Номер 289, страница 89 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 3.3. Раскрытие скобок. Глава 3. Введение в алгебру - номер 289, страница 89.

289 Запишите выражения для вычисления площади фигуры (рис. 3.9) сначала сложением площадей прямоугольников, а затем вычитанием. Покажите, как можно получить второе выражение из первого с помощью преобразований.

Выражение для площади сложением:

$S = b(a-c) + c(b-d)$

Выражение для площади вычитанием:

$S = ab - cd$

Преобразование первого выражения во второе:

$b(a-c) + c(b-d) = ba - bc + cb - cd = ab - cd$

Рис. 3.9

Вычисление площади сложением
Чтобы найти площадь фигуры сложением, можно мысленно разделить ее на два прямоугольника. Существует два способа это сделать: горизонтальным или вертикальным разрезом. Рассмотрим оба.
1. Вертикальный разрез:
Разделим фигуру на левый и правый прямоугольники.

• Левый прямоугольник будет иметь высоту $a$ и ширину $(b - d)$. Его площадь равна $S_1 = a(b - d)$.
• Правый прямоугольник будет иметь ширину $d$ и высоту $(a - c)$. Его площадь равна $S_2 = d(a - c)$.

Общая площадь фигуры — это сумма площадей этих двух прямоугольников: $S = S_1 + S_2 = a(b - d) + d(a - c)$.
2. Горизонтальный разрез:
Разделим фигуру на верхний и нижний прямоугольники.

• Верхний прямоугольник будет иметь высоту $c$ и ширину $(b-d)$. Его площадь равна $S_1 = c(b-d)$.
• Нижний прямоугольник будет иметь высоту $(a-c)$ и ширину $b$. Его площадь равна $S_2 = b(a-c)$.

Общая площадь в этом случае: $S = S_1 + S_2 = c(b-d) + b(a-c)$.
Оба выражения верны. В качестве ответа возьмем первое.
Ответ: $S = a(b - d) + d(a - c)$.

Вычисление площади вычитанием
Чтобы найти площадь фигуры вычитанием, можно достроить ее до большого прямоугольника, а затем вычесть площадь недостающей (вырезанной) части.

• Площадь большого прямоугольника с высотой $a$ и шириной $b$ равна $S_{большой} = ab$.
• Площадь вырезанного прямоугольника с высотой $c$ и шириной $d$ равна $S_{вырез} = cd$.

Площадь исходной фигуры равна разности этих площадей: $S = S_{большой} - S_{вырез} = ab - cd$.
Ответ: $S = ab - cd$.

Преобразование первого выражения во второе
Возьмем выражение для площади, полученное методом сложения, и преобразуем его с помощью алгебраических правил.
Исходное выражение: $S = a(b - d) + d(a - c)$.
1. Раскроем скобки, используя распределительный закон умножения: $a(b - d) = ab - ad$
$d(a - c) = da - dc = ad - cd$
2. Подставим раскрытые скобки обратно в формулу: $S = (ab - ad) + (ad - cd)$
3. Упростим выражение. Члены $-ad$ и $+ad$ взаимно уничтожаются: $S = ab - ad + ad - cd = ab - cd$
В результате мы получили выражение, которое соответствует методу вычитания.
Ответ: Преобразование $a(b - d) + d(a - c) = ab - ad + ad - cd = ab - cd$ показывает, что первое выражение тождественно равно второму.