Страница 82 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

248 Замените выражение равным, не содержащим скобок:

а) $a + (-b)$;

б) $a - (-b)$;

в) $-c + (-a)$;

г) $-x - (-y)$;

д) $a - (-b) + (-c)$;

е) $-x + (-y) + (-z) - d$;

ж) $a - c - (-b) - (-d)$;

з) $a - (-x) + (-y) - (-c).

Подсказка. Знак «−» перед скобкой означает вычитание; замените вычитание сложением.

а) Для раскрытия скобок используется правило: если перед скобкой стоит знак «+», то при раскрытии скобок знаки слагаемых внутри них не меняются.
$a + (-b) = a - b$
Ответ: $a - b$

б) Если перед скобкой стоит знак «-», то при раскрытии скобок знаки слагаемых внутри них меняются на противоположные.
$a - (-b) = a + b$
Ответ: $a + b$

в) Знак «+» перед скобкой не меняет знак слагаемого, заключенного в скобки.
$-c + (-a) = -c - a$
Ответ: $-c - a$

г) Знак «-» перед скобкой меняет знак слагаемого внутри скобки на противоположный.
$-x - (-y) = -x + y$
Ответ: $-x + y$

д) Раскрываем скобки последовательно. Знак «-» перед $(-b)$ меняет его знак на «+». Знак «+» перед $(-c)$ не меняет его знак.
$a - (-b) + (-c) = a + b - c$
Ответ: $a + b - c$

е) Знак «+» перед скобками не меняет знаки слагаемых внутри них. Слагаемое $-d$ уже находится вне скобок.
$-x + (-y) + (-z) - d = -x - y - z - d$
Ответ: $-x - y - z - d$

ж) Раскрываем скобки последовательно. Знак «-» перед $(-b)$ и перед $(-d)$ меняет их знаки на противоположные.
$a - c - (-b) - (-d) = a - c + b + d$
Ответ: $a - c + b + d$

з) Раскрываем скобки. Знак «-» перед $(-x)$ и $(-c)$ меняет их знаки на «+». Знак «+» перед $(-y)$ оставляет его знак без изменений.
$a - (-x) + (-y) - (-c) = a + x - y + c$
Ответ: $a + x - y + c$

249 Преобразуйте выражение в равное, изменив каким-либо способом порядок слагаемых:

а) $a + b + c;$

б) $-x + y - z;$

в) $x - a - c + d;$

г) $7 + 2a - 5c;$

д) $b - 3d + 10;$

е) $-5m + 3n - 1.$

а) Исходное выражение: $a + b + c$. Слагаемыми в этом выражении являются $a$, $b$ и $c$. Согласно переместительному (коммутативному) закону сложения, от перемены мест слагаемых значение суммы не изменяется. Мы можем поменять порядок слагаемых любым образом. Например, поменяем местами $a$ и $b$.
$a + b + c = b + a + c$.
Другой вариант: поменяем местами все слагаемые.
$a + b + c = c + b + a$.
Ответ: $b + c + a$

б) Исходное выражение: $-x + y - z$. Это выражение можно представить как сумму слагаемых: $(-x) + y + (-z)$. Слагаемыми являются $-x$, $y$ и $-z$. Применяя переместительный закон сложения, мы можем переставить эти слагаемые. Важно помнить, что знак (плюс или минус) является неотъемлемой частью слагаемого. Поставим на первое место слагаемое $y$.
$-x + y - z = y - x - z$.
Ответ: $y - x - z$

в) Исходное выражение: $x - a - c + d$. Слагаемыми в данном выражении являются $x$, $-a$, $-c$ и $d$. Переместительный закон сложения позволяет нам менять их порядок. Для удобства можно сгруппировать сначала положительные слагаемые, а затем отрицательные.
$x - a - c + d = x + d - a - c$.
Ответ: $x + d - a - c$

г) Исходное выражение: $7 + 2a - 5c$. Слагаемыми являются $7$, $2a$ и $-5c$. Переставим слагаемые, например, в порядке убывания степени переменной, а свободный член (число) поставим в конце. Это стандартная форма записи многочленов.
$7 + 2a - 5c = 2a - 5c + 7$.
Ответ: $2a - 5c + 7$

д) Исходное выражение: $b - 3d + 10$. Слагаемыми являются $b$, $-3d$ и $10$. Мы можем переставить их в любом порядке, сохраняя знаки. Например, поставим число $10$ на первое место.
$b - 3d + 10 = 10 + b - 3d$.
Ответ: $10 + b - 3d$

е) Исходное выражение: $-5m + 3n - 1$. Слагаемыми являются $-5m$, $3n$ и $-1$. Поменяем порядок слагаемых, чтобы выражение начиналось с положительного члена, что часто упрощает восприятие.
$-5m + 3n - 1 = 3n - 5m - 1$.
Ответ: $3n - 5m - 1$

250 ВЕРНО ИЛИ НЕВЕРНО

В каком случае преобразование выражения $a-b+c-d$ выполнено неверно?

1) $a-b+c-d=a+c-b-d$

2) $a-b+c-d=a-d+c-b$

3) $a-b+c-d=-b+a-d+c$

4) $a-b+c-d=b-a-d+c$

Чтобы определить, в каком случае преобразование выражения $a - b + c - d$ выполнено неверно, необходимо проанализировать каждое равенство. Исходное выражение представляет собой сумму четырех слагаемых: $+a$, $-b$, $+c$ и $-d$. При перестановке слагаемых их знаки должны сохраняться.

1) $a - b + c - d = a + c - b - d$

В правой части равенства находятся слагаемые: $a$, $+c$, $-b$, $-d$. Сравнивая их с исходными слагаемыми ($+a, -b, +c, -d$), мы видим, что все слагаемые и их знаки сохранены. Произошла лишь перестановка слагаемых, что является верным преобразованием (согласно переместительному свойству сложения).
Ответ: верно.

2) $a - b + c - d = a - d + c - b$

В правой части равенства находятся слагаемые: $a$, $-d$, $+c$, $-b$. Все слагаемые и их знаки соответствуют исходному выражению. Преобразование выполнено верно.
Ответ: верно.

3) $a - b + c - d = -b + a - d + c$

В правой части равенства находятся слагаемые: $-b$, $+a$, $-d$, $+c$. Все слагаемые и их знаки соответствуют исходному выражению. Преобразование выполнено верно.
Ответ: верно.

4) $a - b + c - d = b - a - d + c$

В правой части равенства находятся слагаемые: $b$, $-a$, $-d$, $+c$. Сравним их с исходными:

• в исходном выражении слагаемое $a$ со знаком плюс ($+a$), а в новом — со знаком минус ($-a$);
• в исходном выражении слагаемое $b$ со знаком минус ($-b$), а в новом — со знаком плюс ($+b$).

Знаки у слагаемых $a$ и $b$ были изменены на противоположные, что делает преобразование неверным.
Для проверки можно подставить числовые значения. Пусть $a=4, b=3, c=2, d=1$.
Левая часть: $4 - 3 + 2 - 1 = 1 + 2 - 1 = 2$.
Правая часть: $3 - 4 - 1 + 2 = -1 - 1 + 2 = 0$.
Поскольку $2 \neq 0$, равенство неверно.
Ответ: неверно.

251 Для каждого выражения из первой строки найдите равное ему выражение из второй строки.

А) $m + m + m$

Б) $m + m + m + m + m$

В) $mmm$

Г) $mmmmm$

1) $m + 5$

2) $m^3$

3) $5m$

4) $m^5$

5) $m + 3$

6) $3m$

Для решения этой задачи необходимо сопоставить каждое алгебраическое выражение из первой строки с равным ему выражением из второй строки, используя основные правила алгебры: сложение одинаковых членов и умножение одинаковых множителей.

Выражение $m + m + m$ представляет собой сумму трех одинаковых слагаемых. Сложение одинаковых слагаемых можно заменить умножением. В данном случае, мы складываем переменную $m$ три раза, что эквивалентно умножению $m$ на 3.

Формула: $m + m + m = 3 \times m = 3m$.

В второй строке этому выражению соответствует выражение под номером 6).

Ответ: 6

Выражение $m + m + m + m + m$ представляет собой сумму пяти одинаковых слагаемых. По аналогии с предыдущим пунктом, это можно записать как произведение переменной $m$ на 5.

Формула: $m + m + m + m + m = 5 \times m = 5m$.

В второй строке этому выражению соответствует выражение под номером 3).

Ответ: 3

Выражение $mmm$ означает произведение трех одинаковых множителей, то есть $m \times m \times m$. В алгебре произведение одинаковых множителей записывается в виде степени, где основание — это сам множитель, а показатель степени — количество множителей.

Формула: $mmm = m \times m \times m = m^3$.

В второй строке этому выражению соответствует выражение под номером 2).

Ответ: 2

Выражение $mmmmm$ означает произведение пяти одинаковых множителей: $m \times m \times m \times m \times m$. Аналогично предыдущему пункту, это выражение можно записать в виде степени с основанием $m$ и показателем 5.

Формула: $mmmmm = m \times m \times m \times m \times m = m^5$.

В второй строке этому выражению соответствует выражение под номером 4).

Ответ: 4

252 Чему равен периметр фигуры, изображённой на рисунке 3.5, а, б?

а) б) Рис. 3.5

а)

Периметр фигуры — это сумма длин всех её сторон. Для фигуры, изображенной на рисунке а), мы можем найти периметр, сложив длины всех отрезков, образующих её границу.

Фигура имеет следующие стороны:

• Четыре стороны длиной $a$ (две горизонтальные — верхняя и нижняя, и две вертикальные — левая и правая).
• Восемь сторон длиной $b$ (по две стороны в каждом из четырёх угловых вырезов).

Суммируем длины всех сторон, чтобы найти периметр $P_a$:

$P_a = a + a + a + a + b + b + b + b + b + b + b + b$

После приведения подобных слагаемых получаем:

$P_a = 4a + 8b$

Ответ: $4a + 8b$.

б)

Аналогично, для нахождения периметра фигуры на рисунке б), необходимо сложить длины всех её сторон. Для удобства сгруппируем стороны на горизонтальные и вертикальные.

Горизонтальные стороны:

• Две верхние горизонтальные стороны (на "ножках" буквы Н), каждая длиной $a$.
• Две нижние горизонтальные стороны, каждая длиной $a$.
• Горизонтальная сторона верхнего внутреннего выреза длиной $a$.
• Горизонтальная сторона нижнего внутреннего выреза длиной $a$.

Сумма длин всех горизонтальных сторон: $a + a + a + a + a + a = 6a$.

Вертикальные стороны:

• Левая внешняя вертикальная сторона длиной $a$.
• Правая внешняя вертикальная сторона длиной $c$.
• Четыре вертикальные стороны в двух внутренних вырезах, каждая длиной $b$. Их общая длина составляет $4b$.

Сумма длин всех вертикальных сторон: $a + c + 4b$.

Общий периметр $P_б$ равен сумме длин всех горизонтальных и вертикальных сторон:

$P_б = (6a) + (a + c + 4b) = 7a + 4b + c$

Ответ: $7a + 4b + c$.

253 Из проволоки нужно согнуть каркас прямоугольного параллелепипеда (рис. 3.6, а, б). Составьте выражение для вычисления длины проволоки, которая для этого потребуется.

а) $L = 12x$

б) $L = 8x + 4y$

Рис. 3.6

а)

На рисунке а изображен каркас куба. Куб — это прямоугольный параллелепипед, у которого все три измерения (длина, ширина и высота) равны. В данном случае длина каждого ребра равна x. У куба 12 ребер. Так как все ребра равны, для нахождения общей длины проволоки необходимо умножить количество ребер на длину одного ребра. Выражение для вычисления длины проволоки L будет следующим: $L = 12 \cdot x = 12x$.

Ответ: $12x$

б)

На рисунке б изображен каркас прямоугольного параллелепипеда, у которого два измерения (длина и ширина основания) равны x, а третье измерение (высота) равно y. У прямоугольного параллелепипеда 12 ребер. Они сгруппированы по 4 ребра одинаковой длины. В данном каркасе:

• 4 ребра нижнего основания имеют длину x.
• 4 ребра верхнего основания имеют длину x.
• 4 боковых (вертикальных) ребра имеют длину y.

Следовательно, у нас есть $4 + 4 = 8$ ребер длиной x и 4 ребра длиной y. Общая длина проволоки L равна сумме длин всех ребер: $L = 8 \cdot x + 4 \cdot y = 8x + 4y$. Это выражение можно также получить по общей формуле суммы длин всех ребер параллелепипеда $L = 4(a+b+c)$, где a, b, c – его измерения: $L = 4(x + x + y) = 4(2x + y) = 8x + 4y$.

Ответ: $8x + 4y$