Страница 85 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

269 Подставьте в выражение $ab$ вместо переменных $a$ и $b$ указанные выражения и выполните преобразования:

а) $a = 3xy, b = -2xy;$

б) $a = -0,1x, b = 20xz.$

а)

Даны выражения $a = 3xy$ и $b = -2xy$.

Нужно найти произведение $ab$. Для этого подставим данные выражения вместо $a$ и $b$:

$ab = (3xy) \cdot (-2xy)$

Чтобы упростить это выражение, мы перемножаем числовые коэффициенты и соответствующие переменные отдельно, используя свойство степеней $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$:

$ab = (3 \cdot (-2)) \cdot (x \cdot x) \cdot (y \cdot y)$

Выполним умножение:

$3 \cdot (-2) = -6$

$x \cdot x = x^{1+1} = x^2$

$y \cdot y = y^{1+1} = y^2$

Соберем все вместе:

$ab = -6x^2y^2$

Ответ: $-6x^2y^2$

б)

Даны выражения $a = -0.1x$ и $b = 20xz$.

Подставим эти выражения в произведение $ab$:

$ab = (-0.1x) \cdot (20xz)$

Сгруппируем и перемножим числовые коэффициенты и переменные по отдельности:

$ab = (-0.1 \cdot 20) \cdot (x \cdot x) \cdot z$

Выполним умножение:

$-0.1 \cdot 20 = -2$

$x \cdot x = x^{1+1} = x^2$

Переменная $z$ остается без изменений.

Соберем все вместе:

$ab = -2x^2z$

Ответ: $-2x^2z$

270 Подставьте в каждое из выражений $2x$, $x^2$, $x^3$ вместо переменной $x$ выражение $-y$ и упростите получившееся выражение.

Для решения задачи необходимо в каждое из заданных выражений ($2x$, $x^2$, $x^3$) подставить вместо переменной $x$ выражение $-y$ и затем выполнить упрощение.

2x

Подставим в выражение $2x$ значение $x = -y$:
$2 \cdot (-y)$
Произведение положительного и отрицательного числа есть число отрицательное. Таким образом, упрощаем выражение:
$2 \cdot (-y) = -2y$

Ответ: $-2y$

x²

Подставим в выражение $x^2$ значение $x = -y$. Важно использовать скобки, чтобы показать, что в квадрат возводится всё выражение $-y$:
$(-y)^2$
Возведение в квадрат означает умножение выражения на само себя. Произведение двух отрицательных чисел является положительным:
$(-y)^2 = (-y) \cdot (-y) = y^2$

Ответ: $y^2$

x³

Подставим в выражение $x^3$ значение $x = -y$ (также используем скобки):
$(-y)^3$
Возведение в куб — это троекратное умножение выражения на само себя. Результат будет отрицательным, так как степень нечетная:
$(-y)^3 = (-y) \cdot (-y) \cdot (-y) = (y^2) \cdot (-y) = -y^3$

Ответ: $-y^3$

271 Составьте формулу для вычисления площади S фигуры (рис. 3.7, а, б).

a) $S = ab - 3cd$

б) $S = ba - 3dc$

а) Площадь данной фигуры можно найти, вычтя из площади большого прямоугольника, в который вписана фигура, площадь "вырезанной" части. Большой прямоугольник имеет стороны a и b. Его площадь равна $S_{прямоугольника} = ab$. Вырезанная часть в правом верхнем углу состоит из двух ступенек. Чтобы "достроить" фигуру до полного прямоугольника, нужно добавить два прямоугольника.
1. Первый добавляемый прямоугольник (соответствующий нижней ступеньке) будет иметь ширину d и высоту c. Его площадь $S_1 = cd$.
2. Второй добавляемый прямоугольник (соответствующий верхней ступеньке) будет иметь общую ширину от правого края $d+d=2d$ и высоту c. Его площадь $S_2 = 2cd$.
Суммарная площадь вырезанной части равна $S_{вырезанной} = S_1 + S_2 = cd + 2cd = 3cd$. Таким образом, площадь исходной фигуры $S$ равна разности площадей большого прямоугольника и вырезанной части: $S = S_{прямоугольника} - S_{вырезанной} = ab - 3cd$.
Ответ: $S = ab - 3cd$

б) Аналогично пункту а), найдем площадь фигуры как разность площадей большого прямоугольника и вырезанной "лесенки". Большой прямоугольник имеет стороны a и b. Его площадь равна $S_{прямоугольника} = ab$. Вырезанная часть состоит из трех ступенек. Чтобы "достроить" фигуру до полного прямоугольника, нужно добавить три прямоугольника.
1. Прямоугольник, добавляемый к самой нижней ступеньке, имеет ширину c и высоту d. Его площадь $S_1 = cd$.
2. Прямоугольник, добавляемый к средней ступеньке, имеет общую ширину от правого края $c+c=2c$ и высоту d. Его площадь $S_2 = 2cd$.
3. Прямоугольник, добавляемый к самой верхней ступеньке, имеет общую ширину от правого края $c+c+c=3c$ и высоту d. Его площадь $S_3 = 3cd$.
Суммарная площадь вырезанной части равна $S_{вырезанной} = S_1 + S_2 + S_3 = cd + 2cd + 3cd = 6cd$. Площадь исходной фигуры $S$ равна: $S = S_{прямоугольника} - S_{вырезанной} = ab - 6cd$.
Ответ: $S = ab - 6cd$