Страница 61 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

183 В любой окружности отношение длины окружности к её диаметру одно и то же и приближённо равно $\frac{22}{7}$.

а) Определите длину окружности, диаметр которой равен 3 см.

б) При каком диаметре длина окружности равна 10 см?

(Ответы округлите до десятых.)

В условии задачи сказано, что отношение длины окружности к ее диаметру — это постоянное число, обозначаемое $\pi$ (пи), которое приблизительно равно $\frac{22}{7}$.
Формула для нахождения длины окружности ($C$) через ее диаметр ($d$) выглядит следующим образом: $C = \pi d$.

а) Найдем длину окружности, диаметр которой равен 3 см.
Используем формулу, подставив в нее известные значения: $d = 3$ см и $\pi \approx \frac{22}{7}$.
$C \approx \frac{22}{7} \times 3 = \frac{66}{7}$ см.
Для получения ответа, который нужно округлить до десятых, преобразуем дробь в десятичное число:
$\frac{66}{7} \approx 9.4285...$ см.
Округляем до десятых (до одного знака после запятой). Так как следующая цифра (2) меньше 5, оставляем цифру в разряде десятых без изменений.
Получаем $C \approx 9.4$ см.
Ответ: 9,4 см.

б) Найдем диаметр окружности, длина которой равна 10 см.
Выразим диаметр $d$ из формулы длины окружности: $d = \frac{C}{\pi}$.
Подставим известные значения: $C = 10$ см и $\pi \approx \frac{22}{7}$.
$d \approx \frac{10}{\frac{22}{7}} = 10 \times \frac{7}{22} = \frac{70}{22} = \frac{35}{11}$ см.
Преобразуем дробь в десятичное число для последующего округления:
$\frac{35}{11} \approx 3.1818...$ см.
Округляем до десятых. Так как следующая за десятыми цифра (8) больше или равна 5, увеличиваем цифру в разряде десятых на единицу ($1+1=2$).
Получаем $d \approx 3.2$ см.
Ответ: 3,2 см.

184 а) Если в стакан насыпать 8 столовых ложек сахара, то заполнится $\frac{2}{3}$ стакана. Хватит ли 11 столовых ложек сахара, чтобы наполнить стакан?

б) Автомобиль проехал 280 км, затратив 21 л бензина. Хватит ли бака бензина, вмещающего 40 л, чтобы проехать 500 км?

а)

Сначала определим, сколько столовых ложек сахара необходимо, чтобы полностью наполнить стакан. По условию, 8 столовых ложек заполняют $ \frac{2}{3} $ стакана.

Чтобы найти, сколько ложек соответствует целому стакану (т.е. $ \frac{3}{3} $), нужно количество ложек (8) разделить на соответствующую ему часть стакана ($ \frac{2}{3} $):

$ 8 \div \frac{2}{3} = 8 \cdot \frac{3}{2} = \frac{8 \cdot 3}{2} = \frac{24}{2} = 12 $ столовых ложек.

Таким образом, для полного заполнения стакана требуется 12 столовых ложек сахара. В условии спрашивается, хватит ли 11 ложек.

Сравниваем требуемое количество с имеющимся: $ 11 < 12 $.

Следовательно, 11 столовых ложек сахара не хватит, чтобы наполнить стакан.

Ответ: нет, не хватит.

б)

Сначала определим расход бензина автомобиля на 1 км пути. Известно, что на 280 км было затрачено 21 л бензина.

Расход на 1 км составляет: $ 21 \div 280 = \frac{21}{280} $ литров на километр.

Сократим эту дробь, разделив числитель и знаменатель на их общий делитель 7:

$ \frac{21 \div 7}{280 \div 7} = \frac{3}{40} $ л/км.

Теперь рассчитаем, сколько литров бензина потребуется, чтобы проехать 500 км с таким расходом:

$ 500 \cdot \frac{3}{40} = \frac{500 \cdot 3}{40} = \frac{50 \cdot 3}{4} = \frac{150}{4} = 37,5 $ л.

Для поездки на 500 км необходимо 37,5 литров бензина. Бак автомобиля вмещает 40 литров.

Сравниваем необходимое количество бензина с емкостью бака: $ 37,5 \text{ л} < 40 \text{ л} $.

Следовательно, бака бензина хватит, чтобы проехать 500 км.

Ответ: да, хватит.

185 ПРАКТИЧЕСКАЯ СИТУАЦИЯ Рассчитайте рецепт приготовления блюда:

а) Для 4 порций приправы требуется $\frac{1}{3}$ чайной ложки соли, $\frac{1}{4}$ чайной ложки перца и $\frac{1}{2}$ чайной ложки гвоздики. Сколько соли, перца и гвоздики потребуется для 30 порций?

б) В соответствии с рецептом пирога на 4 яйца требуется 1,5 стакана сахарного песка и $\frac{2}{3}$ стакана муки. Сколько сахарного песка и муки потребуется, если тесто готовится из 9 яиц?

а) В исходном рецепте указано количество приправ на 4 порции. Нам необходимо рассчитать их количество на 30 порций. Для этого сначала определим, во сколько раз изменилось количество порций. Этот коэффициент изменения будет равен отношению нового количества порций к исходному:

$ \text{Коэффициент} = \frac{30 \text{ порций}}{4 \text{ порции}} = \frac{15}{2} = 7,5 $

Теперь, чтобы найти необходимое количество каждого ингредиента, нужно умножить его исходное количество на полученный коэффициент 7,5.

Расчет для соли:

$ \frac{1}{3} \text{ чайной ложки} \times 7,5 = \frac{1}{3} \times \frac{15}{2} = \frac{1 \times 15}{3 \times 2} = \frac{15}{6} = \frac{5}{2} = 2\frac{1}{2} \text{ чайной ложки} $

Расчет для перца:

$ \frac{1}{4} \text{ чайной ложки} \times 7,5 = \frac{1}{4} \times \frac{15}{2} = \frac{1 \times 15}{4 \times 2} = \frac{15}{8} = 1\frac{7}{8} \text{ чайной ложки} $

Расчет для гвоздики:

$ \frac{1}{2} \text{ чайной ложки} \times 7,5 = \frac{1}{2} \times \frac{15}{2} = \frac{1 \times 15}{2 \times 2} = \frac{15}{4} = 3\frac{3}{4} \text{ чайной ложки} $

Ответ: для 30 порций потребуется $2\frac{1}{2}$ чайной ложки соли, $1\frac{7}{8}$ чайной ложки перца и $3\frac{3}{4}$ чайной ложки гвоздики.

б) В рецепте пирога ингредиенты даны на 4 яйца. Нам нужно приготовить тесто из 9 яиц. По аналогии с предыдущей задачей, найдем коэффициент, на который нужно умножить количество ингредиентов. Он равен отношению нового количества яиц к исходному:

$ \text{Коэффициент} = \frac{9 \text{ яиц}}{4 \text{ яйца}} = \frac{9}{4} = 2,25 $

Теперь умножим количество сахарного песка и муки на этот коэффициент.

Расчет для сахарного песка. Исходное количество 1,5 стакана представим в виде неправильной дроби $1,5 = \frac{3}{2}$:

$ 1,5 \text{ стакана} \times 2,25 = \frac{3}{2} \times \frac{9}{4} = \frac{3 \times 9}{2 \times 4} = \frac{27}{8} = 3\frac{3}{8} \text{ стакана} $

Расчет для муки:

$ \frac{2}{3} \text{ стакана} \times 2,25 = \frac{2}{3} \times \frac{9}{4} = \frac{2 \times 9}{3 \times 4} = \frac{18}{12} = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} \text{ стакана} $

Ответ: если тесто готовить из 9 яиц, потребуется $3\frac{3}{8}$ стакана сахарного песка и $1\frac{1}{2}$ стакана муки.

186 ВЕРНО ИЛИ НЕВЕРНО

Прочитайте задачу: «Если ехать на автомобиле со скоростью 65 км/ч, то от одного посёлка до другого можно проехать за 20 мин. Велосипедист проехал этот же путь за 2 ч. С какой скоростью ехал велосипедист?»

В каком случае пропорция по условию задачи составлена правильно, если буквой x обозначена скорость велосипедиста (в км/ч)?

1) $65 : x = \frac{1}{3} : 2$ 2) $x : 65 = 2 : \frac{1}{3}$ 3) $65 : x = 2 : 20$ 4) $65 : x = 2 : \frac{1}{3}$

Для решения этой задачи необходимо установить зависимость между скоростью и временем при постоянном расстоянии. Расстояние, которое проезжают автомобиль и велосипедист, одинаково. Основная формула, связывающая эти величины, — $S = v \cdot t$, где $S$ — расстояние, $v$ — скорость, а $t$ — время.

Так как расстояние $S$ постоянно, скорость $v$ и время $t$ являются обратно пропорциональными величинами. Это означает, что во сколько раз увеличивается скорость, во столько же раз уменьшается время, необходимое для преодоления того же расстояния. Математически это выражается равенством $v_1 \cdot t_1 = v_2 \cdot t_2$.

Перед составлением пропорции необходимо привести все величины к единой системе измерения. Скорость выражена в км/ч, поэтому время также следует выразить в часах.

• Скорость автомобиля ($v_а$): $65$ км/ч
• Время автомобиля ($t_а$): $20$ мин = $\frac{20}{60}$ ч = $\frac{1}{3}$ ч
• Скорость велосипедиста ($v_в$): $x$ км/ч (неизвестная величина)
• Время велосипедиста ($t_в$): $2$ ч

Для обратно пропорциональных величин (в нашем случае скорости и времени) пропорция составляется следующим образом: отношение скоростей равно обратному отношению соответствующих времен.

$ \frac{v_а}{v_в} = \frac{t_в}{t_а} $

В виде пропорции это записывается так:

$v_а : v_в = t_в : t_а$

Подставив числовые значения, получаем правильную пропорцию:

$65 : x = 2 : \frac{1}{3}$

Теперь проанализируем каждый из предложенных вариантов.

1) $65 : x = \frac{1}{3} : 2$

Эта пропорция вида $v_а : v_в = t_а : t_в$ описывает прямую пропорциональность. Она была бы верна, если бы с увеличением скорости время в пути также увеличивалось, что противоречит здравому смыслу и условию задачи. Следовательно, эта пропорция составлена неверно.

Ответ: неверно.

2) $x : 65 = 2 : \frac{1}{3}$

Используя основное свойство пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних), получаем: $x \cdot \frac{1}{3} = 65 \cdot 2$. В наших обозначениях это $v_в \cdot t_а = v_а \cdot t_в$. Это равенство не соответствует правильной зависимости $v_а \cdot t_а = v_в \cdot t_в$. Следовательно, пропорция составлена неверно.

Ответ: неверно.

3) $65 : x = 2 : 20$

В правой части этой пропорции сравниваются величины, выраженные в разных единицах: $2$ часа и $20$ минут. Для составления корректной пропорции все однородные величины должны быть приведены к единой единице измерения. Из-за этого несоответствия пропорция является неверной.

Ответ: неверно.

4) $65 : x = 2 : \frac{1}{3}$

Эта пропорция в точности совпадает с той, которую мы вывели ранее: $v_а : v_в = t_в : t_а$. Она правильно отражает обратную зависимость между скоростью и временем при постоянном расстоянии. Проверим ее через основное свойство пропорции: $65 \cdot \frac{1}{3} = x \cdot 2$. Это эквивалентно равенству $v_а \cdot t_а = v_в \cdot t_в$, что является верным. Следовательно, эта пропорция составлена правильно.

Ответ: верно.

187 Составьте различные пропорции, используя следующие произведения:

а) $4 \cdot 8 = 2 \cdot 16;$

б) $25 \cdot 3 = 15 \cdot 5;$

в) $6 \cdot 9 = 3 \cdot 18;$

г) $4,8 \cdot 0,4 = 1,6 \cdot 1,2.$

Пропорция — это равенство двух отношений, например, $a:b = c:d$ или $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$. Основное свойство пропорции гласит, что произведение её крайних членов ($a$ и $d$) равно произведению её средних членов ($b$ и $c$): $a \cdot d = b \cdot c$. В данной задаче используется обратное утверждение: если дано равенство произведений $a \cdot d = b \cdot c$, то из этих четырех чисел можно составить верную пропорцию, сделав одну пару множителей (например, $a, d$) крайними членами, а другую ($b, c$) — средними. Меняя члены местами, можно получить несколько различных пропорций.

а) Дано равенство $4 \cdot 8 = 2 \cdot 16$. Проверим: $32 = 32$. Из этого равенства можно составить следующие пропорции:
- Сделаем $4$ и $8$ крайними членами, а $2$ и $16$ — средними. Получим пропорцию $4:2=16:8$. Проверим равенство отношений: $\frac{4}{2}=2$ и $\frac{16}{8}=2$. Пропорция верна.
- Поменяв местами средние члены, получим $4:16=2:8$. Проверка: $\frac{4}{16}=0,25$ и $\frac{2}{8}=0,25$. Верно.
- Поменяв местами крайние члены в исходной пропорции, получим $8:2=16:4$. Проверка: $\frac{8}{2}=4$ и $\frac{16}{4}=4$. Верно.
- Поменяв местами и средние, и крайние члены, получим $8:16=2:4$. Проверка: $\frac{8}{16}=0,5$ и $\frac{2}{4}=0,5$. Верно.
Ответ: $4:2 = 16:8; \quad 4:16 = 2:8; \quad 8:2 = 16:4; \quad 8:16 = 2:4$.

б) Дано равенство $25 \cdot 3 = 15 \cdot 5$. Проверим: $75 = 75$. Составим различные пропорции по аналогии с предыдущим пунктом:
- $25:15 = 5:3$. Проверка: $\frac{25}{15} = \frac{5}{3}$ и $\frac{5}{3}$. Верно.
- $25:5 = 15:3$. Проверка: $\frac{25}{5} = 5$ и $\frac{15}{3} = 5$. Верно.
- $3:15 = 5:25$. Проверка: $\frac{3}{15} = \frac{1}{5}$ и $\frac{5}{25} = \frac{1}{5}$. Верно.
- $3:5 = 15:25$. Проверка: $\frac{3}{5}$ и $\frac{15}{25} = \frac{3}{5}$. Верно.
Ответ: $25:15 = 5:3; \quad 25:5 = 15:3; \quad 3:15 = 5:25; \quad 3:5 = 15:25$.

в) Дано равенство $6 \cdot 9 = 3 \cdot 18$. Проверим: $54 = 54$. Возможные пропорции:
- $6:3 = 18:9$. Проверка: $\frac{6}{3}=2$ и $\frac{18}{9}=2$. Верно.
- $6:18 = 3:9$. Проверка: $\frac{6}{18}=\frac{1}{3}$ и $\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$. Верно.
- $9:3 = 18:6$. Проверка: $\frac{9}{3}=3$ и $\frac{18}{6}=3$. Верно.
- $9:18 = 3:6$. Проверка: $\frac{9}{18}=\frac{1}{2}$ и $\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$. Верно.
Ответ: $6:3 = 18:9; \quad 6:18 = 3:9; \quad 9:3 = 18:6; \quad 9:18 = 3:6$.

г) Дано равенство $4,8 \cdot 0,4 = 1,6 \cdot 1,2$. Проверим: $1,92 = 1,92$. Возможные пропорции:
- $4,8:1,6 = 1,2:0,4$. Проверка: $\frac{4,8}{1,6}=3$ и $\frac{1,2}{0,4}=3$. Верно.
- $4,8:1,2 = 1,6:0,4$. Проверка: $\frac{4,8}{1,2}=4$ и $\frac{1,6}{0,4}=4$. Верно.
- $0,4:1,6 = 1,2:4,8$. Проверка: $\frac{0,4}{1,6}=0,25$ и $\frac{1,2}{4,8}=0,25$. Верно.
- $0,4:1,2 = 1,6:4,8$. Проверка: $\frac{0,4}{1,2}=\frac{1}{3}$ и $\frac{1,6}{4,8}=\frac{1}{3}$. Верно.
Ответ: $4,8:1,6 = 1,2:0,4; \quad 4,8:1,2 = 1,6:0,4; \quad 0,4:1,6 = 1,2:4,8; \quad 0,4:1,2 = 1,6:4,8$.

188 Для каждой тройки чисел найдите четвёртое число так, чтобы из этих четырёх чисел можно было составить пропорцию:

a) 20, 5, 7;

б) 10, 16, 3.

Сколько таких чисел вы нашли в каждом случае?

Пропорция — это равенство двух отношений, которое можно записать как $a : b = c : d$ или $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$. Основное свойство пропорции гласит, что произведение крайних членов равно произведению средних членов: $a \cdot d = b \cdot c$.

Чтобы найти четвёртое число $x$ для заданной тройки чисел, нужно рассмотреть все возможные варианты составления пропорции. В общем случае для трёх данных чисел $a, b, c$ и неизвестного $x$ существует три варианта равенства произведений, так как неизвестное число $x$ может быть в паре с каждым из данных чисел в качестве крайних (или средних) членов пропорции:

1. $a \cdot x = b \cdot c$
2. $b \cdot x = a \cdot c$
3. $c \cdot x = a \cdot b$

Пусть четвертое число равно $x$. Рассмотрим три возможных варианта, чтобы из чисел 20, 5, 7 и $x$ составить пропорцию.

1. Произведение крайних членов $20 \cdot x$ равно произведению средних $5 \cdot 7$.
$20x = 35$
$x = \frac{35}{20} = \frac{7}{4} = 1,75$.
Пример пропорции: $20 : 5 = 7 : 1,75$.

2. Произведение крайних членов $5 \cdot x$ равно произведению средних $20 \cdot 7$.
$5x = 140$
$x = \frac{140}{5} = 28$.
Пример пропорции: $5 : 20 = 7 : 28$.

3. Произведение крайних членов $7 \cdot x$ равно произведению средних $20 \cdot 5$.
$7x = 100$
$x = \frac{100}{7}$.
Пример пропорции: $7 : 20 = 5 : \frac{100}{7}$.

Таким образом, в данном случае мы нашли три различных числа, которые могут быть четвёртым членом пропорции.

Ответ: найдено 3 числа: $1,75$; $28$; $\frac{100}{7}$.

Пусть четвертое число равно $x$. Рассмотрим три возможных варианта, чтобы из чисел 10, 16, 3 и $x$ составить пропорцию.

1. Произведение крайних членов $10 \cdot x$ равно произведению средних $16 \cdot 3$.
$10x = 48$
$x = \frac{48}{10} = 4,8$.
Пример пропорции: $10 : 16 = 3 : 4,8$.

2. Произведение крайних членов $16 \cdot x$ равно произведению средних $10 \cdot 3$.
$16x = 30$
$x = \frac{30}{16} = \frac{15}{8} = 1,875$.
Пример пропорции: $16 : 10 = 3 : 1,875$.

3. Произведение крайних членов $3 \cdot x$ равно произведению средних $10 \cdot 16$.
$3x = 160$
$x = \frac{160}{3}$.
Пример пропорции: $3 : 10 = 16 : \frac{160}{3}$.

Таким образом, в этом случае мы также нашли три различных числа, которые могут быть четвёртым членом пропорции.

Ответ: найдено 3 числа: $4,8$; $1,875$; $\frac{160}{3}$.