Номер 233, страница 76 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 3.1. Буквенная запись свойств действий над числами. Глава 3. Введение в алгебру - номер 233, страница 76.

233

ВЕРНО ИЛИ НЕВЕРНО

Ученик записал различные способы вычисления площади прямоугольника (рис. 3.2). Определите, какое из приведённых ниже равенств неверно.

Рис. 3.2

1) $a(b+c+d) = ab+ac+ad$

2) $a(b+c+d) = a(b+c)+ad$

3) $ab+ac+ad = a(b+c)+a(c+d) - ac$

4) $ab+ac+ad = a(b+c)+a(c+d)$

Для решения задачи проанализируем каждый из предложенных вариантов, используя геометрическое представление площади прямоугольника и алгебраические преобразования. Площадь всего прямоугольника на рисунке 3.2 можно вычислить как произведение его высоты $a$ на сумму длин его частей $b, c, d$. Таким образом, общая площадь $S$ равна $S = a(b+c+d)$. Также площадь можно найти, сложив площади трех меньших прямоугольников: $S = ab + ac + ad$.

1) $a(b+c+d) = ab+ac+ad$

Это равенство является верным. Оно представляет собой распределительный закон умножения относительно сложения. Левая часть $a(b+c+d)$ — это площадь всего прямоугольника, вычисленная как произведение его сторон. Правая часть $ab+ac+ad$ — это сумма площадей трех составляющих его меньших прямоугольников. Геометрически и алгебраически это тождество.
Ответ: верно.

2) $a(b+c+d) = a(b+c)+ad$

Это равенство также является верным. Здесь общая площадь в левой части приравнивается к сумме площадей в правой части. Правая часть состоит из двух слагаемых: $a(b+c)$ — это площадь прямоугольника, образованного первыми двумя частями (с высотой $a$ и общей длиной $b+c$), и $ad$ — это площадь третьего прямоугольника. Сумма этих площадей, очевидно, равна общей площади всего прямоугольника. Алгебраически: $a(b+c)+ad = ab+ac+ad$.
Ответ: верно.

3) $ab+ac+ad = a(b+c)+a(c+d)-ac$

Это равенство также верное. Левая часть $ab+ac+ad$ — это общая площадь. Рассмотрим правую часть. Выражение $a(b+c)$ — это площадь первых двух прямоугольников ($ab+ac$). Выражение $a(c+d)$ — это площадь второго и третьего прямоугольников ($ac+ad$). При их сложении площадь среднего прямоугольника ($ac$) учитывается дважды. Поэтому для получения правильной общей площади из их суммы нужно вычесть лишнюю площадь $ac$.
$a(b+c)+a(c+d)-ac = (ab+ac)+(ac+ad)-ac = ab+2ac+ad-ac = ab+ac+ad$.
Правая часть тождественно равна левой.
Ответ: верно.

4) $ab+ac+ad = a(b+c)+a(c+d)$

Это равенство **неверно**. Как мы установили при анализе пункта 3, правая часть этого равенства равна $a(b+c)+a(c+d) = ab+2ac+ad$. Тогда равенство принимает вид:
$ab+ac+ad = ab+2ac+ad$
Вычтем из обеих частей $ab+ad$:
$ac = 2ac$
Это равенство выполняется только при условии, что $ac=0$, то есть либо $a=0$, либо $c=0$. Однако на рисунке изображен прямоугольник с ненулевыми сторонами, поэтому в общем случае это равенство неверно.
Ответ: неверно.

Таким образом, неверным является равенство, приведённое в пункте 4.