Страница 86 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Сформулируйте правила раскрытия скобок, перед которыми стоит знак «+» и знак «–». Проиллюстрируйте их на примере выражений $3x + (2y - z)$ и $3x - (2y - z)$.

Правило раскрытия скобок, перед которыми стоит знак «+»

Если перед скобками стоит знак «+», то при раскрытии скобок этот знак и сами скобки можно просто опустить, сохранив знаки всех слагаемых, которые были заключены в скобки.

Иллюстрация на примере выражения $3x + (2y - z)$:

Перед скобками стоит знак «+». Мы убираем этот знак и скобки. Слагаемые $2y$ (у которого был неявный знак «+») и $-z$ сохраняют свои знаки.

$3x + (2y - z) = 3x + 2y - z$

Ответ: $3x + 2y - z$

Правило раскрытия скобок, перед которыми стоит знак «-»

Если перед скобками стоит знак «-», то при раскрытии скобок этот знак и сами скобки опускаются, а знаки всех слагаемых, которые были заключены в скобки, меняются на противоположные (плюс на минус, а минус на плюс).

Иллюстрация на примере выражения $3x - (2y - z)$:

Перед скобками стоит знак «-». Мы убираем этот знак и скобки, но при этом меняем знаки у всех слагаемых внутри. Слагаемое $2y$ было со знаком «+», станет $-2y$. Слагаемое $-z$ было со знаком «-», станет $+z$.

$3x - (2y - z) = 3x - 2y + z$

Ответ: $3x - 2y + z$

На основании какого закона раскрывают скобки в произведении $3x(2y - z)$?

Сформулируйте соответствующее правило и выполните преобразование.

Закон:

Раскрытие скобок в данном произведении происходит на основании распределительного закона умножения относительно вычитания.

Правило:

Чтобы умножить одночлен на многочлен, необходимо умножить этот одночлен на каждый член многочлена и полученные произведения сложить (или вычесть, если член был с минусом). Общая формула для распределительного закона: $a(b \pm c) = ab \pm ac$.

Преобразование:

$3x(2y - z) = 3x \cdot 2y - 3x \cdot z = 6xy - 3xz$

На основании какого закона раскрывают скобки

Скобки в выражении $3x(2y - z)$ раскрывают на основании распределительного закона умножения относительно вычитания. Этот закон также называют дистрибутивным законом.

В общем виде для любых выражений $a, b$ и $c$ он записывается так: $a(b - c) = ab - ac$.

Ответ: Распределительный закон умножения.

Сформулируйте соответствующее правило

Чтобы умножить множитель на разность (или сумму) в скобках, нужно умножить этот множитель на каждый член, стоящий в скобках (на уменьшаемое и на вычитаемое), и из первого произведения вычесть второе.

Ответ: Чтобы умножить одночлен на многочлен, нужно умножить этот одночлен на каждый член многочлена и полученные произведения сложить (с учетом их знаков).

Выполните преобразование

Применим правило к выражению $3x(2y - z)$.

1. Умножим множитель перед скобками ($3x$) на первый член в скобках ($2y$): $3x \cdot 2y = (3 \cdot 2) \cdot (x \cdot y) = 6xy$

2. Умножим множитель перед скобками ($3x$) на второй член в скобках ($-z$): $3x \cdot (-z) = -3xz$

3. Сложим полученные результаты: $6xy + (-3xz) = 6xy - 3xz$

Таким образом, полное преобразование выглядит так: $3x(2y - z) = 3x \cdot 2y - 3x \cdot z = 6xy - 3xz$.

Ответ: $6xy - 3xz$.

272 Раскройте скобки:

а) $a + (b - c + d);$

б) $a - (b - c - d);$

в) $a - (b + c + d);$

г) $a + (b + c - d);$

д) $(a - b) + (c - d);$

е) $(x + y) - (z + t);$

ж) $(m - n) - (k - t);$

з) $(t + s) + (-p - m).$

а) Чтобы раскрыть скобки, перед которыми стоит знак «+», нужно убрать эти скобки и стоящий перед ними знак «+», а все слагаемые в скобках оставить с их знаками.
$a + (b - c + d) = a + b - c + d$
Ответ: $a + b - c + d$.

б) Чтобы раскрыть скобки, перед которыми стоит знак «-», нужно убрать эти скобки и стоящий перед ними знак «-», а все слагаемые в скобках заменить на противоположные по знаку.
$a - (b - c - d) = a - b - (-c) - (-d) = a - b + c + d$
Ответ: $a - b + c + d$.

в) Перед скобками стоит знак «-», поэтому при раскрытии скобок знаки всех слагаемых внутри них меняются на противоположные.
$a - (b + c + d) = a - b - c - d$
Ответ: $a - b - c - d$.

г) Перед скобками стоит знак «+», поэтому при раскрытии скобок знаки всех слагаемых внутри них сохраняются.
$a + (b + c - d) = a + b + c - d$
Ответ: $a + b + c - d$.

д) В данном выражении двое скобок. Перед первыми скобками нет знака, что равносильно знаку «+». Перед вторыми скобками также стоит знак «+». Следовательно, мы можем просто убрать обе пары скобок, сохранив знаки всех слагаемых.
$(a - b) + (c - d) = a - b + c - d$
Ответ: $a - b + c - d$.

е) Перед первыми скобками нет знака, поэтому мы их просто убираем. Перед вторыми скобками стоит знак «-», поэтому знаки слагаемых $z$ и $t$ меняются на противоположные.
$(x + y) - (z + t) = x + y - z - t$
Ответ: $x + y - z - t$.

ж) Убираем первые скобки, так как перед ними нет знака. Раскрываем вторые скобки, меняя знаки слагаемых $k$ и $-t$ на противоположные, так как перед скобками стоит знак «-».
$(m - n) - (k - t) = m - n - k + t$
Ответ: $m - n - k + t$.

з) Перед обеими скобками по сути стоит знак «+» (отсутствие знака перед первыми скобками и явный «+» перед вторыми). Поэтому мы просто убираем скобки, сохраняя все знаки.
$(t + s) + (-p - m) = t + s - p - m$
Ответ: $t + s - p - m$.