Страница 70 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

228 Отрезок $AB$, длина которого $7 \text{ см}$ (рис. 2.11), разделён точками $K, M$ и $P$ на 4 части в отношении $3 : 5 : 4 : 2$. На сколько сантиметров длина отрезка $AP$ больше длины отрезка $KB$?

Рис. 2.11

Для решения задачи сначала найдем общее количество условных частей, на которые разделен отрезок AB. Согласно отношению $3:5:4:2$, общее число частей равно:$3 + 5 + 4 + 2 = 14$ (частей).

Общая длина отрезка AB составляет 7 см. Найдем, какая длина приходится на одну условную часть, разделив общую длину на количество частей:$7 \text{ см} \div 14 = 0.5 \text{ см}$.Таким образом, одна условная часть равна 0,5 см.

Отрезок AB разделен точками K, M и P на отрезки AK, KM, MP и PB.Длина отрезка AP складывается из длин отрезков AK, KM и MP. В условных частях это составляет:$3 + 5 + 4 = 12$ (частей).Следовательно, длина отрезка AP равна:$12 \times 0.5 \text{ см} = 6 \text{ см}$.

Длина отрезка KB складывается из длин отрезков KM, MP и PB. В условных частях это составляет:$5 + 4 + 2 = 11$ (частей).Следовательно, длина отрезка KB равна:$11 \times 0.5 \text{ см} = 5.5 \text{ см}$.

Теперь найдем, на сколько сантиметров длина отрезка AP больше длины отрезка KB, вычислив их разность:$AP - KB = 6 \text{ см} - 5.5 \text{ см} = 0.5 \text{ см}$.

Ответ: на 0,5 см.

1 Какие величины называют прямо пропорциональными? Приведите примеры прямо пропорциональных величин. Запишите общую формулу прямо пропорциональной зависимости. $y = kx$

Какие величины называют прямо пропорциональными?

Две величины называют прямо пропорциональными, если при увеличении (или уменьшении) одной из них в несколько раз, другая увеличивается (или уменьшается) во столько же раз. Это означает, что отношение соответствующих значений этих величин является постоянным числом. Это постоянное число называют коэффициентом пропорциональности.

Ответ: Прямо пропорциональными называют величины, отношение которых постоянно.

Приведите примеры прямо пропорциональных величин.

Примерами прямо пропорциональных величин могут служить:

• Стоимость товара и его количество при постоянной цене. Например, чем больше килограммов яблок вы покупаете, тем больше будет итоговая стоимость.
• Расстояние, пройденное объектом, и время его движения при постоянной скорости. Если автомобиль едет с постоянной скоростью, то за вдвое большее время он проедет вдвое большее расстояние.
• Периметр квадрата и длина его стороны. При увеличении длины стороны квадрата его периметр увеличивается во столько же раз.

Ответ: Стоимость и количество товара; расстояние и время при постоянной скорости; периметр квадрата и его сторона.

Запишите общую формулу прямо пропорциональной зависимости.

Если величина $y$ прямо пропорциональна величине $x$, то их зависимость можно выразить с помощью формулы. Отношение $y$ к $x$ равно постоянному числу $k$, которое является коэффициентом пропорциональности ($k \neq 0$).

Формула имеет вид: $y = kx$

Здесь $y$ и $x$ – это зависимые переменные, а $k$ – постоянный коэффициент пропорциональности.

Ответ: $y = kx$, где $k$ – постоянное число, не равное нулю.

2 Сформулируйте свойство прямо пропорциональных величин. Для зависимости пути от времени движения, рассмотренной в объяснительном тексте п. 2.2, назовите переменные величины, постоянную величину. Чему равно отношение соответственных значений пропорциональных величин? Чему равен коэффициент пропорциональности?

Свойство прямо пропорциональных величин
Две величины называют прямо пропорциональными, если при увеличении (или уменьшении) одной из них в несколько раз, другая величина увеличивается (или уменьшается) во столько же раз. Основное свойство таких величин заключается в том, что отношение любого значения одной величины к соответствующему значению другой величины является постоянным числом. Это число называют коэффициентом пропорциональности. Если величины $y$ и $x$ прямо пропорциональны, их связь можно выразить формулой $y = kx$, где $k$ — коэффициент пропорциональности ($k \neq 0$).
Ответ: Отношение соответственных значений прямо пропорциональных величин есть постоянная величина (константа).

Переменные и постоянная величины для зависимости пути от времени
Зависимость пути от времени при равномерном движении описывается формулой $s = v \cdot t$. В этой зависимости:
- Переменными величинами являются пройденный путь ($s$) и время движения ($t$). Эти величины изменяются в процессе движения.
- Постоянной величиной является скорость ($v$), так как в рассматриваемом случае движение является равномерным (с постоянной скоростью).
Ответ: Переменные величины — путь ($s$) и время ($t$); постоянная величина — скорость ($v$).

Отношение соответственных значений пропорциональных величин
В рассматриваемой зависимости путь ($s$) и время ($t$) являются прямо пропорциональными величинами. Их отношение можно найти из формулы $s = v \cdot t$, разделив обе части на $t$:
$ \frac{s}{t} = v $
Таким образом, отношение соответственных значений пути и времени равно скорости движения.
Ответ: Отношение соответственных значений пропорциональных величин (пути к времени) равно скорости движения ($v$).

Коэффициент пропорциональности
Коэффициентом пропорциональности ($k$) в общем виде прямой пропорциональности $y = kx$ является множитель при независимой переменной. В формуле зависимости пути от времени $s = v \cdot t$, роль коэффициента пропорциональности выполняет скорость $v$.
Ответ: Коэффициент пропорциональности в данной зависимости равен скорости движения ($v$).

3 Какие величины называют обратно пропорциональными? Приведите примеры обратно пропорциональных величин. Запишите общую формулу обратно пропорциональной зависимости. $y = \frac{k}{x}$

Какие величины называют обратно пропорциональными?

Две величины называют обратно пропорциональными, если при увеличении (или уменьшении) одной из них в несколько раз, другая величина уменьшается (или увеличивается) во столько же раз.
Ключевое свойство обратно пропорциональных величин заключается в том, что их произведение является постоянной величиной (константой). Если величины $x$ и $y$ обратно пропорциональны, то $x \cdot y = k$, где $k$ — постоянное число.

Ответ: Обратно пропорциональными называют такие две величины, произведение соответствующих значений которых постоянно.

Приведите примеры обратно пропорциональных величин.

Вот несколько примеров обратно пропорциональных величин из жизни и математики:

• Скорость и время при постоянном расстоянии. Если расстояние ($S$) фиксировано, то скорость ($v$) и время ($t$) обратно пропорциональны. Чем выше скорость, тем меньше времени потребуется, чтобы преодолеть это расстояние. Их связь выражается формулой $v \cdot t = S$, где $S$ — константа.
• Цена товара и его количество, которое можно купить на определенную сумму денег. Если у вас есть фиксированная сумма денег ($M$), то цена товара ($p$) и количество этого товара ($q$), которое вы можете купить, находятся в обратной пропорциональности. Чем выше цена, тем меньшее количество товара можно приобрести. Их связь: $p \cdot q = M$, где $M$ — константа.
• Количество работников и время выполнения работы. При фиксированном объеме работы ($A$) и одинаковой производительности, количество работников ($N$) и время ($t$), необходимое для ее выполнения, обратно пропорциональны. Увеличение числа рабочих ведет к сокращению времени на выполнение задачи.
• Длина и ширина прямоугольника при постоянной площади. Если площадь прямоугольника ($S_{rect}$) задана и постоянна, то его длина ($a$) и ширина ($b$) являются обратно пропорциональными величинами, так как их произведение должно оставаться неизменным: $a \cdot b = S_{rect}$.

Ответ: Примеры обратно пропорциональных величин: скорость и время при постоянном расстоянии; цена и количество товара при фиксированной сумме денег; число рабочих и время выполнения определенного объема работы.

Запишите общую формулу обратно пропорциональной зависимости.

Если величина $y$ обратно пропорциональна величине $x$, то их зависимость можно выразить с помощью следующей общей формулы:
$y = \frac{k}{x}$
В этой формуле:

• $y$ и $x$ — это взаимозависимые переменные величины.
• $k$ — это коэффициент обратной пропорциональности, который является постоянным числом (константой), не равным нулю ($k \neq 0$).

Эту же зависимость можно записать в виде произведения, что наглядно демонстрирует основное свойство этих величин:
$x \cdot y = k$

Ответ: Общая формула обратно пропорциональной зависимости: $y = \frac{k}{x}$, где $k$ — постоянный коэффициент, отличный от нуля.

4 Сформулируйте свойство обратно пропорциональных величин. Для зависимости времени движения от его скорости, рассмотренной в объяснительном тексте п. 2.2, назовите переменные величины, постоянную величину. Чему равно произведение соответственных значений обратно пропорциональных величин?

Свойство обратно пропорциональных величин

Две величины называют обратно пропорциональными, если при увеличении (или уменьшении) одной из них в несколько раз, другая уменьшается (или увеличивается) во столько же раз. Основное свойство таких величин заключается в том, что произведение их соответственных значений является постоянной величиной. Эту постоянную величину называют коэффициентом обратной пропорциональности ($k$). Если величины $x$ и $y$ обратно пропорциональны, то их связь выражается формулой $y = \frac{k}{x}$.

Ответ: Свойство обратно пропорциональных величин заключается в том, что произведение их соответственных значений постоянно.

Для зависимости времени движения от его скорости

В зависимости времени движения от его скорости, которая описывается формулой $t = \frac{s}{v}$, переменными величинами являются время движения $t$ и скорость $v$. Эти величины изменяются в зависимости друг от друга. Постоянной величиной (константой) является расстояние $s$, которое в рамках данной задачи считается неизменным.

Ответ: Переменные величины — время движения и скорость; постоянная величина — расстояние.

Чему равно произведение соответственных значений обратно пропорциональных величин

Произведение соответственных значений двух обратно пропорциональных величин равно постоянному числу, которое называется коэффициентом обратной пропорциональности. Если величины $x$ и $y$ обратно пропорциональны ($y = \frac{k}{x}$), то их произведение $x \cdot y = k$ всегда равно этому коэффициенту. В рассмотренном примере зависимости времени от скорости, произведение скорости на время равно расстоянию: $v \cdot t = s$. Здесь расстояние $s$ и является коэффициентом пропорциональности.

Ответ: Произведение соответственных значений обратно пропорциональных величин равно коэффициенту пропорциональности, который является постоянной величиной.

5 Дайте определение пропорции. Приведите пример пропорции и назовите её крайние и средние члены.

Пропорция — это равенство двух отношений. Пропорцию можно записать с помощью знака деления $a : b = c : d$ или в виде равенства дробей $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$. Читается данное равенство так: «$a$ относится к $b$ так же, как $c$ относится к $d$».

В качестве примера рассмотрим пропорцию: $15 : 3 = 20 : 4$. Данное равенство является верным, поскольку значение каждого из отношений равно $5$.

Числа, составляющие пропорцию, имеют свои названия. В пропорции $a : b = c : d$ члены, стоящие по краям (то есть $a$ и $d$), называются крайними членами. Члены, находящиеся в середине (то есть $b$ и $c$), называются средними членами.

В приведенном примере $15 : 3 = 20 : 4$ числа $15$ и $4$ являются крайними членами, а числа $3$ и $20$ — средними членами. Ответ:

6 Сформулируйте основное свойство пропорции. Как найти неизвестный член пропорции $ \frac{a}{8}=\frac{5}{4} $?

Сформулируйте основное свойство пропорции.

Пропорция – это равенство двух отношений. В общем виде пропорцию записывают так: $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ или $a:b = c:d$. Члены $a$ и $d$ называют крайними членами пропорции, а члены $b$ и $c$ – средними членами.

Основное свойство пропорции заключается в том, что произведение крайних членов верной пропорции равно произведению ее средних членов. Для пропорции $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ это свойство можно записать в виде формулы: $a \cdot d = b \cdot c$.

Ответ: Произведение крайних членов пропорции равно произведению ее средних членов.

Как найти неизвестный член пропорции $\frac{a}{8} = \frac{5}{4}$?

Чтобы найти неизвестный член пропорции, необходимо воспользоваться ее основным свойством. В данной пропорции $\frac{a}{8} = \frac{5}{4}$ неизвестным является крайний член $a$. Крайними членами являются $a$ и $4$, а средними – $8$ и $5$.

Согласно основному свойству пропорции, произведение крайних членов равно произведению средних:

$a \cdot 4 = 8 \cdot 5$

Из этого равенства, чтобы найти неизвестный крайний член ($a$), нужно произведение средних членов ($8 \cdot 5$) разделить на известный крайний член ($4$):

$a = \frac{8 \cdot 5}{4}$

Выполним вычисления:

$a = \frac{40}{4}$

$a = 10$

Для проверки подставим найденное значение $a$ в исходную пропорцию:

$\frac{10}{8} = \frac{5}{4}$

Сократим дробь в левой части на 2: $\frac{10 \div 2}{8 \div 2} = \frac{5}{4}$. Получаем верное равенство $\frac{5}{4} = \frac{5}{4}$.

Ответ: $a=10$.

7 Придумайте задачу на пропорциональное деление какой-либо величины.

Задача

Для приготовления фруктового салата нужно взять яблоки, груши и бананы в весовом отношении 3:2:1. Сколько граммов каждого фрукта потребуется, чтобы приготовить 900 граммов салата?

Решение

Это задача на пропорциональное деление. Общую массу салата, равную 900 г, необходимо разделить на части пропорционально числам 3, 2 и 1.

1. Найдем общее количество "частей" в салате. Для этого сложим числа из заданного отношения:
$3 + 2 + 1 = 6$ (частей).
Это означает, что общая масса салата состоит из 6 равных частей.

2. Определим, сколько граммов приходится на одну часть. Разделим общую массу салата на количество частей:
$900 \text{ г} / 6 = 150 \text{ г}$.
Таким образом, масса одной части составляет 150 граммов.

3. Теперь рассчитаем массу каждого вида фруктов, умножив количество их частей на массу одной части:
- Масса яблок (3 части): $3 \times 150 \text{ г} = 450 \text{ г}$.
- Масса груш (2 части): $2 \times 150 \text{ г} = 300 \text{ г}$.
- Масса бананов (1 часть): $1 \times 150 \text{ г} = 150 \text{ г}$.

4. Выполним проверку. Сложим массы всех фруктов:
$450 \text{ г} + 300 \text{ г} + 150 \text{ г} = 900 \text{ г}$.
Общая масса совпадает с условием задачи. Отношение масс $450:300:150$ можно сократить, разделив каждое число на 150, и мы получим $3:2:1$, что соответствует заданному отношению.

Ответ: для приготовления 900 г салата потребуется 450 г яблок, 300 г груш и 150 г бананов.

1 Расстояние между двумя городами 600 км. Автомобиль выехал из одного города в другой. Запишите формулу для вычисления расстояния $s$, которое ему осталось проехать через $t$ ч, если он едет со скоростью $v$ км/ч.

$s = 600 - v \cdot t$

Чтобы найти формулу для вычисления расстояния $s$, которое осталось проехать автомобилю, необходимо из общего расстояния вычесть то расстояние, которое он уже преодолел.

1. Общее расстояние между городами дано и равно 600 км.

2. Автомобиль движется со скоростью $v$ км/ч. За время $t$ часов он проедет расстояние, равное произведению скорости на время. Это расстояние можно выразить формулой: $v \cdot t$.

3. Оставшееся расстояние $s$ будет равно разности общего расстояния и уже пройденного расстояния.

Таким образом, формула для вычисления оставшегося расстояния $s$ выглядит следующим образом:
$s = 600 - v \cdot t$

Ответ: $s = 600 - vt$