Номер 293, страница 89 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 3.3. Раскрытие скобок. Глава 3. Введение в алгебру - номер 293, страница 89.

293 Исследуем

1) Выясните, делится ли сумма:

любых двух последовательных натуральных чисел на 2;

любых трёх последовательных натуральных чисел на 3;

любых четырёх последовательных натуральных чисел на 4;

любых пяти последовательных натуральных чисел на 5;

любых шести последовательных натуральных чисел на 6.

2) Установите закономерность и сформулируйте гипотезу о делимости суммы последовательных натуральных чисел на число слагаемых.

Совет. Каждый шаг в п. 1 сначала исследуйте на числовых примерах, а затем обоснуйте свой вывод с помощью букв. При этом вам придётся вспомнить свойства делимости суммы.

1) Выясните, делится ли сумма:

любых двух последовательных натуральных чисел на 2;

Рассмотрим несколько примеров:
$1 + 2 = 3$. $3$ не делится на $2$.
$7 + 8 = 15$. $15$ не делится на $2$.
Обобщим это наблюдение. Пусть первое натуральное число равно $n$. Тогда следующее за ним число будет $n + 1$. Их сумма $S_2 = n + (n + 1) = 2n + 1$.
Выражение $2n$ всегда является чётным числом, так как делится на $2$. Если к чётному числу прибавить $1$, получится нечётное число. Нечётные числа не делятся на $2$ без остатка.

Ответ: нет, не делится.

любых трёх последовательных натуральных чисел на 3;

Рассмотрим несколько примеров:
$1 + 2 + 3 = 6$. $6$ делится на $3$ ($6:3=2$).
$5 + 6 + 7 = 18$. $18$ делится на $3$ ($18:3=6$).
Обобщим это. Пусть первое число равно $n$. Тогда три последовательных числа это $n$, $n+1$, $n+2$. Их сумма $S_3 = n + (n + 1) + (n + 2) = 3n + 3 = 3(n + 1)$.
Так как один из множителей в полученном выражении равен $3$, то вся сумма всегда делится на $3$.

Ответ: да, делится.

любых четырёх последовательных натуральных чисел на 4;

Рассмотрим несколько примеров:
$1 + 2 + 3 + 4 = 10$. $10$ не делится на $4$.
$3 + 4 + 5 + 6 = 18$. $18$ не делится на $4$.
Обобщим. Пусть первое число равно $n$. Тогда четыре последовательных числа это $n$, $n+1$, $n+2$, $n+3$. Их сумма $S_4 = n + (n + 1) + (n + 2) + (n + 3) = 4n + 6 = 2(2n + 3)$.
Чтобы это выражение делилось на $4$, необходимо, чтобы $2(2n + 3)$ было кратно $4$, а это значит, что $2n + 3$ должно быть кратно $2$ (т.е. быть чётным).
$2n$ всегда чётное. $3$ - нечётное. Сумма чётного и нечётного чисел всегда нечётна. Следовательно, $2n + 3$ не делится на $2$, а значит $S_4$ не делится на $4$.

Ответ: нет, не делится.

любых пяти последовательных натуральных чисел на 5;

Рассмотрим несколько примеров:
$1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15$. $15$ делится на $5$ ($15:5=3$).
$4 + 5 + 6 + 7 + 8 = 30$. $30$ делится на $5$ ($30:5=6$).
Обобщим. Пусть первое число равно $n$. Пять последовательных чисел: $n, n+1, n+2, n+3, n+4$. Их сумма $S_5 = n + (n + 1) + (n + 2) + (n + 3) + (n + 4) = 5n + 10 = 5(n + 2)$.
Так как один из множителей в полученном выражении равен $5$, то вся сумма всегда делится на $5$.

Ответ: да, делится.

любых шести последовательных натуральных чисел на 6.

Рассмотрим несколько примеров:
$1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21$. $21$ не делится на $6$.
$2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 = 27$. $27$ не делится на $6$.
Обобщим. Пусть первое число равно $n$. Шесть последовательных чисел: $n, n+1, n+2, n+3, n+4, n+5$. Их сумма $S_6 = n + (n + 1) + (n + 2) + (n + 3) + (n + 4) + (n + 5) = 6n + 15 = 3(2n + 5)$.
Чтобы число делилось на $6$, оно должно делиться и на $2$, и на $3$. $S_6$ очевидно делится на $3$. Проверим делимость на $2$.
Выражение $2n+5$ является нечётным числом (сумма чётного $2n$ и нечётного $5$). Произведение двух нечётных чисел ($3$ и $2n+5$) является нечётным числом. Следовательно, $S_6$ не делится на $2$, а значит и на $6$.

Ответ: нет, не делится.

2) Установите закономерность и сформулируйте гипотезу о делимости суммы последовательных натуральных чисел на число слагаемых.

Проанализируем результаты из пункта 1:
- Сумма 2 чисел не делится на 2 (2 - чётное).
- Сумма 3 чисел делится на 3 (3 - нечётное).
- Сумма 4 чисел не делится на 4 (4 - чётное).
- Сумма 5 чисел делится на 5 (5 - нечётное).
- Сумма 6 чисел не делится на 6 (6 - чётное).
Наблюдается закономерность: если количество слагаемых нечётное, то сумма делится на это количество. Если количество слагаемых чётное, то не делится.

Сформулируем и докажем гипотезу. Пусть у нас есть $k$ последовательных натуральных чисел, и первое из них равно $n$. Тогда эти числа: $n, n+1, n+2, \dots, n+k-1$. Их сумма $S_k$ является суммой арифметической прогрессии, которую можно найти по формуле: $S_k = \frac{\text{(первый член + последний член)} \cdot \text{количество членов}}{2}$

$S_k = \frac{(n + (n+k-1)) \cdot k}{2} = \frac{(2n + k - 1)k}{2}$

Чтобы проверить, делится ли $S_k$ на $k$, нужно выяснить, является ли выражение $\frac{S_k}{k}$ целым числом. $\frac{S_k}{k} = \frac{(2n + k - 1)k}{2k} = \frac{2n + k - 1}{2}$

Это выражение будет целым числом только в том случае, если числитель $2n + k - 1$ является чётным числом (т.е. делится на 2). Рассмотрим два случая:

Случай 1: $k$ - нечётное число.
Если $k$ нечётное, то $k-1$ - чётное. Выражение $2n$ всегда чётно. Сумма двух чётных чисел ($2n$ и $k-1$) всегда чётна. Следовательно, $2n + k - 1$ - чётное число, и $\frac{2n + k - 1}{2}$ является целым числом. Значит, при нечётном $k$ сумма $S_k$ всегда делится на $k$.

Случай 2: $k$ - чётное число.
Если $k$ чётное, то $k-1$ - нечётное. Выражение $2n$ всегда чётно. Сумма чётного ($2n$) и нечётного ($k-1$) чисел всегда нечётна. Следовательно, $2n + k - 1$ - нечётное число, и $\frac{2n + k - 1}{2}$ не является целым числом. Значит, при чётном $k$ сумма $S_k$ никогда не делится на $k$.

Гипотеза: Сумма $k$ последовательных натуральных чисел делится нацело на $k$ тогда и только тогда, когда число слагаемых $k$ является нечётным.

Ответ: Сумма $k$ последовательных натуральных чисел делится на $k$ тогда и только тогда, когда $k$ — нечётное число.