Страница 93 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

306 Составьте выражение по условию задачи и упростите его:

a) На одной полке было $n$ книг, на другой — в 3 раза больше, чем на первой, а на третьей — на 5 книг меньше, чем на второй. Сколько книг было на трёх полках вместе?

б) В коробке на столе учителя лежат цветные карандаши. Из них $m$ карандашей красные, синих на 7 меньше, а зелёных в 2 раза больше, чем синих. Сколько в коробке карандашей?

а)

Обозначим количество книг на каждой полке:

• На первой полке: $n$ книг.
• На второй полке в 3 раза больше, чем на первой: $3 \cdot n = 3n$ книг.
• На третьей полке на 5 книг меньше, чем на второй: $3n - 5$ книг.

Чтобы найти общее количество книг на трех полках, нужно сложить количество книг на каждой полке. Составим выражение:

$n + 3n + (3n - 5)$

Теперь упростим его, сложив подобные слагаемые:

$n + 3n + 3n - 5 = (1+3+3)n - 5 = 7n - 5$

Ответ: $7n - 5$

б)

Обозначим количество карандашей каждого цвета:

• Красные карандаши: $m$.
• Синие карандаши (на 7 меньше, чем красных): $m - 7$.
• Зелёные карандаши (в 2 раза больше, чем синих): $2 \cdot (m - 7)$.

Чтобы найти общее количество карандашей в коробке, нужно сложить количество карандашей каждого цвета. Составим выражение:

$m + (m - 7) + 2(m - 7)$

Теперь упростим его. Сначала раскроем скобки, а затем приведем подобные слагаемые:

$m + m - 7 + 2 \cdot m - 2 \cdot 7 = m + m - 7 + 2m - 14 = (1+1+2)m - (7+14) = 4m - 21$

Ответ: $4m - 21$

307 a) Два пешехода вышли одновременно навстречу друг другу из пунктов $A$ и $B$. Скорость первого пешехода $a$ км/ч, скорость второго на 1 км/ч больше. Чему равно расстояние между $A$ и $B$, если пешеходы встретились через 2 ч?

б) Производительность одного принтера $n$ страниц в минуту, а другого на 4 страницы больше. Сколько страниц можно напечатать с помощью этих двух принтеров за 1 ч?

а)

1. Обозначим скорость первого пешехода как $v_1 = a$ км/ч. Согласно условию, скорость второго пешехода на 1 км/ч больше. Следовательно, скорость второго пешехода $v_2 = a + 1$ км/ч.

2. Поскольку пешеходы движутся навстречу друг другу, их общая скорость, или скорость сближения, равна сумме их скоростей:
$v_{сближения} = v_1 + v_2 = a + (a + 1) = 2a + 1$ км/ч.

3. Расстояние между пунктами A и B равно произведению скорости сближения на время, через которое они встретились. Время в пути до встречи составляет $t = 2$ ч.
$S = v_{сближения} \times t = (2a + 1) \times 2$.

4. Упростим полученное выражение:
$S = 2 \times (2a + 1) = 4a + 2$ км.

Ответ: расстояние между А и В равно $4a + 2$ км.

б)

1. Обозначим производительность первого принтера как $P_1 = n$ страниц в минуту. Производительность второго принтера на 4 страницы в минуту больше, следовательно, $P_2 = n + 4$ страниц в минуту.

2. Найдем общую производительность двух принтеров при совместной работе, сложив их производительности:
$P_{общая} = P_1 + P_2 = n + (n + 4) = 2n + 4$ страниц в минуту.

3. Нам нужно узнать, сколько страниц они напечатают за 1 час. Так как производительность дана в страницах в минуту, переведем время в минуты:
$t = 1 \text{ час} = 60$ минут.

4. Чтобы найти общее количество напечатанных страниц, умножим общую производительность на время работы:
Количество страниц $= P_{общая} \times t = (2n + 4) \times 60$.

5. Раскроем скобки и упростим выражение:
$(2n + 4) \times 60 = 2n \times 60 + 4 \times 60 = 120n + 240$ страниц.

Ответ: с помощью этих двух принтеров за 1 час можно напечатать $120n + 240$ страниц.

308 ПРИМЕНЯЕМ АЛГЕБРУ

1) Учитель показал учащимся арифметический фокус. Он сказал: «Задумайте какое-нибудь число, прибавьте к нему 5, сумму умножьте на 2, к произведению прибавьте 8 и вычтите из результата удвоенное задуманное число. Теперь я отгадаю, какое число у вас получилось. У вас получилось 18».

Покажем с помощью алгебраических преобразований, как учитель узнал результат.

Задумайте число: $a$
Прибавьте к нему 5: $a + 5$
Умножьте сумму на 2: $(a + 5) \cdot 2$
Прибавьте 8: $(a + 5) \cdot 2 + 8$
Вычтите удвоенное задуманное число: $(a + 5) \cdot 2 + 8 - 2a$

Упростим полученное выражение:

$(a + 5) \cdot 2 + 8 - 2a = 2a + 10 + 8 - 2a = 18.$

2) Покажите сами с помощью алгебраических преобразований, на чём основан следующий фокус: «Задумайте число, прибавьте к нему 4, эту сумму умножьте на 3, из произведения вычтите утроенное задуманное число и к результату прибавьте 12. Вы получили число 24».

3) Придумайте свой арифметический фокус и покажите с помощью алгебры, на чём он основан.

1)

Секрет этого арифметического фокуса заключается в том, что в результате последовательности математических операций задуманное число всегда сокращается, приводя к заранее известному результату. Докажем это с помощью алгебраических преобразований.

Пусть $a$ — это число, которое задумал учащийся. Выполним все шаги фокуса, записывая их в виде математического выражения:

1. Задумано число: $a$
2. К нему прибавили 5: $a + 5$
3. Сумму умножили на 2: $(a + 5) \cdot 2$
4. К произведению прибавили 8: $(a + 5) \cdot 2 + 8$
5. Из результата вычли удвоенное задуманное число: $(a + 5) \cdot 2 + 8 - 2a$

Теперь упростим полученное выражение. Сначала раскроем скобки:

$2 \cdot a + 5 \cdot 2 + 8 - 2a = 2a + 10 + 8 - 2a$

Теперь сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$(2a - 2a) + (10 + 8) = 0 + 18 = 18$

Как мы видим, переменная $a$ в ходе вычислений уничтожается, и результат всегда равен 18, независимо от того, какое число было задумано вначале. Именно поэтому учитель мог с уверенностью назвать итоговый результат.

Ответ: Результат фокуса не зависит от задуманного числа, так как в ходе алгебраических преобразований переменная, обозначающая это число, сокращается, и в итоге всегда получается число 18. Математически это выглядит так: $(a + 5) \cdot 2 + 8 - 2a = 18$.

2)

Этот фокус также основан на алгебраическом тождестве, при котором задуманное число исчезает из выражения. Покажем это, обозначив задуманное число переменной $x$.

Запишем последовательность действий в виде алгебраического выражения:

1. Задумано число: $x$
2. Прибавили к нему 4: $x + 4$
3. Сумму умножили на 3: $(x + 4) \cdot 3$
4. Из произведения вычли утроенное задуманное число: $(x + 4) \cdot 3 - 3x$
5. К результату прибавили 12: $(x + 4) \cdot 3 - 3x + 12$

Упростим получившееся выражение. Раскрываем скобки:

$3 \cdot x + 4 \cdot 3 - 3x + 12 = 3x + 12 - 3x + 12$

Приводим подобные слагаемые:

$(3x - 3x) + (12 + 12) = 0 + 24 = 24$

Таким образом, задуманное число $x$ сокращается, и итоговый результат всегда равен 24.

Ответ: Основа фокуса в том, что при выполнении указанных действий задуманное число ($x$) сокращается, а числовые операции приводят к постоянному результату: $(x + 4) \cdot 3 - 3x + 12 = 3x + 12 - 3x + 12 = 24$.

3)

Пример собственного арифметического фокуса:
1. Задумайте любое число.
2. Умножьте его на 4.
3. К результату прибавьте 12.
4. Полученную сумму разделите на 4.
5. Из того, что получилось, вычтите задуманное вами число.
В результате у вас получилось 3.

Алгебраическое объяснение фокуса:
Чтобы показать, как работает фокус, обозначим задуманное число переменной $y$ и запишем все шаги в виде выражения.

$(y \cdot 4 + 12) : 4 - y$

Теперь упростим это выражение. Сначала выполним деление каждого члена в скобках на 4:

$\frac{4y}{4} + \frac{12}{4} - y = y + 3 - y$

Приведем подобные слагаемые:

$(y - y) + 3 = 0 + 3 = 3$

Фокус основан на том, что какое бы число $y$ ни было задумано, в результате выполнения всех шагов оно сократится, и ответ всегда будет равен 3.

Ответ: Фокус «Задумайте число, умножьте на 4, прибавьте 12, разделите на 4 и вычтите исходное число» всегда даёт в результате 3. Его основа в алгебраическом тождестве: $(y \cdot 4 + 12) : 4 - y = y + 3 - y = 3$.

309 РАССУЖДАЕМ

Учащиеся выполняли на доске упражнения на приведение подобных слагаемых и затем стёрли знаки между слагаемыми.

Восстановите запись:

$7a \Box 5b \Box 3a \Box b \Box 4b \Box 4a = 10b;$

$7a \Box 5b \Box 3a \Box b \Box 4b \Box 4a = 6a.$

7a □ 5b □ 3a □ b □ 4b □ 4a = 10b;

Чтобы решить это уравнение, необходимо восстановить знаки «+» или «-» между слагаемыми. Для этого нужно сгруппировать подобные слагаемые (члены с переменной a и члены с переменной b) и подобрать знаки так, чтобы равенство стало верным.

Правая часть уравнения равна $10b$. Это означает, что после приведения подобных слагаемых сумма всех членов с переменной a должна быть равна 0, а сумма всех членов с переменной b должна быть равна $10b$.

1. Рассмотрим слагаемые, содержащие переменную a: $7a$, $3a$, $4a$. Чтобы их сумма равнялась 0, нужно подобрать знаки. Проверим комбинацию: $7a - 3a - 4a = (7 - 3 - 4)a = 0a = 0$. Эта комбинация подходит. Значит, перед $3a$ должен стоять знак «-», и перед $4a$ тоже «-».

2. Рассмотрим слагаемые, содержащие переменную b: $5b$, $b$, $4b$. Их сумма должна равняться $10b$. Проверим комбинацию: $5b + b + 4b = (5 + 1 + 4)b = 10b$. Эта комбинация подходит. Значит, перед всеми этими слагаемыми должен стоять знак «+».

3. Теперь восстановим исходное выражение, расставляя найденные знаки в пустые квадраты в нужном порядке:
$7a + 5b - 3a + b + 4b - 4a$
Проверим правильность, сгруппировав подобные слагаемые:
$(7a - 3a - 4a) + (5b + b + 4b) = 0 + 10b = 10b$.
Равенство верно.

Ответ: $7a + 5b - 3a + b + 4b - 4a = 10b$

7a □ 5b □ 3a □ b □ 4b □ 4a = 6a.

Действуем аналогично первому случаю. Правая часть уравнения равна $6a$. Это означает, что сумма всех слагаемых с переменной b должна быть равна 0, а сумма всех слагаемых с переменной a должна быть равна $6a$.

1. Рассмотрим слагаемые с переменной b: $5b$, $b$, $4b$. Их сумма должна равняться 0. Проверим комбинацию: $+5b - b - 4b = (5 - 1 - 4)b = 0b = 0$. Эта комбинация подходит.

2. Рассмотрим слагаемые с переменной a: $7a$, $3a$, $4a$. Их сумма должна равняться $6a$. Проверим комбинацию: $7a + 3a - 4a = (7 + 3 - 4)a = 6a$. Эта комбинация подходит.

3. Восстановим выражение, подставляя знаки в соответствии с порядком слагаемых. Перед $5b$ ставим «+», перед $3a$ ставим «+», перед $b$ ставим «-», перед $4b$ ставим «-», перед $4a$ ставим «-».
$7a + 5b + 3a - b - 4b - 4a$
Проверим правильность:
$(7a + 3a - 4a) + (5b - b - 4b) = 6a + 0 = 6a$.
Равенство верно. (Стоит отметить, что существует и другое верное решение: $7a - 5b + 3a + b + 4b - 4a = 6a$)

Ответ: $7a + 5b + 3a - b - 4b - 4a = 6a$