, упрощенное выражение имеет вид: $5x + 10$.

Ответ: $5x + 10$.

в) $1,5a + a + 2,5a$

Все три слагаемых в этом выражении являются подобными, так как у них одинаковая буквенная часть $a$. Обратите внимание, что $a$ — это то же самое, что и $1a$.

Складываем коэффициенты при $a$:

$1,5a + a + 2,5a = (1,5 + 1 + 2,5)a$

Выполняем сложение в скобках: $1,5 + 1 = 2,5$, а затем $2,5 + 2,5 = 5$.

Итак, итоговое выражение равно $5a$.

Ответ: $5a$.

г) $6y + 8 + 6y$

В данном выражении есть два подобных слагаемых с буквенной частью $y$ ($6y$ и $6y$) и число 8. Сгруппируем и сложим подобные слагаемые.

$6y + 6y + 8 = (6 + 6)y + 8 = 12y + 8$

Слагаемые $12y$ и $8$ не являются подобными, поэтому дальнейшее упрощение невозможно.

Следовательно, упрощенное выражение равно $12y + 8$.

Ответ: $12y + 8$.

д) $7m + m$

Оба слагаемых, $7m$ и $m$, являются подобными. Слагаемое $m$ можно записать как $1m$.

Складываем их: $7m + 1m = (7 + 1)m = 8m$.

Ответ: $8m$.

е) $\frac{3}{8}n + \frac{5}{8}n + \frac{1}{3}n$

Все три слагаемых являются подобными с буквенной частью $n$. Чтобы упростить выражение, нужно сложить их коэффициенты-дроби.

$(\frac{3}{8} + \frac{5}{8} + \frac{1}{3})n$

Сначала сложим дроби с одинаковым знаменателем 8:

$\frac{3}{8} + \frac{5}{8} = \frac{3+5}{8} = \frac{8}{8} = 1$

Теперь добавим к результату третью дробь:

$1 + \frac{1}{3} = 1\frac{1}{3}$

Для дальнейших вычислений удобнее представить результат в виде неправильной дроби. $1\frac{1}{3} = \frac{1 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{4}{3}$.

Таким образом, итоговое выражение: $(\frac{3}{8} + \frac{5}{8} + \frac{1}{3})n = (1 + \frac{1}{3})n = \frac{4}{3}n$.

Ответ: $\frac{4}{3}n$ или $1\frac{1}{3}n$.

295 а) $18x - 3x + 5x;$

б) $2y - 9y;$

в) $1,2c - 0,3c + 5;$

г) $2a - 15 - a + 6;$

д) $t + 6,3t - 2,1t;$

е) $5x - 5 + 3x - 4x;$

ж) $-a - a - a - a;$

з) $-2n - 2n - 2n;$

и) $\frac{1}{3}x + \frac{1}{3}x + \frac{1}{3}x.$

а) Чтобы упростить выражение $18x - 3x + 5x$, нужно выполнить действия с подобными слагаемыми. Все члены этого выражения содержат переменную $x$ в первой степени, поэтому они являются подобными. Для их упрощения мы складываем и вычитаем их коэффициенты.

Вынесем общую переменную $x$ за скобки:

$(18 - 3 + 5)x$

Выполним действия в скобках:

$18 - 3 = 15$

$15 + 5 = 20$

Таким образом, получаем:

$20x$

Ответ: $20x$.

б) В выражении $2y - 9y$ оба члена являются подобными слагаемыми, так как имеют одинаковую буквенную часть $y$. Упростим выражение, выполнив вычитание их коэффициентов.

Вынесем $y$ за скобки:

$(2 - 9)y$

Вычислим значение в скобках:

$2 - 9 = -7$

Результат:

$-7y$

Ответ: $-7y$.

в) В выражении $1,2c - 0,3c + 5$ есть две группы слагаемых: подобные слагаемые с переменной $c$ ($1,2c$ и $-0,3c$) и свободный член (константа) $5$. Сначала приведем подобные слагаемые.

Сгруппируем их и вынесем $c$ за скобки:

$(1,2 - 0,3)c + 5$

Выполним вычитание в скобках:

$1,2 - 0,3 = 0,9$

Следовательно, упрощенное выражение выглядит так:

$0,9c + 5$

Ответ: $0,9c + 5$.

г) В выражении $2a - 15 - a + 6$ есть две пары подобных слагаемых: слагаемые с переменной $a$ ($2a$ и $-a$) и числовые слагаемые (константы $-15$ и $6$).

Сгруппируем их:

$(2a - a) + (-15 + 6)$

Упростим каждую группу:

$2a - a = (2 - 1)a = 1a = a$

$-15 + 6 = -9$

Объединим результаты:

$a - 9$

Ответ: $a - 9$.

д) Выражение $t + 6,3t - 2,1t$ состоит из подобных слагаемых с переменной $t$. Учтем, что коэффициент при $t$ равен $1$.

Вынесем $t$ за скобки:

$(1 + 6,3 - 2,1)t$

Выполним действия с коэффициентами:

$1 + 6,3 = 7,3$

$7,3 - 2,1 = 5,2$

Результат:

$5,2t$

Ответ: $5,2t$.

е) В выражении $5x - 5 + 3x - 4x$ сгруппируем подобные слагаемые: члены с переменной $x$ ($5x$, $3x$, $-4x$) и свободный член $-5$.

Сгруппируем члены с $x$:

$(5x + 3x - 4x) - 5$

Вынесем $x$ за скобки и вычислим сумму коэффициентов:

$(5 + 3 - 4)x - 5 = (8 - 4)x - 5 = 4x - 5$

Итоговое выражение:

$4x - 5$

Ответ: $4x - 5$.

ж) Выражение $-a - a - a - a$ состоит из четырех одинаковых подобных слагаемых. Коэффициент каждого слагаемого равен $-1$.

Сложим коэффициенты:

$(-1 - 1 - 1 - 1)a$

Вычислим сумму:

$-4a$

Это также можно представить как умножение: $4 \cdot (-a) = -4a$.

Ответ: $-4a$.

з) Выражение $-2n - 2n - 2n$ состоит из трех подобных слагаемых. Приведем их.

Сложим коэффициенты при переменной $n$:

$(-2 - 2 - 2)n$

Выполним сложение:

$-6n$

Ответ: $-6n$.

и) В выражении $\frac{1}{3}x + \frac{1}{3}x + \frac{1}{3}x$ все слагаемые являются подобными.

Сложим их коэффициенты:

$(\frac{1}{3} + \frac{1}{3} + \frac{1}{3})x$

Поскольку у дробей общий знаменатель, складываем числители:

$\frac{1+1+1}{3}x = \frac{3}{3}x = 1x = x$

Результат:

$x$

Ответ: $x$.

296 ВЕРНО ИЛИ НЕВЕРНО В каком случае правильно приведены подобные слагаемые в выражении $5a + 2x + 9a - 2x - 7$?

1) $14a + 4x - 7$

2) $14ax - 7$

3) $7a$

4) $14a - 7$

Для того чтобы правильно привести подобные слагаемые в выражении $5a + 2x + 9a - 2x - 7$, необходимо сгруппировать и упростить слагаемые с одинаковой буквенной частью.

1. Группировка подобных слагаемых.

В выражении есть две группы подобных слагаемых: с переменной $a$ и с переменной $x$. Также есть числовое слагаемое (константа).

Сгруппируем их: $(5a + 9a) + (2x - 2x) - 7$.

2. Упрощение каждой группы.

Теперь выполним действия сложения и вычитания для коэффициентов в каждой группе.

Для слагаемых с переменной $a$:

$5a + 9a = (5 + 9)a = 14a$

Для слагаемых с переменной $x$:

$2x - 2x = (2 - 2)x = 0x = 0$

3. Формирование итогового выражения.

Подставим полученные значения обратно:

$14a + 0 - 7$

Убирая ноль, получаем окончательный вид выражения:

$14a - 7$

Сравнивая наш результат с предложенными вариантами, мы видим, что он совпадает с вариантом 4.

Ответ: 4) $14a - 7$

297 Решите уравнение:

а) $2x + 3x = 150;$

б) $15a - 8a = 1,4;$

в) $-z - 3z = 4;$

г) $y - 4y = 1;$

д) $m - 6m = 0;$

е) $7x + 3x = -5.$

а) $2x + 3x = 150$

Сначала приведем подобные слагаемые в левой части уравнения, то есть сложим коэффициенты при переменной $x$:

$(2+3)x = 150$

$5x = 150$

Теперь, чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на 5:

$x = \frac{150}{5}$

$x = 30$

Ответ: $x = 30$.

б) $15a - 8a = 1,4$

Приведем подобные слагаемые в левой части, вычитая коэффициенты при переменной $a$:

$(15-8)a = 1,4$

$7a = 1,4$

Чтобы найти $a$, разделим обе части уравнения на 7:

$a = \frac{1,4}{7}$

$a = 0,2$

Ответ: $a = 0,2$.

в) $-z - 3z = 4$

Приведем подобные слагаемые в левой части. Учтем, что $-z$ это то же самое, что и $-1z$:

$(-1 - 3)z = 4$

$-4z = 4$

Чтобы найти $z$, разделим обе части уравнения на -4:

$z = \frac{4}{-4}$

$z = -1$

Ответ: $z = -1$.

г) $y - 4y = 1$

Приведем подобные слагаемые в левой части. Учтем, что $y$ это то же самое, что и $1y$:

$(1 - 4)y = 1$

$-3y = 1$

Чтобы найти $y$, разделим обе части уравнения на -3:

$y = \frac{1}{-3}$

$y = -\frac{1}{3}$

Ответ: $y = -\frac{1}{3}$.

д) $m - 6m = 0$

Приведем подобные слагаемые в левой части. Учтем, что $m$ это то же самое, что и $1m$:

$(1 - 6)m = 0$

$-5m = 0$

Чтобы найти $m$, разделим обе части уравнения на -5. Ноль, разделенный на любое ненулевое число, равен нулю:

$m = \frac{0}{-5}$

$m = 0$

Ответ: $m = 0$.

е) $7x + 3x = -5$

Приведем подобные слагаемые в левой части уравнения:

$(7+3)x = -5$

$10x = -5$

Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на 10:

$x = \frac{-5}{10}$

Сократим дробь или представим в виде десятичной:

$x = -0,5$

Ответ: $x = -0,5$.

298 Приведите подобные слагаемые:

а) $7a + 9b + 3b - 5a - 6b + b;$

б) $4xy + 7x - 5xy - 2x;$

в) $12m^2 - 10 - 15m^2 + 4m^2;$

г) $3y^2 - y + 4y^2 - 2y + 3y;$

д) $abc - bc + 2abc + 3bc - 4abc;$

е) $7x - z - 3x - 5z - 4x - 7z + 1.$

а) В выражении $7a + 9b + 3b - 5a - 6b + b$ сгруппируем подобные слагаемые. Подобными являются слагаемые, имеющие одинаковую буквенную часть. Сначала сгруппируем слагаемые с переменной $a$, затем с переменной $b$. Получим: $(7a - 5a) + (9b + 3b - 6b + b)$. Теперь сложим коэффициенты при одинаковых переменных: $(7-5)a + (9+3-6+1)b = 2a + 7b$.
Ответ: $2a + 7b$

б) В выражении $4xy + 7x - 5xy - 2x$ есть две группы подобных слагаемых: слагаемые с буквенной частью $xy$ и слагаемые с буквенной частью $x$. Сгруппируем их: $(4xy - 5xy) + (7x - 2x)$. Выполним действия в каждой группе: $(4-5)xy + (7-2)x = -xy + 5x$. Для удобства записи можно поменять слагаемые местами.
Ответ: $5x - xy$

в) В выражении $12m^2 - 10 - 15m^2 + 4m^2$ сгруппируем подобные слагаемые с буквенной частью $m^2$: $(12m^2 - 15m^2 + 4m^2) - 10$. Сложим коэффициенты: $(12-15+4)m^2 - 10 = (-3+4)m^2 - 10 = 1m^2 - 10 = m^2 - 10$. Число $-10$ является свободным членом и не имеет подобных.
Ответ: $m^2 - 10$

г) В выражении $3y^2 - y + 4y^2 - 2y + 3y$ есть две группы подобных слагаемых: слагаемые с $y^2$ и слагаемые с $y$. Сгруппируем их: $(3y^2 + 4y^2) + (-y - 2y + 3y)$. Выполним действия в каждой группе: $(3+4)y^2 + (-1-2+3)y = 7y^2 + 0y = 7y^2$. Слагаемое $0y$ равно нулю, поэтому его не записываем.
Ответ: $7y^2$

д) В выражении $abc - bc + 2abc + 3bc - 4abc$ сгруппируем слагаемые с $abc$ и слагаемые с $bc$: $(abc + 2abc - 4abc) + (-bc + 3bc)$. Сложим коэффициенты, помня что $abc$ это $1abc$ и $-bc$ это $-1bc$: $(1+2-4)abc + (-1+3)bc = -1abc + 2bc = -abc + 2bc$.
Ответ: $2bc - abc$

е) В выражении $7x - z - 3x - 5z - 4x - 7z + 1$ есть три группы подобных слагаемых: слагаемые с $x$, слагаемые с $z$ и свободный член $1$. Сгруппируем их: $(7x - 3x - 4x) + (-z - 5z - 7z) + 1$. Выполним действия: $(7-3-4)x + (-1-5-7)z + 1 = 0x - 13z + 1 = -13z + 1$.
Ответ: $1 - 13z$