Страница 71 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

2 Используя формулу $F = \frac{9}{5}C + 32$, выражающую зависимость между температурой, измеряемой по шкале Фаренгейта (°F) и по шкале Цельсия (°C), выразите в градусах Фаренгейта температуру кипения воды 100 °C и температуру замерзания воды 0 °C.

Температура кипения воды 100 °C
Для того чтобы выразить температуру кипения воды в градусах Фаренгейта, необходимо подставить значение температуры в градусах Цельсия $C = 100$ в исходную формулу $F = \frac{9}{5}C + 32$.
Выполним подстановку и произведем расчеты:
$F = \frac{9}{5} \cdot 100 + 32$
Сначала сократим дробь и выполним умножение:
$F = 9 \cdot \frac{100}{5} + 32 = 9 \cdot 20 + 32$
Теперь выполним сложение:
$F = 180 + 32 = 212$
Таким образом, температура кипения воды по шкале Фаренгейта составляет $212^\circ F$.
Ответ: $212^\circ F$.

Температура замерзания воды 0 °C
Аналогично, для выражения температуры замерзания воды в градусах Фаренгейта, подставим значение $C = 0$ в ту же формулу $F = \frac{9}{5}C + 32$.
Выполним подстановку и расчеты:
$F = \frac{9}{5} \cdot 0 + 32$
Любое число, умноженное на ноль, равно нулю:
$F = 0 + 32$
$F = 32$
Следовательно, температура замерзания воды по шкале Фаренгейта равна $32^\circ F$.
Ответ: $32^\circ F$.

3 Пешеход за некоторое время прошёл 12 км. Какое расстояние проехал бы он за это же время на велосипеде, если бы его скорость была в 2,5 раза больше?

Для решения этой задачи можно использовать тот факт, что при постоянном времени расстояние прямо пропорционально скорости. Это означает, что во сколько раз увеличится скорость, во столько же раз увеличится и расстояние, пройденное за то же самое время.

Обозначим расстояние, пройденное пешеходом, как $S_1$, а расстояние, которое проехал бы велосипедист, как $S_2$.

Из условия задачи известно:

Расстояние, пройденное пешеходом: $S_1 = 12$ км.

Скорость велосипедиста в 2,5 раза больше скорости пешехода.

Время движения для пешехода и велосипедиста одинаково.

Поскольку расстояние прямо пропорционально скорости (при одинаковом времени), мы можем найти расстояние, которое проехал бы велосипедист, умножив расстояние пешехода на коэффициент изменения скорости.

$S_2 = S_1 \cdot 2,5$

Подставим известное значение $S_1$:

$S_2 = 12 \text{ км} \cdot 2,5$

Выполним умножение:

$12 \cdot 2,5 = 12 \cdot (2 + 0,5) = 12 \cdot 2 + 12 \cdot 0,5 = 24 + 6 = 30$

Таким образом, велосипедист за то же время проехал бы 30 км.

Ответ: 30 км.

4 Автомобиль проехал расстояние между двумя пунктами за 2 ч. За какое время это же расстояние проедет автобус, если его скорость в 1,5 раза меньше?

Для решения этой задачи воспользуемся понятием обратной пропорциональности. Время ($t$), необходимое для преодоления расстояния ($S$), и скорость движения ($v$) связаны формулой $t = S/v$. Поскольку расстояние в обоих случаях одинаковое, время и скорость являются обратно пропорциональными величинами. Это означает, что если скорость уменьшается в определенное количество раз, то время, необходимое для преодоления того же расстояния, увеличивается во столько же раз.

Пусть $t_а$ — время движения автомобиля, а $v_а$ — его скорость. Пусть $t_б$ — время движения автобуса, а $v_б$ — его скорость.

По условию задачи:

• Время движения автомобиля: $t_а = 2$ ч.
• Скорость автобуса в 1,5 раза меньше скорости автомобиля: $v_б = v_а / 1,5$.

Так как скорость автобуса в 1,5 раза меньше, то времени на тот же путь ему потребуется в 1,5 раза больше.

Вычислим время движения автобуса $t_б$: $t_б = t_а \cdot 1,5$ $t_б = 2 \text{ ч} \cdot 1,5 = 3 \text{ ч}$

Ответ: автобус проедет это расстояние за 3 часа.

5 Найдите неизвестный член пропорции $\frac{3}{8} = \frac{a}{2,4}$

Дана пропорция $\frac{3}{8} = \frac{a}{2,4}$. Для нахождения неизвестного члена $a$ воспользуемся основным свойством пропорции: произведение крайних членов равно произведению средних членов.

Крайние члены данной пропорции — это 3 и 2,4. Средние члены — 8 и $a$.

Составим и решим уравнение, исходя из этого свойства:

$3 \cdot 2,4 = 8 \cdot a$

Сначала вычислим произведение в левой части уравнения:

$7,2 = 8a$

Теперь, чтобы найти $a$, разделим обе части уравнения на 8:

$a = \frac{7,2}{8}$

$a = 0,9$

Ответ: 0,9.

6 Из 15 т руды получено 3 т меди. Сколько тонн меди получится из 20 т этой руды?

Данная задача решается с помощью пропорции, так как количество получаемой меди прямо пропорционально количеству руды.

Решение

1. Сначала определим, сколько тонн меди получается из одной тонны руды. Для этого разделим массу полученной меди на массу исходной руды:
$ \frac{3 \text{ т меди}}{15 \text{ т руды}} = \frac{1}{5} = 0.2 $ тонны меди на тонну руды.

2. Теперь, зная содержание меди в одной тонне руды, мы можем вычислить, сколько меди получится из 20 тонн этой же руды. Для этого умножим количество руды на содержание меди в одной тонне:
$ 20 \text{ т руды} \cdot 0.2 \frac{\text{т меди}}{\text{т руды}} = 4 $ тонны меди.

Также можно составить и решить пропорцию, где $x$ — искомое количество меди:
$ \frac{15 \text{ т руды}}{3 \text{ т меди}} = \frac{20 \text{ т руды}}{x \text{ т меди}} $
Из этого следует:
$ x = \frac{20 \cdot 3}{15} = \frac{60}{15} = 4 $ тонны меди.

Ответ: из 20 т руды получится 4 т меди.

7 Распределите 3 тыс. рублей пропорционально числам 4, 3 и 8.

Чтобы распределить сумму пропорционально заданным числам, необходимо найти общую сумму частей, определить стоимость одной части, а затем вычислить каждую долю.

1. Сначала найдем сумму частей пропорции. Нам даны числа 4, 3 и 8.

$4 + 3 + 8 = 15$

Таким образом, общая сумма в 3 тысячи рублей (то есть 3000 рублей) состоит из 15 равных частей.

2. Теперь определим, сколько рублей приходится на одну часть. Для этого разделим общую сумму на количество частей:

$\frac{3000}{15} = 200$ рублей.

Это значение называется коэффициентом пропорциональности.

3. Наконец, умножим этот коэффициент на каждое из чисел пропорции, чтобы найти соответствующие им суммы:

• Первая часть, пропорциональная числу 4: $4 \times 200 = 800$ рублей.
• Вторая часть, пропорциональная числу 3: $3 \times 200 = 600$ рублей.
• Третья часть, пропорциональная числу 8: $8 \times 200 = 1600$ рублей.

Для проверки можно сложить полученные суммы: $800 + 600 + 1600 = 3000$ рублей, что соответствует исходной сумме.

Ответ: 800 рублей, 600 рублей, 1600 рублей.

1 Площадь кольца $S$ можно вычислить по формуле $S = \pi(R^2 - r^2)$. Найдите площадь кольца, если $R = 6$ см, $r = 4$ см $(\pi \approx 3,14)$.

1. Для того чтобы найти площадь кольца $S$, воспользуемся формулой, указанной в условии: $S = \pi(R^2 - r^2)$.

Нам даны следующие значения: внешний радиус $R = 6$ см, внутренний радиус $r = 4$ см, и значение числа $\pi \approx 3,14$.

Подставим известные значения в формулу:

$S \approx 3,14 \cdot (6^2 - 4^2)$

Сначала выполним действия в скобках. Возведем радиусы в квадрат:

$R^2 = 6^2 = 36$

$r^2 = 4^2 = 16$

Теперь найдем разность квадратов радиусов:

$36 - 16 = 20$

Осталось умножить полученное значение на $\pi$:

$S \approx 3,14 \cdot 20 = 62,8$

Таким образом, площадь кольца равна $62,8$ см$^2$.

Ответ: $62,8$ см$^2$.

2 Клиент банка внёс $x$ рублей на вклад, по которому вложенная сумма увеличивается на 5% за год, и $y$ рублей на вклад, по которому начисляется 8% годовых. Через год его доход по двум вкладам составил $C$ рублей. Какая формула выражает зависимость $C$ от $x$ и $y$?

1) $C = 0,13(x + y)$

2) $C = 0,05x + 0,08y$

3) $C = 0,5x + 0,8y$

4) $C = 5x + 8y$

Для того чтобы найти формулу, выражающую зависимость общего дохода $C$ от сумм вкладов $x$ и $y$, необходимо последовательно рассчитать доход по каждому вкладу и затем сложить их.

1. Находим доход по первому вкладу.
Клиент внёс $x$ рублей на вклад, по которому сумма увеличивается на 5% за год. Это означает, что годовой доход по этому вкладу составляет 5% от первоначальной суммы $x$. Чтобы найти процент от числа, необходимо представить проценты в виде десятичной дроби и умножить на это число.
$5\% = \frac{5}{100} = 0,05$
Следовательно, доход по первому вкладу равен $0,05x$ рублей.

2. Находим доход по второму вкладу.
Клиент внёс $y$ рублей на вклад, по которому начисляется 8% годовых. Доход по этому вкладу за год составит 8% от суммы $y$.
$8\% = \frac{8}{100} = 0,08$
Следовательно, доход по второму вкладу равен $0,08y$ рублей.

3. Находим общий доход.
Общий доход $C$ по двум вкладам — это сумма доходов по каждому из них.
$C = (\text{доход по первому вкладу}) + (\text{доход по второму вкладу})$
Подставляем полученные выражения:
$C = 0,05x + 0,08y$

Сравнив полученную формулу с предложенными вариантами, мы видим, что она соответствует варианту под номером 2.

Ответ: 2) $C = 0,05x + 0,08y$

3 Из геометрической формулы $S = \frac{ah}{2}$ выразите переменную $h$.

Чтобы выразить переменную h из геометрической формулы $S = \frac{ah}{2}$, необходимо выполнить ряд алгебраических преобразований. Цель состоит в том, чтобы изолировать h в одной части уравнения.

1. Исходное уравнение:
$S = \frac{ah}{2}$
Здесь S — площадь, a — основание, h — высота.

2. Избавление от знаменателя:
Чтобы убрать делитель 2 в правой части, умножим обе части уравнения на 2:
$2 \cdot S = 2 \cdot \frac{ah}{2}$
В результате получаем:
$2S = ah$

3. Выделение переменной h:
Теперь переменная h умножена на a. Чтобы выразить h, разделим обе части уравнения на a (при условии, что a не равно нулю, что для длины стороны треугольника всегда выполняется):
$\frac{2S}{a} = \frac{ah}{a}$
После сокращения a в правой части получаем искомое выражение для h:
$h = \frac{2S}{a}$

Ответ: $h = \frac{2S}{a}$

4 Междугородний автобус проезжает 1 км по шоссе за 50 с. Найдите скорость автобуса в километрах в час.

Для нахождения скорости объекта в километрах в час (км/ч) необходимо определить, какое расстояние в километрах он проходит за один час.

По условию задачи, автобус проезжает расстояние $S = 1$ км за время $t = 50$ с.

Чтобы вычислить скорость в км/ч, сначала определим, сколько секунд в одном часе. В одном часе 60 минут, а в каждой минуте 60 секунд:

$1 \text{ час} = 60 \text{ минут} \times 60 \text{ секунд/минута} = 3600 \text{ секунд}$

Теперь мы можем составить пропорцию, чтобы найти расстояние, которое автобус проедет за 3600 секунд (1 час):

За 50 секунд автобус проезжает 1 км.

За 3600 секунд автобус проедет $x$ км.

Из пропорции $\frac{50 \text{ с}}{1 \text{ км}} = \frac{3600 \text{ с}}{x \text{ км}}$ найдем $x$:

$x = \frac{3600 \text{ с} \times 1 \text{ км}}{50 \text{ с}} = \frac{3600}{50} \text{ км} = \frac{360}{5} \text{ км} = 72 \text{ км}$

Таким образом, за 1 час автобус проезжает 72 км. Следовательно, его скорость составляет 72 км/ч.

Ответ: 72 км/ч.

5 Формула $P = pt$ связывает три величины: объём выполненной работы $P$, производительность $p$ и время выполнения работы $t$. Какие из следующих утверждений являются верными?

А. Объём выполненной работы при постоянной производительности пропорционален времени работы.

Б. Время работы при постоянном её объёме пропорционально производительности.

В. Объём выполненной работы при постоянном времени работы пропорционален производительности.

Для анализа утверждений будем использовать заданную формулу $P = pt$, где $P$ – объём выполненной работы, $p$ – производительность и $t$ – время работы.

А. Объём выполненной работы при постоянной производительности пропорционален времени работы.
В данном случае производительность $p$ является постоянной величиной, то есть $p = const$. Обозначим эту константу как $k$. Тогда формула примет вид $P = k \cdot t$. Это уравнение является определением прямой пропорциональности, где $k$ – коэффициент пропорциональности. Таким образом, объём выполненной работы $P$ прямо пропорционален времени работы $t$. Утверждение верно.
Ответ: Верно.

Б. Время работы при постоянном её объёме пропорционально производительности.
В данном случае объём работы $P$ является постоянной величиной, то есть $P = const$. Из исходной формулы $P = pt$ выразим время $t$: $t = \frac{P}{p}$. Так как $P$ – константа (обозначим её $k$), то зависимость можно записать как $t = \frac{k}{p}$. Это формула обратной пропорциональности. Она означает, что время работы $t$ обратно пропорционально производительности $p$. С увеличением производительности время, необходимое для выполнения того же объёма работы, уменьшается. Утверждение о прямой пропорциональности является неверным.
Ответ: Неверно.

В. Объём выполненной работы при постоянном времени работы пропорционален производительности.
В данном случае время работы $t$ является постоянной величиной, то есть $t = const$. Обозначим эту константу как $k$. Тогда формула примет вид $P = p \cdot k$ или, что то же самое, $P = k \cdot p$. Это уравнение также является определением прямой пропорциональности, где $k$ – коэффициент пропорциональности. Таким образом, объём выполненной работы $P$ прямо пропорционален производительности $p$. Утверждение верно.
Ответ: Верно.

6 Автомобиль, двигаясь с постоянной скоростью, за определённое время проехал $\frac{1}{3}$ всего расстояния до пункта назначения. Какую часть этого расстояния можно было бы проехать за это же время со скоростью, в 1,2 раза большей?

Обозначим всё расстояние до пункта назначения как $S$. Пусть первоначальная скорость автомобиля была $v_1$, а время, за которое он проехал часть пути, равно $t$.

Согласно условию задачи, за время $t$ автомобиль проехал расстояние $s_1$, равное $\frac{1}{3}$ всего расстояния $S$:
$s_1 = \frac{1}{3} S$

Расстояние, пройденное при движении с постоянной скоростью, вычисляется по формуле $s = v \cdot t$. Для первого случая получаем:
$s_1 = v_1 \cdot t$
Приравнивая два выражения для $s_1$, имеем: $\frac{1}{3} S = v_1 \cdot t$.

Далее рассмотрим второй случай. Новая скорость автомобиля $v_2$ в 1,2 раза больше первоначальной, то есть $v_2 = 1.2 \cdot v_1$. Время движения $t$ остается тем же. Найдем расстояние $s_2$, которое автомобиль проедет с новой скоростью за это же время:
$s_2 = v_2 \cdot t$
Подставим выражение для $v_2$:
$s_2 = (1.2 \cdot v_1) \cdot t = 1.2 \cdot (v_1 \cdot t)$

Из первого случая мы знаем, что произведение $v_1 \cdot t$ равно $s_1$ или $\frac{1}{3} S$. Подставим это значение в формулу для $s_2$:
$s_2 = 1.2 \cdot s_1 = 1.2 \cdot \left(\frac{1}{3} S\right)$

Чтобы вычислить, какую часть от $S$ составляет $s_2$, необходимо выполнить умножение. Для удобства представим десятичную дробь 1,2 в виде обыкновенной:
$1.2 = \frac{12}{10} = \frac{6}{5}$

Теперь вычислим значение $s_2$ как долю от $S$:
$s_2 = \frac{6}{5} \cdot \frac{1}{3} S = \frac{6 \cdot 1}{5 \cdot 3} S = \frac{6}{15} S$

Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на их общий делитель 3:
$\frac{6}{15} = \frac{6 \div 3}{15 \div 3} = \frac{2}{5}$

Таким образом, новое расстояние $s_2$ составляет $\frac{2}{5}$ от всего расстояния $S$. Это означает, что со скоростью, в 1,2 раза большей, за то же время автомобиль проехал бы $\frac{2}{5}$ всего пути.

Ответ: $\frac{2}{5}$.