Страница 92 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

299 Упростите:

a) $2ab - 3ba + 5a - a;$

б) $abc + bca + cab;$

в) $xy - x + y - yx;$

г) $xyz - yzx - xzy - zxy.$

а) Чтобы упростить выражение $2ab - 3ba + 5a - a$, необходимо привести подобные слагаемые. Подобными называются слагаемые, имеющие одинаковую буквенную часть. В данном выражении есть две группы подобных слагаемых:
1. $2ab$ и $-3ba$. Так как от перемены мест множителей произведение не меняется, то $ba = ab$. Следовательно, $2ab - 3ba = 2ab - 3ab = (2-3)ab = -ab$.
2. $5a$ и $-a$. Их сумма равна $5a - 1a = (5-1)a = 4a$.
Сложим полученные результаты: $-ab + 4a$. Для стандартного вида многочлена запишем положительное слагаемое первым: $4a - ab$.
Ответ: $4a - ab$

б) В выражении $abc + bca + cab$ все три слагаемых являются подобными, так как в силу переместительного закона умножения $abc = bca = cab$. Коэффициент каждого слагаемого равен 1. Сложим эти слагаемые:
$abc + bca + cab = 1abc + 1abc + 1abc = (1+1+1)abc = 3abc$.
Ответ: $3abc$

в) Рассмотрим выражение $xy - x + y - yx$. Сгруппируем подобные слагаемые. Слагаемые $xy$ и $-yx$ являются подобными, так как $xy = yx$. Слагаемые $-x$ и $y$ не являются подобными.
$(xy - yx) - x + y = (xy - xy) - x + y = 0 - x + y = y - x$.
Ответ: $y - x$

г) В выражении $xyz - yzx - xzy - zxy$ все слагаемые являются подобными, так как буквенные части $xyz$, $yzx$, $xzy$ и $zxy$ равны из-за переместительного свойства умножения. Приведем подобные слагаемые, сложив их числовые коэффициенты:
$1xyz - 1yzx - 1xzy - 1zxy = 1xyz - 1xyz - 1xyz - 1xyz = (1 - 1 - 1 - 1)xyz = -2xyz$.
Ответ: $-2xyz$

300 Упростите выражение и найдите его значение при указанных значениях букв:

a) $3.7a - 2.5b - 7.5b + 0.3a + 10$ при $a = -1.5$, $b = 0.12$;

б) $-1.6x + 0.2y + 2.6x - 0.1 - 3.2y$ при $x = \frac{1}{2}$, $y = -\frac{2}{3}$.

а) $3,7a - 2,5b - 7,5b + 0,3a + 10$ при $a = -1,5, b = 0,12$

Сначала упростим выражение, сгруппировав и приведя подобные слагаемые. Слагаемые с переменной $a$ группируем вместе, слагаемые с переменной $b$ — вместе, и оставляем свободный член (число).

$(3,7a + 0,3a) + (-2,5b - 7,5b) + 10$

Выполняем сложение и вычитание в скобках:

$3,7a + 0,3a = 4a$

$-2,5b - 7,5b = -10b$

Таким образом, упрощенное выражение имеет вид:

$4a - 10b + 10$

Теперь подставим заданные значения $a = -1,5$ и $b = 0,12$ в полученное выражение:

$4 \cdot (-1,5) - 10 \cdot 0,12 + 10$

Выполним вычисления по порядку:

$4 \cdot (-1,5) = -6$

$10 \cdot 0,12 = 1,2$

Подставляем результаты обратно в выражение:

$-6 - 1,2 + 10 = -7,2 + 10 = 2,8$

Ответ: 2,8

б) $-1,6x + 0,2y + 2,6x - 0,1 - 3,2y$ при $x = \frac{1}{2}, y = -\frac{2}{3}$

Сначала упростим выражение, сгруппировав и приведя подобные слагаемые. Слагаемые с переменной $x$ группируем вместе, слагаемые с переменной $y$ — вместе, и оставляем свободный член (число).

$(-1,6x + 2,6x) + (0,2y - 3,2y) - 0,1$

Выполняем сложение и вычитание в скобках:

$-1,6x + 2,6x = 1x = x$

$0,2y - 3,2y = -3y$

Таким образом, упрощенное выражение имеет вид:

$x - 3y - 0,1$

Теперь подставим заданные значения $x = \frac{1}{2}$ и $y = -\frac{2}{3}$ в полученное выражение. Значение $x = \frac{1}{2}$ можно представить в виде десятичной дроби $0,5$.

$0,5 - 3 \cdot (-\frac{2}{3}) - 0,1$

Выполним вычисления по порядку:

$3 \cdot (-\frac{2}{3}) = -2$

Подставляем результат обратно в выражение:

$0,5 - (-2) - 0,1 = 0,5 + 2 - 0,1 = 2,5 - 0,1 = 2,4$

Ответ: 2,4

301 Раскройте скобки и упростите выражение:

а) $(2y + z) - (z - 2y);$

б) $(x + 3) - (5x - 7);$

в) $(2a - 1) + (3 - 4a);$

г) $(a + b) - (a - b) - (b - a);$

д) $3m - (2m - 3) + (2 - m);$

е) $(3y - 1) - (2y - 2) + (y - 3).$

а) $(2y + z) - (z - 2y)$

Чтобы упростить выражение, раскроем скобки. Перед первыми скобками нет знака, поэтому они просто убираются. Перед вторыми скобками стоит знак «-», поэтому знаки всех слагаемых внутри них меняются на противоположные.

$(2y + z) - (z - 2y) = 2y + z - z + 2y$

Теперь приведем подобные слагаемые, сгруппировав члены с одинаковыми переменными:

$(2y + 2y) + (z - z) = 4y + 0 = 4y$

Ответ: $4y$

б) $(x + 3) - (5x - 7)$

Раскрываем скобки. Так как перед второй скобкой стоит знак «-», знаки слагаемых $5x$ и $-7$ меняются на противоположные.

$(x + 3) - (5x - 7) = x + 3 - 5x + 7$

Группируем и приводим подобные слагаемые:

$(x - 5x) + (3 + 7) = -4x + 10$

Ответ: $-4x + 10$

в) $(2a - 1) + (3 - 4a)$

Раскрываем скобки. Перед второй скобкой стоит знак «+», поэтому знаки слагаемых внутри скобок не меняются.

$(2a - 1) + (3 - 4a) = 2a - 1 + 3 - 4a$

Группируем и приводим подобные слагаемые:

$(2a - 4a) + (-1 + 3) = -2a + 2$

Ответ: $2 - 2a$

г) $(a + b) - (a - b) - (b - a)$

Последовательно раскрываем все скобки. Перед второй и третьей скобками стоит знак «-», поэтому знаки всех слагаемых внутри этих скобок меняются на противоположные.

$(a + b) - (a - b) - (b - a) = a + b - a + b - b + a$

Группируем и приводим подобные слагаемые для $a$ и для $b$:

$(a - a + a) + (b + b - b) = a + b$

Ответ: $a + b$

д) $3m - (2m - 3) + (2 - m)$

Раскрываем скобки в выражении. Перед скобкой $(2m - 3)$ стоит знак «-», поэтому меняем знаки внутри. Перед скобкой $(2 - m)$ стоит знак «+», поэтому знаки не меняем.

$3m - (2m - 3) + (2 - m) = 3m - 2m + 3 + 2 - m$

Группируем и приводим подобные слагаемые:

$(3m - 2m - m) + (3 + 2) = (m - m) + 5 = 0 + 5 = 5$

Ответ: $5$

е) $(3y - 1) - (2y - 2) + (y - 3)$

Раскрываем скобки, учитывая знаки «-» и «+» перед ними.

$(3y - 1) - (2y - 2) + (y - 3) = 3y - 1 - 2y + 2 + y - 3$

Группируем и приводим подобные слагаемые:

$(3y - 2y + y) + (-1 + 2 - 3) = (y + y) + (1 - 3) = 2y - 2$

Ответ: $2y - 2$

302 Упростите выражение:

а) $2(a + b) + 3(a + b) + 2a;$

б) $5(x - z) - 2(x + z);$

в) $2(2r - 3s) - 3(r - 2s);$

г) $6(2a + c) + 2(6a - c) - 4c;$

д) $3(x - 1) + (x - 2) - x;$

е) $5n - 3(n + 2) + (n - 6);$

ж) $m - (2m - 6) + 3(m - 3);$

з) $2(3x + 1) - (x - 2) - 3x.$

а) Чтобы упростить выражение $2(a + b) + 3(a + b) + 2a$, сначала раскроем скобки: $2a + 2b + 3a + 3b + 2a$. Затем сгруппируем и приведем подобные слагаемые: $(2a + 3a + 2a) + (2b + 3b) = 7a + 5b$.
Ответ: $7a + 5b$

б) В выражении $5(x - z) - 2(x + z)$ раскроем скобки. Важно учесть знак минус перед вторым слагаемым: $5x - 5z - 2x - 2z$. Теперь сгруппируем подобные слагаемые: $(5x - 2x) + (-5z - 2z)$. Выполнив действия, получим $3x - 7z$.
Ответ: $3x - 7z$

в) Упростим $2(2r - 3s) - 3(r - 2s)$. Раскроем скобки: $2 \cdot 2r - 2 \cdot 3s - 3 \cdot r - 3 \cdot (-2s)$, что равно $4r - 6s - 3r + 6s$. Приведем подобные слагаемые: $(4r - 3r) + (-6s + 6s) = r + 0 = r$.
Ответ: $r$

г) В выражении $6(2a + c) + 2(6a - c) - 4c$ раскроем скобки: $12a + 6c + 12a - 2c - 4c$. Сгруппируем подобные слагаемые с переменной $a$ и с переменной $c$: $(12a + 12a) + (6c - 2c - 4c)$. Вычислим сумму в каждой группе: $24a + 0 = 24a$.
Ответ: $24a$

д) Рассмотрим выражение $3(x - 1) + (x - 2) - x$. Раскроем скобки: $3x - 3 + x - 2 - x$. Сгруппируем подобные слагаемые с переменной $x$ и константы: $(3x + x - x) + (-3 - 2)$. В результате получаем $3x - 5$.
Ответ: $3x - 5$

е) Упростим $5n - 3(n + 2) + (n - 6)$. Раскрываем скобки: $5n - 3n - 6 + n - 6$. Далее приводим подобные слагаемые: $(5n - 3n + n) + (-6 - 6)$. Выполняем действия и получаем $3n - 12$.
Ответ: $3n - 12$

ж) В выражении $m - (2m - 6) + 3(m - 3)$ раскроем скобки. Перед первыми скобками стоит знак минус, поэтому знаки слагаемых внутри меняются на противоположные: $m - 2m + 6$. Раскрываем вторые скобки: $3m - 9$. Получаем выражение: $m - 2m + 6 + 3m - 9$. Группируем и складываем подобные слагаемые: $(m - 2m + 3m) + (6 - 9) = 2m - 3$.
Ответ: $2m - 3$

з) Для упрощения $2(3x + 1) - (x - 2) - 3x$ раскроем скобки. Обращаем внимание на знак минус перед вторыми скобками: $6x + 2 - x + 2 - 3x$. Группируем подобные слагаемые: $(6x - x - 3x) + (2 + 2)$. Выполняем вычисления и получаем $2x + 4$.
Ответ: $2x + 4$

303 Упростите:

а) $b(m - 7) - 7b;$

б) $x(c + 1) + c(x - 1);$

в) $y(x - 4) + x(3 - y);$

г) $m(k - 3) - k(m - 5);$

д) $a(1 - b) - a(1 + b);$

е) $b(2d - 5) - b(d + 5).$

а) $b(m - 7) - 7b$

Для упрощения данного выражения необходимо сначала раскрыть скобки, используя распределительное свойство умножения ($a(b - c) = ab - ac$). Умножим $b$ на каждый член в скобках $(m - 7)$: $b(m - 7) = b \cdot m - b \cdot 7 = bm - 7b$. Теперь подставим полученное выражение обратно в исходное: $(bm - 7b) - 7b$. Далее приведем подобные слагаемые. Подобными здесь являются $-7b$ и $-7b$. $-7b - 7b = -14b$. Таким образом, окончательное упрощенное выражение выглядит так: $bm - 14b$.
Ответ: $bm - 14b$

б) $x(c + 1) + c(x - 1)$

Раскроем скобки в каждом из двух слагаемых. Для первого слагаемого: $x(c + 1) = x \cdot c + x \cdot 1 = xc + x$. Для второго слагаемого: $c(x - 1) = c \cdot x - c \cdot 1 = cx - c$. Теперь сложим полученные выражения: $(xc + x) + (cx - c) = xc + x + cx - c$. Сгруппируем и приведем подобные слагаемые. Члены $xc$ и $cx$ являются подобными, так как от перемены мест множителей произведение не меняется ($xc = cx$). $xc + cx = 2xc$. Окончательное выражение: $2xc + x - c$.
Ответ: $2xc + x - c$

в) $y(x - 4) + x(3 - y)$

Сначала раскроем скобки в обоих слагаемых. $y(x - 4) = y \cdot x - y \cdot 4 = yx - 4y$. $x(3 - y) = x \cdot 3 - x \cdot y = 3x - xy$. Сложим полученные результаты: $(yx - 4y) + (3x - xy) = yx - 4y + 3x - xy$. Теперь найдем и приведем подобные слагаемые. Члены $yx$ и $-xy$ являются подобными и противоположными по знаку ($yx = xy$), поэтому они взаимно уничтожаются: $yx - xy = 0$. Остаются члены $3x$ и $-4y$. Итоговое упрощенное выражение: $3x - 4y$.
Ответ: $3x - 4y$

г) $m(k - 3) - k(m - 5)$

Раскроем скобки в уменьшаемом и вычитаемом. $m(k - 3) = mk - 3m$. $-k(m - 5) = -k \cdot m - k \cdot (-5) = -km + 5k$. Объединим полученные выражения: $mk - 3m - km + 5k$. Приведем подобные слагаемые. Члены $mk$ и $-km$ взаимно уничтожаются, так как $mk = km$. $mk - km = 0$. Остаются члены $-3m$ и $5k$. Запишем результат в стандартном виде: $5k - 3m$.
Ответ: $5k - 3m$

д) $a(1 - b) - a(1 + b)$

Раскроем скобки в обоих членах выражения. $a(1 - b) = a \cdot 1 - a \cdot b = a - ab$. $-a(1 + b) = -a \cdot 1 - a \cdot b = -a - ab$. Подставим раскрытые скобки в исходное выражение: $(a - ab) + (-a - ab) = a - ab - a - ab$. Сгруппируем и приведем подобные слагаемые. $(a - a) + (-ab - ab)$. $a - a = 0$. $-ab - ab = -2ab$. Результат сложения: $0 - 2ab = -2ab$.
Ответ: $-2ab$

е) $b(2d - 5) - b(d + 5)$

Раскроем скобки в уменьшаемом и вычитаемом. $b(2d - 5) = b \cdot 2d - b \cdot 5 = 2bd - 5b$. $-b(d + 5) = -b \cdot d - b \cdot 5 = -bd - 5b$. Объединим полученные выражения: $(2bd - 5b) + (-bd - 5b) = 2bd - 5b - bd - 5b$. Сгруппируем и приведем подобные слагаемые. Группа с $bd$: $2bd - bd = bd$. Группа с $b$: $-5b - 5b = -10b$. Сложив результаты, получим окончательное выражение: $bd - 10b$.
Ответ: $bd - 10b$

304 Фермер занял под картофель 15 соток, а его соседи — 18 соток и 12 соток. Запишите выражения для определения будущего урожая картофеля в каждом хозяйстве и общего урожая картофеля во всех трёх хозяйствах, если в среднем с каждой сотки планируется собрать $M$ кг. Сколько примерно тонн картофеля всего будет собрано, если $M = 120$? $M = 200$?

Выражения для урожая каждого хозяйства:

Урожай фермера: $15 \cdot M$ кг

Урожай первого соседа: $18 \cdot M$ кг

Урожай второго соседа: $12 \cdot M$ кг

Выражение для общего урожая:

Общий урожай: $(15 + 18 + 12) \cdot M = 45 \cdot M$ кг

Общий урожай при $M = 120$:

$(45 \cdot 120) / 1000 = 5.4$ тонн

Общий урожай при $M = 200$:

$(45 \cdot 200) / 1000 = 9$ тонн

Выражения для определения будущего урожая картофеля в каждом хозяйстве

Чтобы определить урожай для каждого хозяйства, необходимо площадь соответствующего участка (в сотках) умножить на среднюю урожайность с одной сотки ($M$ кг).

• Урожай фермера: $15 \cdot M$ (кг)
• Урожай первого соседа: $18 \cdot M$ (кг)
• Урожай второго соседа: $12 \cdot M$ (кг)

Ответ: $15 \cdot M$ кг, $18 \cdot M$ кг, $12 \cdot M$ кг.

Выражение для определения общего урожая картофеля во всех трёх хозяйствах

Общий урожай равен сумме урожаев со всех трёх участков. Сначала найдем общую площадь всех участков:

$15 + 18 + 12 = 45$ соток.

Теперь умножим общую площадь на среднюю урожайность $M$ с одной сотки:

$45 \cdot M$ (кг).

Это же выражение можно получить, сложив урожаи каждого хозяйства:

$15 \cdot M + 18 \cdot M + 12 \cdot M = (15 + 18 + 12) \cdot M = 45 \cdot M$ (кг).

Ответ: $45 \cdot M$ кг.

Сколько примерно тонн картофеля всего будет собрано, если M = 120?

Используем выражение для общего урожая $45 \cdot M$ и подставим в него значение $M = 120$ кг:

$45 \cdot 120 = 5400$ кг.

Для перевода килограммов в тонны разделим полученное значение на 1000 (поскольку 1 т = 1000 кг):

$5400 \text{ кг} = \frac{5400}{1000} \text{ т} = 5,4$ т.

Ответ: 5,4 тонны.

Сколько примерно тонн картофеля всего будет собрано, если M = 200?

Подставим значение $M = 200$ кг в выражение для общего урожая $45 \cdot M$:

$45 \cdot 200 = 9000$ кг.

Переведем килограммы в тонны:

$9000 \text{ кг} = \frac{9000}{1000} \text{ т} = 9$ т.

Ответ: 9 тонн.

305 ПРИМЕНЯЕМ АЛГЕБРУ

1) Сколько действий надо выполнить, чтобы вычислить значение выражения $ax + bx$?

Сколько действий надо выполнить, чтобы вычислить значение выражения $(a + b)x$?

Какое из этих двух выражений более удобно для вычислений с помощью калькулятора?

2) Вычислите с помощью калькулятора:

$18,11 \cdot 1,45 - 3,35 \cdot 1,45$;

$11,21 \cdot 2,25 + 17,5 \cdot 2,25 + 9,05 \cdot 2,25$;

$10,8 \cdot 3,86 + 10,8 \cdot 4,57 - 10,8 \cdot 1,75$.

1)

Чтобы вычислить значение выражения $ax + bx$, необходимо выполнить три арифметических действия:
1. Умножение: $a \cdot x$
2. Умножение: $b \cdot x$
3. Сложение: результат первого действия + результат второго действия.
Ответ: 3 действия.

Чтобы вычислить значение выражения $(a + b)x$, которое является результатом преобразования первого выражения с помощью вынесения общего множителя за скобки (распределительное свойство умножения), необходимо выполнить два арифметических действия:
1. Сложение в скобках: $a + b$
2. Умножение результата сложения на $x$.
Ответ: 2 действия.

Выражение $(a + b)x$ более удобно для вычислений, так как оно требует меньшего количества действий (два вместо трех). Это сокращает время вычислений и уменьшает вероятность ошибки при вводе данных на калькуляторе.
Ответ: Выражение $(a + b)x$.

2)

Для вычисления примеров воспользуемся распределительным свойством умножения, вынося общий множитель за скобки, что упростит расчеты.

$18,11 \cdot 1,45 - 3,35 \cdot 1,45 = (18,11 - 3,35) \cdot 1,45 = 14,76 \cdot 1,45 = 21,396$
Ответ: 21,396

$11,21 \cdot 2,25 + 17,5 \cdot 2,25 + 9,05 \cdot 2,25 = (11,21 + 17,5 + 9,05) \cdot 2,25 = 37,76 \cdot 2,25 = 84,96$
Ответ: 84,96

$10,8 \cdot 3,86 + 10,8 \cdot 4,57 - 10,8 \cdot 1,75 = 10,8 \cdot (3,86 + 4,57 - 1,75) = 10,8 \cdot (8,43 - 1,75) = 10,8 \cdot 6,68 = 72,144$
Ответ: 72,144