Страница 89 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

288 Раскройте скобки:

а) $a - (b - (c + 4))$;

б) $x - (3 - (x + 6))$;

в) $a - (a - (a - 10))$;

г) $c - (c - (c - d))$.

а) Чтобы раскрыть скобки в выражении $a - (b - (c + 4))$, необходимо последовательно раскрывать скобки, начиная с самых внутренних. Правило раскрытия скобок, перед которыми стоит знак "минус", заключается в том, что все знаки слагаемых внутри скобок меняются на противоположные.

1. Раскроем внутренние скобки $(c + 4)$. Перед ними стоит знак минус, поэтому выражение принимает вид:

$a - (b - c - 4)$

2. Теперь раскроем оставшиеся скобки $(b - c - 4)$. Перед ними также стоит знак минус, поэтому знаки всех слагаемых внутри снова меняются на противоположные:

$a - b + c + 4$

Дальнейшее упрощение невозможно, так как в выражении нет подобных слагаемых.

Ответ: $a - b + c + 4$

б) Раскроем скобки в выражении $x - (3 - (x + 6))$. Действуем по тому же принципу, начиная с внутренних скобок.

1. Раскроем внутренние скобки $(x + 6)$. Перед ними стоит знак минус:

$x - (3 - x - 6)$

2. Прежде чем раскрывать внешние скобки, упростим выражение внутри них, приведя подобные слагаемые ($3 - 6 = -3$):

$x - (-x - 3)$

3. Теперь раскроем оставшиеся скобки. Так как перед ними стоит знак минус, меняем знаки у $-x$ и $-3$ на противоположные:

$x + x + 3$

4. Приведем подобные слагаемые:

$2x + 3$

Ответ: $2x + 3$

в) Раскроем скобки в выражении $a - (a - (a - 10))$.

1. Начинаем с внутренних скобок $(a - 10)$. Перед ними стоит знак минус:

$a - (a - a + 10)$

2. Упростим выражение в скобках, приведя подобные слагаемые ($a - a = 0$):

$a - (0 + 10) = a - 10$

Ответ: $a - 10$

г) Раскроем скобки в выражении $c - (c - (c - d))$.

1. Раскрываем самые внутренние скобки $(c - d)$. Перед ними стоит знак минус:

$c - (c - c + d)$

2. Упрощаем выражение в скобках, приводя подобные слагаемые ($c - c = 0$):

$c - (0 + d) = c - d$

Ответ: $c - d$

289 Запишите выражения для вычисления площади фигуры (рис. 3.9) сначала сложением площадей прямоугольников, а затем вычитанием. Покажите, как можно получить второе выражение из первого с помощью преобразований.

Выражение для площади сложением:

$S = b(a-c) + c(b-d)$

Выражение для площади вычитанием:

$S = ab - cd$

Преобразование первого выражения во второе:

$b(a-c) + c(b-d) = ba - bc + cb - cd = ab - cd$

Рис. 3.9

Вычисление площади сложением
Чтобы найти площадь фигуры сложением, можно мысленно разделить ее на два прямоугольника. Существует два способа это сделать: горизонтальным или вертикальным разрезом. Рассмотрим оба.
1. Вертикальный разрез:
Разделим фигуру на левый и правый прямоугольники.

• Левый прямоугольник будет иметь высоту $a$ и ширину $(b - d)$. Его площадь равна $S_1 = a(b - d)$.
• Правый прямоугольник будет иметь ширину $d$ и высоту $(a - c)$. Его площадь равна $S_2 = d(a - c)$.

Общая площадь фигуры — это сумма площадей этих двух прямоугольников: $S = S_1 + S_2 = a(b - d) + d(a - c)$.
2. Горизонтальный разрез:
Разделим фигуру на верхний и нижний прямоугольники.

• Верхний прямоугольник будет иметь высоту $c$ и ширину $(b-d)$. Его площадь равна $S_1 = c(b-d)$.
• Нижний прямоугольник будет иметь высоту $(a-c)$ и ширину $b$. Его площадь равна $S_2 = b(a-c)$.

Общая площадь в этом случае: $S = S_1 + S_2 = c(b-d) + b(a-c)$.
Оба выражения верны. В качестве ответа возьмем первое.
Ответ: $S = a(b - d) + d(a - c)$.

Вычисление площади вычитанием
Чтобы найти площадь фигуры вычитанием, можно достроить ее до большого прямоугольника, а затем вычесть площадь недостающей (вырезанной) части.

• Площадь большого прямоугольника с высотой $a$ и шириной $b$ равна $S_{большой} = ab$.
• Площадь вырезанного прямоугольника с высотой $c$ и шириной $d$ равна $S_{вырез} = cd$.

Площадь исходной фигуры равна разности этих площадей: $S = S_{большой} - S_{вырез} = ab - cd$.
Ответ: $S = ab - cd$.

Преобразование первого выражения во второе
Возьмем выражение для площади, полученное методом сложения, и преобразуем его с помощью алгебраических правил.
Исходное выражение: $S = a(b - d) + d(a - c)$.
1. Раскроем скобки, используя распределительный закон умножения: $a(b - d) = ab - ad$
$d(a - c) = da - dc = ad - cd$
2. Подставим раскрытые скобки обратно в формулу: $S = (ab - ad) + (ad - cd)$
3. Упростим выражение. Члены $-ad$ и $+ad$ взаимно уничтожаются: $S = ab - ad + ad - cd = ab - cd$
В результате мы получили выражение, которое соответствует методу вычитания.
Ответ: Преобразование $a(b - d) + d(a - c) = ab - ad + ad - cd = ab - cd$ показывает, что первое выражение тождественно равно второму.

РИС. 3.9

290 a) Покажите, что скорость лодки по течению реки больше скорости лодки против течения на удвоенную скорость течения.

б) Покажите, что собственная скорость лодки равна половине суммы скорости движения лодки по течению реки и скорости её движения против течения.

а)

Для решения задачи введем следующие обозначения:
$v_л$ — собственная скорость лодки (скорость в стоячей воде),
$v_т$ — скорость течения реки,
$v_{по}$ — скорость лодки по течению реки,
$v_{пр}$ — скорость лодки против течения реки.

Когда лодка движется по течению, ее скорость относительно берега является суммой ее собственной скорости и скорости течения. Таким образом, скорость лодки по течению равна:
$v_{по} = v_л + v_т$

Когда лодка движется против течения, ее скорость относительно берега является разностью ее собственной скорости и скорости течения. Таким образом, скорость лодки против течения равна:
$v_{пр} = v_л - v_т$

Чтобы найти, на сколько скорость лодки по течению больше скорости лодки против течения, необходимо найти их разность:
$v_{по} - v_{пр} = (v_л + v_т) - (v_л - v_т)$
Раскроем скобки:
$v_{по} - v_{пр} = v_л + v_т - v_л + v_т$
Сгруппируем и упростим выражение:
$v_{по} - v_{пр} = (v_л - v_л) + (v_т + v_т) = 2v_т$

Таким образом, мы показали, что скорость лодки по течению действительно больше скорости лодки против течения на удвоенную скорость течения.

Ответ: Разность между скоростью лодки по течению ($v_{по}$) и скоростью против течения ($v_{пр}$) равна $v_{по} - v_{пр} = (v_л + v_т) - (v_л - v_т) = 2v_т$, что и требовалось доказать.

б)

Используем те же обозначения и формулы для скоростей, что и в пункте а):
$v_{по} = v_л + v_т$ (1)
$v_{пр} = v_л - v_т$ (2)

Нам нужно показать, что собственная скорость лодки ($v_л$) равна половине суммы ее скоростей по течению и против течения. Для этого сложим выражения (1) и (2):
$v_{по} + v_{пр} = (v_л + v_т) + (v_л - v_т)$
Раскроем скобки и упростим:
$v_{по} + v_{пр} = v_л + v_т + v_л - v_т$
$v_{по} + v_{пр} = (v_л + v_л) + (v_т - v_т) = 2v_л$

Из полученного равенства $v_{по} + v_{пр} = 2v_л$ выразим собственную скорость лодки $v_л$:
$v_л = \frac{v_{по} + v_{пр}}{2}$

Это доказывает, что собственная скорость лодки действительно равна половине суммы скоростей движения лодки по течению и против течения.

Ответ: Сложив скорость по течению и против течения, получаем $v_{по} + v_{пр} = 2v_л$. Отсюда собственная скорость лодки $v_л = \frac{v_{по} + v_{пр}}{2}$, что и требовалось доказать.

291 Пусть сумма трёх последовательных натуральных чисел равна N. Найдите сумму трёх следующих натуральных чисел.

Пусть первое из трёх последовательных натуральных чисел равно $n$. Тогда эти три числа можно записать как $n$, $n+1$ и $n+2$.

По условию, их сумма равна $N$. Составим уравнение:
$N = n + (n+1) + (n+2)$

Упростим это выражение, раскрыв скобки и сложив все члены:
$N = 3n + 3$

Следующие три последовательных натуральных числа — это те, что идут после $n+2$. Это числа $n+3$, $n+4$ и $n+5$. Найдём их сумму, которую обозначим как $S$:
$S = (n+3) + (n+4) + (n+5)$

Упростим выражение для $S$:
$S = 3n + 12$

Теперь нам нужно выразить новую сумму $S$ через исходную сумму $N$. Мы можем переписать выражение для $S$ следующим образом, чтобы выделить в нём выражение для $N$:
$S = (3n + 3) + 9$

Поскольку из первого шага мы знаем, что $N = 3n+3$, мы можем подставить $N$ в полученное равенство:
$S = N + 9$

Таким образом, сумма трёх следующих натуральных чисел на 9 больше, чем сумма исходных трёх чисел.

Ответ: $N+9$

292 Пусть сумма трёх последовательных чётных чисел равна $A$.

Найдите:

а) сумму трёх следующих чётных чисел;

б) сумму трёх следующих нечётных чисел.

Пусть первое из трёх последовательных чётных чисел равно $n$. Так как числа чётные и последовательные, они отличаются друг от друга на 2. Следовательно, эти три числа можно записать как $n$, $n+2$ и $n+4$.

По условию задачи, их сумма равна A: $A = n + (n+2) + (n+4)$ $A = 3n + 6$

а) сумму трёх следующих чётных чисел;

Последнее число в исходной тройке — $n+4$. Следующие за ним три последовательных чётных числа это $n+6$, $n+8$ и $n+10$.

Найдём их сумму, которую обозначим $S_a$: $S_a = (n+6) + (n+8) + (n+10) = 3n + 24$

Теперь выразим полученную сумму через A. Для этого преобразуем выражение для $S_a$: $S_a = 3n + 24 = (3n + 6) + 18$ Поскольку мы знаем, что $A = 3n + 6$, мы можем подставить A в это выражение: $S_a = A + 18$

Можно прийти к этому же результату и другим способом. Каждое число из новой тройки ($n+6, n+8, n+10$) на 6 больше соответствующего числа из старой тройки ($n, n+2, n+4$). Значит, и сумма трёх новых чисел будет на $6+6+6=18$ больше, чем сумма A.

Ответ: $A + 18$

б) сумму трёх следующих нечётных чисел.

Последнее число в исходной тройке чётных чисел — $n+4$. Следующее за ним нечётное число — $(n+4)+1 = n+5$. Следовательно, три следующих последовательных нечётных числа это $n+5$, $n+7$ и $n+9$.

Найдём их сумму, которую обозначим $S_b$: $S_b = (n+5) + (n+7) + (n+9) = 3n + 21$

Выразим эту сумму через A, преобразовав выражение для $S_b$: $S_b = 3n + 21 = (3n + 6) + 15$ Подставив $A = 3n + 6$, получим: $S_b = A + 15$

Альтернативное рассуждение: сравним каждое из трёх нечётных чисел с соответствующим по порядку числом из исходной тройки чётных. Каждое нечётное число ($n+5, n+7, n+9$) на 5 больше соответствующего чётного ($n, n+2, n+4$). Следовательно, их сумма будет на $5+5+5=15$ больше, чем сумма A.

Ответ: $A + 15$

293 Исследуем

1) Выясните, делится ли сумма:

любых двух последовательных натуральных чисел на 2;

любых трёх последовательных натуральных чисел на 3;

любых четырёх последовательных натуральных чисел на 4;

любых пяти последовательных натуральных чисел на 5;

любых шести последовательных натуральных чисел на 6.

2) Установите закономерность и сформулируйте гипотезу о делимости суммы последовательных натуральных чисел на число слагаемых.

Совет. Каждый шаг в п. 1 сначала исследуйте на числовых примерах, а затем обоснуйте свой вывод с помощью букв. При этом вам придётся вспомнить свойства делимости суммы.

1) Выясните, делится ли сумма:

любых двух последовательных натуральных чисел на 2;

Рассмотрим несколько примеров:
$1 + 2 = 3$. $3$ не делится на $2$.
$7 + 8 = 15$. $15$ не делится на $2$.
Обобщим это наблюдение. Пусть первое натуральное число равно $n$. Тогда следующее за ним число будет $n + 1$. Их сумма $S_2 = n + (n + 1) = 2n + 1$.
Выражение $2n$ всегда является чётным числом, так как делится на $2$. Если к чётному числу прибавить $1$, получится нечётное число. Нечётные числа не делятся на $2$ без остатка.

Ответ: нет, не делится.

любых трёх последовательных натуральных чисел на 3;

Рассмотрим несколько примеров:
$1 + 2 + 3 = 6$. $6$ делится на $3$ ($6:3=2$).
$5 + 6 + 7 = 18$. $18$ делится на $3$ ($18:3=6$).
Обобщим это. Пусть первое число равно $n$. Тогда три последовательных числа это $n$, $n+1$, $n+2$. Их сумма $S_3 = n + (n + 1) + (n + 2) = 3n + 3 = 3(n + 1)$.
Так как один из множителей в полученном выражении равен $3$, то вся сумма всегда делится на $3$.

Ответ: да, делится.

любых четырёх последовательных натуральных чисел на 4;

Рассмотрим несколько примеров:
$1 + 2 + 3 + 4 = 10$. $10$ не делится на $4$.
$3 + 4 + 5 + 6 = 18$. $18$ не делится на $4$.
Обобщим. Пусть первое число равно $n$. Тогда четыре последовательных числа это $n$, $n+1$, $n+2$, $n+3$. Их сумма $S_4 = n + (n + 1) + (n + 2) + (n + 3) = 4n + 6 = 2(2n + 3)$.
Чтобы это выражение делилось на $4$, необходимо, чтобы $2(2n + 3)$ было кратно $4$, а это значит, что $2n + 3$ должно быть кратно $2$ (т.е. быть чётным).
$2n$ всегда чётное. $3$ - нечётное. Сумма чётного и нечётного чисел всегда нечётна. Следовательно, $2n + 3$ не делится на $2$, а значит $S_4$ не делится на $4$.

Ответ: нет, не делится.

любых пяти последовательных натуральных чисел на 5;

Рассмотрим несколько примеров:
$1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15$. $15$ делится на $5$ ($15:5=3$).
$4 + 5 + 6 + 7 + 8 = 30$. $30$ делится на $5$ ($30:5=6$).
Обобщим. Пусть первое число равно $n$. Пять последовательных чисел: $n, n+1, n+2, n+3, n+4$. Их сумма $S_5 = n + (n + 1) + (n + 2) + (n + 3) + (n + 4) = 5n + 10 = 5(n + 2)$.
Так как один из множителей в полученном выражении равен $5$, то вся сумма всегда делится на $5$.

Ответ: да, делится.

любых шести последовательных натуральных чисел на 6.

Рассмотрим несколько примеров:
$1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21$. $21$ не делится на $6$.
$2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 = 27$. $27$ не делится на $6$.
Обобщим. Пусть первое число равно $n$. Шесть последовательных чисел: $n, n+1, n+2, n+3, n+4, n+5$. Их сумма $S_6 = n + (n + 1) + (n + 2) + (n + 3) + (n + 4) + (n + 5) = 6n + 15 = 3(2n + 5)$.
Чтобы число делилось на $6$, оно должно делиться и на $2$, и на $3$. $S_6$ очевидно делится на $3$. Проверим делимость на $2$.
Выражение $2n+5$ является нечётным числом (сумма чётного $2n$ и нечётного $5$). Произведение двух нечётных чисел ($3$ и $2n+5$) является нечётным числом. Следовательно, $S_6$ не делится на $2$, а значит и на $6$.

Ответ: нет, не делится.

2) Установите закономерность и сформулируйте гипотезу о делимости суммы последовательных натуральных чисел на число слагаемых.

Проанализируем результаты из пункта 1:
- Сумма 2 чисел не делится на 2 (2 - чётное).
- Сумма 3 чисел делится на 3 (3 - нечётное).
- Сумма 4 чисел не делится на 4 (4 - чётное).
- Сумма 5 чисел делится на 5 (5 - нечётное).
- Сумма 6 чисел не делится на 6 (6 - чётное).
Наблюдается закономерность: если количество слагаемых нечётное, то сумма делится на это количество. Если количество слагаемых чётное, то не делится.

Сформулируем и докажем гипотезу. Пусть у нас есть $k$ последовательных натуральных чисел, и первое из них равно $n$. Тогда эти числа: $n, n+1, n+2, \dots, n+k-1$. Их сумма $S_k$ является суммой арифметической прогрессии, которую можно найти по формуле: $S_k = \frac{\text{(первый член + последний член)} \cdot \text{количество членов}}{2}$

$S_k = \frac{(n + (n+k-1)) \cdot k}{2} = \frac{(2n + k - 1)k}{2}$

Чтобы проверить, делится ли $S_k$ на $k$, нужно выяснить, является ли выражение $\frac{S_k}{k}$ целым числом. $\frac{S_k}{k} = \frac{(2n + k - 1)k}{2k} = \frac{2n + k - 1}{2}$

Это выражение будет целым числом только в том случае, если числитель $2n + k - 1$ является чётным числом (т.е. делится на 2). Рассмотрим два случая:

Случай 1: $k$ - нечётное число.
Если $k$ нечётное, то $k-1$ - чётное. Выражение $2n$ всегда чётно. Сумма двух чётных чисел ($2n$ и $k-1$) всегда чётна. Следовательно, $2n + k - 1$ - чётное число, и $\frac{2n + k - 1}{2}$ является целым числом. Значит, при нечётном $k$ сумма $S_k$ всегда делится на $k$.

Случай 2: $k$ - чётное число.
Если $k$ чётное, то $k-1$ - нечётное. Выражение $2n$ всегда чётно. Сумма чётного ($2n$) и нечётного ($k-1$) чисел всегда нечётна. Следовательно, $2n + k - 1$ - нечётное число, и $\frac{2n + k - 1}{2}$ не является целым числом. Значит, при чётном $k$ сумма $S_k$ никогда не делится на $k$.

Гипотеза: Сумма $k$ последовательных натуральных чисел делится нацело на $k$ тогда и только тогда, когда число слагаемых $k$ является нечётным.

Ответ: Сумма $k$ последовательных натуральных чисел делится на $k$ тогда и только тогда, когда $k$ — нечётное число.