Страница 76 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

229 РАССУЖДАЕМ С помощью какого приёма удобно найти значение данного выражения? Запишите соответствующую цепочку числовых равенств, а потом опишите используемый приём с помощью букв:

a) $256 + 98$;

б) $138 + 106$;

в) $87 - 49$;

г) $94 - 61$.

Для нахождения значений данных выражений удобно использовать приём округления одного из чисел до ближайшего круглого числа (оканчивающегося на 0) с последующей коррекцией.

а) В выражении $256 + 98$ удобно округлить второе слагаемое 98 до 100. Для этого представим 98 в виде разности $100 - 2$.
Цепочка числовых равенств:
$256 + 98 = 256 + (100 - 2) = (256 + 100) - 2 = 356 - 2 = 354$.
Этот приём основан на правиле прибавления к числу разности, которое в общем виде записывается так: $a + (b - c) = (a + b) - c$.
Ответ: 354.

б) В выражении $138 + 106$ удобно представить второе слагаемое 106 в виде суммы $100 + 6$.
Цепочка числовых равенств:
$138 + 106 = 138 + (100 + 6) = (138 + 100) + 6 = 238 + 6 = 244$.
Этот приём основан на сочетательном свойстве сложения, которое в общем виде записывается так: $a + (b + c) = (a + b) + c$.
Ответ: 244.

в) В выражении $87 - 49$ удобно округлить вычитаемое 49 до 50. Для этого представим 49 в виде разности $50 - 1$.
Цепочка числовых равенств:
$87 - 49 = 87 - (50 - 1) = 87 - 50 + 1 = 37 + 1 = 38$.
Этот приём основан на правиле вычитания разности из числа, которое в общем виде записывается так: $a - (b - c) = a - b + c$.
Ответ: 38.

г) В выражении $94 - 61$ удобно представить вычитаемое 61 в виде суммы $60 + 1$.
Цепочка числовых равенств:
$94 - 61 = 94 - (60 + 1) = 94 - 60 - 1 = 34 - 1 = 33$.
Этот приём основан на правиле вычитания суммы из числа, которое в общем виде записывается так: $a - (b + c) = a - b - c$.
Ответ: 33.

230 РАБОТАЕМ С СИМВОЛАМИ Подберите соответствующее буквенное равенство из предыдущего упражнения и, используя его, запишите без скобок следующее выражение:

а) $x - (y - z)$;

б) $y + (a - c)$;

в) $m + (p + n)$;

г) $r - (s + t)$.

а) Для раскрытия скобок в выражении $x - (y - z)$ используется правило вычитания разности из числа. Соответствующее буквенное равенство из свойств вычитания: $a - (b - c) = a - b + c$. Это правило гласит: чтобы вычесть разность из числа, можно вычесть из этого числа уменьшаемое и затем прибавить вычитаемое. Перед скобкой стоит знак «минус», поэтому при раскрытии скобок знаки внутри меняются на противоположные.
Применяя это правило, получаем:
$x - (y - z) = x - y + z$
Ответ: $x - y + z$

б) Для раскрытия скобок в выражении $y + (a - c)$ используется правило сложения числа с разностью. Соответствующее буквенное равенство: $k + (b - c) = k + b - c$. Это правило гласит: чтобы прибавить к числу разность, можно прибавить к этому числу уменьшаемое и затем вычесть вычитаемое. Перед скобкой стоит знак «плюс», поэтому при раскрытии скобок знаки внутри не меняются.
Применяя это правило, получаем:
$y + (a - c) = y + a - c$
Ответ: $y + a - c$

в) Для раскрытия скобок в выражении $m + (p + n)$ используется правило прибавления суммы к числу, которое является сочетательным свойством сложения. Соответствующее буквенное равенство: $a + (b + c) = a + b + c$. Перед скобкой стоит знак «плюс», поэтому при раскрытии скобок знаки слагаемых в скобках сохраняются.
Применяя это правило, получаем:
$m + (p + n) = m + p + n$
Ответ: $m + p + n$

г) Для раскрытия скобок в выражении $r - (s + t)$ используется правило вычитания суммы из числа. Соответствующее буквенное равенство: $a - (b + c) = a - b - c$. Это правило гласит: чтобы вычесть сумму из числа, нужно из этого числа вычесть каждое слагаемое. Перед скобкой стоит знак «минус», поэтому при раскрытии скобок знаки всех слагаемых внутри меняются на противоположные.
Применяя это правило, получаем:
$r - (s + t) = r - s - t$
Ответ: $r - s - t$

231 Рассмотрите рисунок 3.1, а. Для вычисления площади прямоугольника, изображённого на этом рисунке, можно составить выражение $a(b + c)$ или выражение $ab + ac$. Числовое значение будет одно и то же: $a(b + c) = ab + ac$.

а) b c

a ab ac

б) c

d ?

b

Рис. 3.1

Составьте два разных выражения для вычисления площади заштрихованной части прямоугольника на рисунке 3.1, б и запишите соответствующее равенство.

Для того чтобы составить два разных выражения для вычисления площади заштрихованной части прямоугольника на рисунке 3.1, б, можно рассуждать двумя способами.

Первый способ:
Можно рассматривать заштрихованную фигуру как отдельный прямоугольник.
Одна его сторона (высота) нам известна, она равна $d$.
Вторую сторону (ширину) можно найти, вычтя из общей ширины $b$ ширину незаштрихованной части $c$. Таким образом, ширина заштрихованного прямоугольника равна $b - c$.
Площадь прямоугольника равна произведению его сторон. Следовательно, первое выражение для площади заштрихованной части будет: $d(b - c)$.

Второй способ:
Можно найти площадь всей большой фигуры и вычесть из неё площадь незаштрихованной части.
Площадь всего большого прямоугольника со сторонами $d$ и $b$ равна $db$.
Площадь незаштрихованного прямоугольника со сторонами $d$ и $c$ равна $dc$.
Чтобы найти площадь заштрихованной части, нужно из площади большого прямоугольника вычесть площадь незаштрихованного. Таким образом, второе выражение для площади будет: $db - dc$.

Поскольку оба выражения описывают площадь одной и той же фигуры, их можно приравнять, получив следующее равенство, которое иллюстрирует распределительное свойство умножения относительно вычитания.

Ответ: Два выражения для площади заштрихованной части: $d(b - c)$ и $db - dc$. Соответствующее равенство: $d(b - c) = db - dc$.

232 В магазине продаются орехи, расфасованные в пакеты по $x$ граммов. Продали $a$ пакетов с грецкими орехами, $b$ пакетов с арахисом и $c$ пакетов с фундуком. Составьте различные выражения для вычисления общей массы проданных орехов и запишите соответствующие равенства.

$ax + bx + cx$

$(a+b+c)x$

$ax + bx + cx = (a+b+c)x$

Для вычисления общей массы проданных орехов можно составить различные выражения, основываясь на двух логических подходах.

Первый способ: найти массу каждой группы орехов отдельно и сложить.
Мы знаем, что каждый пакет весит $x$ граммов. Чтобы найти массу орехов каждого вида, нужно количество пакетов умножить на массу одного пакета.

• Масса $a$ пакетов с грецкими орехами равна $a \cdot x$ граммов.
• Масса $b$ пакетов с арахисом равна $b \cdot x$ граммов.
• Масса $c$ пакетов с фундуком равна $c \cdot x$ граммов.

Общая масса всех проданных орехов будет равна сумме масс орехов каждого вида. Таким образом, мы получаем первое выражение:
$ax + bx + cx$

Второй способ: найти общее количество пакетов и умножить на массу одного пакета.
Сначала найдем, сколько всего пакетов с орехами было продано. Для этого сложим количество пакетов каждого вида:

• Общее количество пакетов: $a + b + c$.

Теперь, зная общее количество пакетов и массу одного пакета ($x$ граммов), мы можем найти общую массу, умножив эти два значения. Так мы получаем второе выражение:
$(a + b + c)x$

Запись соответствующего равенства.
Оба выражения, которые мы составили, предназначены для вычисления одной и той же величины — общей массы проданных орехов. Следовательно, эти выражения равны друг другу. Записав их равенство, мы получим математическую иллюстрацию распределительного свойства умножения относительно сложения.

$ax + bx + cx = (a + b + c)x$

Ответ: Различные выражения для вычисления общей массы проданных орехов: $ax + bx + cx$ и $(a + b + c)x$. Соответствующее равенство: $ax + bx + cx = (a + b + c)x$.

233

Ученик записал различные способы вычисления площади прямоугольника (рис. 3.2). Определите, какое из приведённых ниже равенств неверно.

Рис. 3.2

1) $a(b+c+d) = ab+ac+ad$

2) $a(b+c+d) = a(b+c)+ad$

3) $ab+ac+ad = a(b+c)+a(c+d) - ac$

4) $ab+ac+ad = a(b+c)+a(c+d)$

Для решения задачи проанализируем каждый из предложенных вариантов, используя геометрическое представление площади прямоугольника и алгебраические преобразования. Площадь всего прямоугольника на рисунке 3.2 можно вычислить как произведение его высоты $a$ на сумму длин его частей $b, c, d$. Таким образом, общая площадь $S$ равна $S = a(b+c+d)$. Также площадь можно найти, сложив площади трех меньших прямоугольников: $S = ab + ac + ad$.

1) $a(b+c+d) = ab+ac+ad$

Это равенство является верным. Оно представляет собой распределительный закон умножения относительно сложения. Левая часть $a(b+c+d)$ — это площадь всего прямоугольника, вычисленная как произведение его сторон. Правая часть $ab+ac+ad$ — это сумма площадей трех составляющих его меньших прямоугольников. Геометрически и алгебраически это тождество.
Ответ: верно.

2) $a(b+c+d) = a(b+c)+ad$

Это равенство также является верным. Здесь общая площадь в левой части приравнивается к сумме площадей в правой части. Правая часть состоит из двух слагаемых: $a(b+c)$ — это площадь прямоугольника, образованного первыми двумя частями (с высотой $a$ и общей длиной $b+c$), и $ad$ — это площадь третьего прямоугольника. Сумма этих площадей, очевидно, равна общей площади всего прямоугольника. Алгебраически: $a(b+c)+ad = ab+ac+ad$.
Ответ: верно.

3) $ab+ac+ad = a(b+c)+a(c+d)-ac$

Это равенство также верное. Левая часть $ab+ac+ad$ — это общая площадь. Рассмотрим правую часть. Выражение $a(b+c)$ — это площадь первых двух прямоугольников ($ab+ac$). Выражение $a(c+d)$ — это площадь второго и третьего прямоугольников ($ac+ad$). При их сложении площадь среднего прямоугольника ($ac$) учитывается дважды. Поэтому для получения правильной общей площади из их суммы нужно вычесть лишнюю площадь $ac$.
$a(b+c)+a(c+d)-ac = (ab+ac)+(ac+ad)-ac = ab+2ac+ad-ac = ab+ac+ad$.
Правая часть тождественно равна левой.
Ответ: верно.

4) $ab+ac+ad = a(b+c)+a(c+d)$

Это равенство **неверно**. Как мы установили при анализе пункта 3, правая часть этого равенства равна $a(b+c)+a(c+d) = ab+2ac+ad$. Тогда равенство принимает вид:
$ab+ac+ad = ab+2ac+ad$
Вычтем из обеих частей $ab+ad$:
$ac = 2ac$
Это равенство выполняется только при условии, что $ac=0$, то есть либо $a=0$, либо $c=0$. Однако на рисунке изображен прямоугольник с ненулевыми сторонами, поэтому в общем случае это равенство неверно.
Ответ: неверно.

Таким образом, неверным является равенство, приведённое в пункте 4.