Страница 67 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

210 В конноспортивной школе на 5 лошадей за 30 дней расходуется 1000 кг овса. На сколько дней хватит 200 кг овса для 10 лошадей при той же норме?

Для решения этой задачи можно использовать несколько подходов. Рассмотрим два из них.

Способ 1: Приведение к единице

Этот способ заключается в том, чтобы последовательно найти норму потребления овса одной лошадью за один день.

1. Узнаем, сколько килограммов овса съедают 5 лошадей за 1 день. Для этого разделим общее количество овса на количество дней:
$1000 \text{ кг} \div 30 \text{ дней} = \frac{1000}{30} = \frac{100}{3}$ кг/день.

2. Теперь найдем, сколько овса съедает 1 лошадь за 1 день (дневная норма). Для этого разделим дневной расход на количество лошадей:
$\frac{100}{3} \text{ кг/день} \div 5 \text{ лошадей} = \frac{100}{3 \cdot 5} = \frac{100}{15} = \frac{20}{3}$ кг в день на одну лошадь.

3. Рассчитаем, сколько овса потребуется для 10 лошадей в день при той же норме:
$10 \text{ лошадей} \times \frac{20}{3} \text{ кг/день} = \frac{200}{3}$ кг/день.

4. Наконец, определим, на сколько дней хватит 200 кг овса для 10 лошадей. Для этого разделим имеющееся количество овса на дневной расход 10 лошадей:
$200 \text{ кг} \div \frac{200}{3} \text{ кг/день} = 200 \times \frac{3}{200} = 3$ дня.

Способ 2: Метод пропорций (логические рассуждения)

Этот способ позволяет решить задачу, изменяя последовательно условия.

1. Из условия известно, что 5 лошадям 1000 кг овса хватает на 30 дней.

2. Выясним, на сколько дней хватило бы 1000 кг овса 10 лошадям. Количество лошадей увеличилось в 2 раза ( $10 \div 5 = 2$ ), значит, при том же количестве корма его хватит на в 2 раза меньший срок (обратная пропорциональность):
$30 \text{ дней} \div 2 = 15$ дней.
Итак, 10 лошадям 1000 кг овса хватит на 15 дней.

3. Теперь узнаем, на сколько дней хватит 10 лошадям 200 кг овса. Количество овса уменьшилось в 5 раз ( $1000 \div 200 = 5$ ), значит, и хватит его на в 5 раз меньшее количество дней (прямая пропорциональность):
$15 \text{ дней} \div 5 = 3$ дня.

Ответ: 200 кг овса хватит для 10 лошадей на 3 дня.

211 При строительстве здания 3 строителя за 8 ч выложили из кирпичей фрагмент стены объёмом $6 \text{ м}^3$. За какое время смогла бы выложить фрагмент стены объёмом $15 \text{ м}^3$ бригада из 4 человек, если их производительность на 20% выше?

Для решения задачи сначала найдем производительность одного строителя в час в первом случае. Первая бригада из 3 строителей за 8 часов выложила стену объемом $6 \text{ м}^3$.

1. Вычислим общую производительность первой бригады (объем работы в час):

$P_{\text{бригады 1}} = \frac{\text{Объем}}{\text{Время}} = \frac{6 \text{ м}^3}{8 \text{ ч}} = 0.75 \text{ м}^3/\text{ч}$

2. Теперь найдем индивидуальную производительность одного строителя из первой бригады, разделив общую производительность на количество строителей:

$P_{\text{1 строителя}} = \frac{0.75 \text{ м}^3/\text{ч}}{3} = 0.25 \text{ м}^3/\text{ч}$

3. По условию, производительность строителей во второй бригаде на 20% выше. Найдем новую индивидуальную производительность:

$P_{\text{нового строителя}} = P_{\text{1 строителя}} \times (1 + \frac{20}{100}) = 0.25 \times 1.2 = 0.3 \text{ м}^3/\text{ч}$

4. Вторая бригада состоит из 4 человек. Найдем ее общую производительность:

$P_{\text{бригады 2}} = P_{\text{нового строителя}} \times 4 = 0.3 \text{ м}^3/\text{ч} \times 4 = 1.2 \text{ м}^3/\text{ч}$

5. Наконец, определим, за какое время вторая бригада выложит фрагмент стены объемом $15 \text{ м}^3$:

$T = \frac{\text{Объем}}{P_{\text{бригады 2}}} = \frac{15 \text{ м}^3}{1.2 \text{ м}^3/\text{ч}} = 12.5 \text{ часов}$

Ответ: 12,5 часов.

212 Для 15 человек, отправляющихся в экспедицию на 20 дней, заготовили 300 бутылок воды.

а) Сколько бутылок воды при той же норме надо добавить к уже заготовленным, если в экспедицию отправится 20 человек на 30 дней?

б) На сколько дней хватит 500 бутылок воды, если в экспедицию отправится 10 человек?

в) Сколько человек можно отправить в 10-дневную экспедицию, если заготовлено 200 бутылок воды?

Для решения задачи сначала определим норму потребления воды на одного человека в день. Исходя из начальных данных, 15 человек за 20 дней израсходовали 300 бутылок воды. Рассчитаем норму (Н):

$Н = \frac{\text{Общее количество бутылок}}{\text{Количество человек} \times \text{Количество дней}} = \frac{300}{15 \times 20} = \frac{300}{300} = 1$ бутылка в день на одного человека.

Теперь, зная эту норму, ответим на вопросы.

а) Сколько бутылок воды при той же норме надо добавить к уже заготовленным, если в экспедицию отправится 20 человек на 30 дней?

Сначала рассчитаем общее количество бутылок, необходимое для новой экспедиции:

Необходимое количество = $20 \text{ человек} \times 30 \text{ дней} \times 1 \frac{\text{бутылка}}{\text{чел} \cdot \text{день}} = 600$ бутылок.

У нас уже есть 300 бутылок, значит, нужно добавить:

$600 - 300 = 300$ бутылок.

Ответ: надо добавить 300 бутылок воды.

б) На сколько дней хватит 500 бутылок воды, если в экспедицию отправится 10 человек?

Ежедневный расход воды для 10 человек составит:

$10 \text{ человек} \times 1 \frac{\text{бутылка}}{\text{чел} \cdot \text{день}} = 10$ бутылок в день.

Теперь определим, на сколько дней хватит 500 бутылок:

Количество дней = $\frac{\text{Общее количество бутылок}}{\text{Ежедневный расход}} = \frac{500}{10} = 50$ дней.

Ответ: 500 бутылок хватит на 50 дней.

в) Сколько человек можно отправить в 10-дневную экспедицию, если заготовлено 200 бутылок воды?

Рассчитаем, сколько воды потребуется одному человеку за 10 дней:

$10 \text{ дней} \times 1 \frac{\text{бутылка}}{\text{чел} \cdot \text{день}} = 10$ бутылок на человека за всю экспедицию.

Теперь разделим общее количество заготовленной воды на расход на одного человека, чтобы найти возможное количество участников:

Количество человек = $\frac{\text{Общее количество бутылок}}{\text{Расход на одного человека}} = \frac{200}{10} = 20$ человек.

Ответ: можно отправить 20 человек.

213 Команда из трёх операторов, работая по 6 ч в день, за 4 дня набрала на компьютере 700 страниц рукописи. Оставшиеся 350 страниц требуется набрать за 2 дня, причём компьютерный зал будет предоставляться только на 2 ч в день. На сколько человек нужно увеличить команду, чтобы она смогла выполнить эту задачу?

Для решения этой задачи определим производительность работы, которая является постоянной величиной. Производительность можно выразить как объем работы (количество страниц), деленный на общее затраченное время (в человеко-часах).

Объем работы ($W$) прямо пропорционален количеству операторов ($O$), количеству рабочих часов в день ($H$) и количеству дней ($D$). Это можно выразить как $\frac{W}{O \cdot H \cdot D} = p$, где $p$ — постоянная производительность одного оператора в час.

Обозначим условия для первой и второй частей работы:

• Первая часть: $W_1 = 700$ страниц, $O_1 = 3$ оператора, $H_1 = 6$ часов/день, $D_1 = 4$ дня.
• Вторая часть: $W_2 = 350$ страниц, $O_2 = x$ операторов (искомое количество), $H_2 = 2$ часа/день, $D_2 = 2$ дня.

Поскольку производительность одного оператора одинакова в обоих случаях, мы можем приравнять соотношения для обеих частей работы:
$\frac{W_1}{O_1 \cdot H_1 \cdot D_1} = \frac{W_2}{O_2 \cdot H_2 \cdot D_2}$

Подставим известные значения в это уравнение:
$\frac{700}{3 \cdot 6 \cdot 4} = \frac{350}{x \cdot 2 \cdot 2}$

Выполним вычисления в знаменателях:
$\frac{700}{72} = \frac{350}{4x}$

Теперь решим полученную пропорцию, чтобы найти $x$ — общее количество операторов, необходимое для выполнения второй части задания.
$700 \cdot 4x = 350 \cdot 72$
$2800x = 25200$

Найдем $x$:
$x = \frac{25200}{2800} = \frac{252}{28}$
Разделив числитель на знаменатель, получаем:
$x = 9$

Таким образом, для выполнения второй части работы требуется команда из 9 операторов.

В задаче спрашивается, на сколько человек нужно увеличить команду. Изначально в команде было 3 оператора.
$9 \text{ операторов} - 3 \text{ оператора} = 6 \text{ операторов}$

Ответ: команду нужно увеличить на 6 человек.