Номер 290, страница 89 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 3.3. Раскрытие скобок. Глава 3. Введение в алгебру - номер 290, страница 89.

РИС. 3.9

290 a) Покажите, что скорость лодки по течению реки больше скорости лодки против течения на удвоенную скорость течения.

б) Покажите, что собственная скорость лодки равна половине суммы скорости движения лодки по течению реки и скорости её движения против течения.

а)

Для решения задачи введем следующие обозначения:
$v_л$ — собственная скорость лодки (скорость в стоячей воде),
$v_т$ — скорость течения реки,
$v_{по}$ — скорость лодки по течению реки,
$v_{пр}$ — скорость лодки против течения реки.

Когда лодка движется по течению, ее скорость относительно берега является суммой ее собственной скорости и скорости течения. Таким образом, скорость лодки по течению равна:
$v_{по} = v_л + v_т$

Когда лодка движется против течения, ее скорость относительно берега является разностью ее собственной скорости и скорости течения. Таким образом, скорость лодки против течения равна:
$v_{пр} = v_л - v_т$

Чтобы найти, на сколько скорость лодки по течению больше скорости лодки против течения, необходимо найти их разность:
$v_{по} - v_{пр} = (v_л + v_т) - (v_л - v_т)$
Раскроем скобки:
$v_{по} - v_{пр} = v_л + v_т - v_л + v_т$
Сгруппируем и упростим выражение:
$v_{по} - v_{пр} = (v_л - v_л) + (v_т + v_т) = 2v_т$

Таким образом, мы показали, что скорость лодки по течению действительно больше скорости лодки против течения на удвоенную скорость течения.

Ответ: Разность между скоростью лодки по течению ($v_{по}$) и скоростью против течения ($v_{пр}$) равна $v_{по} - v_{пр} = (v_л + v_т) - (v_л - v_т) = 2v_т$, что и требовалось доказать.

б)

Используем те же обозначения и формулы для скоростей, что и в пункте а):
$v_{по} = v_л + v_т$ (1)
$v_{пр} = v_л - v_т$ (2)

Нам нужно показать, что собственная скорость лодки ($v_л$) равна половине суммы ее скоростей по течению и против течения. Для этого сложим выражения (1) и (2):
$v_{по} + v_{пр} = (v_л + v_т) + (v_л - v_т)$
Раскроем скобки и упростим:
$v_{по} + v_{пр} = v_л + v_т + v_л - v_т$
$v_{по} + v_{пр} = (v_л + v_л) + (v_т - v_т) = 2v_л$

Из полученного равенства $v_{по} + v_{пр} = 2v_л$ выразим собственную скорость лодки $v_л$:
$v_л = \frac{v_{по} + v_{пр}}{2}$

Это доказывает, что собственная скорость лодки действительно равна половине суммы скоростей движения лодки по течению и против течения.

Ответ: Сложив скорость по течению и против течения, получаем $v_{по} + v_{пр} = 2v_л$. Отсюда собственная скорость лодки $v_л = \frac{v_{по} + v_{пр}}{2}$, что и требовалось доказать.