Страница 64 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Объясните, как образовано «длинное» отношение $6 : 4 : 2$ в задаче 1.

«Длинное» отношение, такое как $6:4:2$, обычно образуется путем объединения двух или более простых отношений, которые имеют общий член. Чтобы объяснить, как было получено именно это отношение, необходимо предположить, какие исходные данные были в «задаче 1», так как ее текст не приводится.

Наиболее вероятный способ формирования такого отношения — это приведение двух пропорций к общему значению для связующего их элемента.

Объяснение на гипотетическом примере задачи 1

Предположим, в задаче 1 были даны три величины (назовем их А, Б и В) и два отношения между ними:

• Отношение величины А к величине Б: $А : Б = 3 : 2$
• Отношение величины Б к величине В: $Б : В = 2 : 1$

В этом конкретном случае, так как общий член (Б) уже представлен одним и тем же числом (2) в обоих отношениях, мы можем сразу их объединить: $А : Б : В = 3 : 2 : 1$.

Отношение $6 : 4 : 2$ является эквивалентным отношению $3 : 2 : 1$, так как все его члены можно получить, умножив члены базового отношения на 2:

$3 \times 2 = 6$

$2 \times 2 = 4$

$1 \times 2 = 2$

Это могло быть сделано, если, например, сумма всех частей должна была быть равна $6+4+2=12$, а не $3+2+1=6$.

Более общий и показательный случай формирования

Чаще всего для объединения отношений требуется дополнительный шаг — приведение к общему кратному. Рассмотрим другой вероятный сценарий для задачи 1.

Допустим, в задаче были даны следующие отношения:

• Отношение величины А к величине Б: $А : Б = 3 : 2$
• Отношение величины Б к величине В: $Б : В = 4 : 2$

Чтобы составить «длинное» отношение $А : Б : В$, нужно выполнить следующие шаги:

1. Найти общий член. В данном случае это величина Б.
2. Определить числовые значения общего члена в каждом отношении. В первом отношении ($3:2$) Б соответствует число 2. Во втором отношении ($4:2$) Б соответствует число 4.
3. Найти наименьшее общее кратное (НОК) для этих значений. НОК для чисел 2 и 4 равно 4.
4. Привести каждое отношение к этому общему значению.
   • Первое отношение ($А : Б = 3 : 2$) нужно домножить на такое число, чтобы значение для Б стало равно 4. Это число — $4 / 2 = 2$. Умножаем обе части отношения на 2: $(3 \times 2) : (2 \times 2) = 6 : 4$.
   • Второе отношение ($Б : В = 4 : 2$) уже имеет 4 для представления члена Б, поэтому его изменять не нужно.
5. Объединить полученные отношения. Теперь, когда общий член Б в обоих отношениях соответствует одному и тому же числу (4), мы можем записать единое «длинное» отношение: $А : Б : В = 6 : 4 : 2$.

Ответ: «Длинное» отношение $6:4:2$ было образовано путем объединения двух отношений с общим членом (например, $А:Б=3:2$ и $Б:В=4:2$). Для этого оба отношения были приведены к общему значению для их связующего элемента (в нашем примере это 4), после чего их части были записаны в виде единого отношения $А:Б:В$.

Тест включает 30 задач: 6 задач по арифметике, 15 – по алгебре, остальные – по геометрии. В каком отношении в тесте находятся арифметические, алгебраические и геометрические задачи?

1. Найдем количество задач по геометрии.

Общее количество задач в тесте — 30. Из них 6 задач по арифметике и 15 — по алгебре. Количество задач по геометрии равно разности между общим количеством задач и суммой задач по арифметике и алгебре.

Количество задач по геометрии = (Всего задач) - (Задачи по арифметике + Задачи по алгебре)

$30 - (6 + 15) = 30 - 21 = 9$

Итак, в тесте 9 задач по геометрии.

2. Найдем отношение количества задач.

Нам нужно найти отношение количества арифметических, алгебраических и геометрических задач. Это отношение записывается в виде:

(Количество задач по арифметике) : (Количество задач по алгебре) : (Количество задач по геометрии)

Подставляем найденные значения:

$6 : 15 : 9$

3. Упростим полученное отношение.

Чтобы упростить это отношение, нужно найти наибольший общий делитель (НОД) для чисел 6, 15 и 9. Все эти числа делятся на 3.

Разделим каждую часть отношения на 3:

$6 \div 3 = 2$

$15 \div 3 = 5$

$9 \div 3 = 3$

Таким образом, искомое отношение в упрощенном виде: $2:5:3$.

Ответ: Отношение арифметических, алгебраических и геометрических задач в тесте составляет $2:5:3$.

Объясните происхождение и смысл слова «пропорциональный».

Происхождение

Слово «пропорциональный» является заимствованием из латинского языка. Оно происходит от латинского слова proportionalis, которое, в свою очередь, образовано от словосочетания pro portione. Приставка pro переводится как «соответственно», «согласно», «в соответствии с», а существительное portio означает «часть», «доля». Таким образом, дословное значение выражения — «соответствующий части», «соразмерный». В русский язык, как и во многие другие европейские языки, этот термин вошел в эпоху развития науки для описания гармоничных и математических соотношений.

Ответ: Слово происходит от латинского словосочетания pro portione, что буквально означает «соразмерно» или «в соответствии с долей».

Смысл

В общем значении слово «пропорциональный» описывает такую зависимость между двумя или несколькими величинами, при которой изменение одной из них влечет за собой закономерное, соразмерное изменение другой. Это понятие подразумевает наличие баланса, гармонии и правильного соотношения между частями.

В математике это понятие имеет два строгих определения:

1. Прямая пропорциональность. Две величины, $y$ и $x$, называют прямо пропорциональными, если их отношение постоянно. Это выражается формулой $y = kx$, где $k$ — постоянный коэффициент пропорциональности. При увеличении (или уменьшении) одной величины в несколько раз, другая увеличивается (или уменьшается) во столько же раз. Например, стоимость покупки прямо пропорциональна количеству одинакового товара.

2. Обратная пропорциональность. Две величины, $y$ и $x$, называют обратно пропорциональными, если их произведение постоянно. Это выражается формулой $y = k/x$. При увеличении (или уменьшении) одной величины в несколько раз, другая, наоборот, уменьшается (или увеличивается) во столько же раз. Например, время, затраченное на поездку на определенное расстояние, обратно пропорционально скорости движения.

В повседневной жизни слово «пропорциональный» часто используется в более широком смысле как синоним слов «соразмерный», «соответствующий». Например, фраза «наказание, пропорциональное проступку» означает, что строгость наказания должна соответствовать тяжести совершенного проступка.

Ответ: Слово означает наличие соразмерной, взаимозависимой связи между величинами, при которой изменение одной ведет к согласованному изменению другой согласно постоянному математическому закону (отношению или произведению).

(Сколько процентов выплаченной за работу суммы получил каждый из трёх участников, если она была распределена между ними в отношении $5 : 3 : 2$ (фрагмент 2)?

Для того чтобы найти, какой процент от общей суммы получил каждый из трёх участников, необходимо сначала определить общее количество равных частей, на которые была разделена вся сумма. Условие гласит, что сумма была распределена в отношении 5 : 3 : 2.

1. Найдём общее количество частей. Для этого сложим все числа в указанном отношении:

$5 + 3 + 2 = 10$

Таким образом, вся сумма, которую мы принимаем за 100%, была разделена на 10 равных частей.

2. Рассчитаем процентную долю для каждого участника. Доля каждого участника — это отношение количества его частей к общему количеству частей, умноженное на 100%.

Первый участник

Он получил 5 частей из 10. Его доля в процентах составляет:

$\frac{5}{10} \times 100\% = 0.5 \times 100\% = 50\%$

Второй участник

Он получил 3 части из 10. Его доля в процентах составляет:

$\frac{3}{10} \times 100\% = 0.3 \times 100\% = 30\%$

Третий участник

Он получил 2 части из 10. Его доля в процентах составляет:

$\frac{2}{10} \times 100\% = 0.2 \times 100\% = 20\%$

Для проверки можно убедиться, что сумма всех процентов равна 100%:

$50\% + 30\% + 20\% = 100\%$

Ответ: первый участник получил 50%, второй — 30%, а третий — 20% от общей выплаченной суммы.