Номер 186, страница 61 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 2.3. Пропорции. Решение задач с помощью пропорций. Глава 2. Прямая и обратная пропорциональность - номер 186, страница 61.

186 ВЕРНО ИЛИ НЕВЕРНО

Прочитайте задачу: «Если ехать на автомобиле со скоростью 65 км/ч, то от одного посёлка до другого можно проехать за 20 мин. Велосипедист проехал этот же путь за 2 ч. С какой скоростью ехал велосипедист?»

В каком случае пропорция по условию задачи составлена правильно, если буквой x обозначена скорость велосипедиста (в км/ч)?

1) $65 : x = \frac{1}{3} : 2$ 2) $x : 65 = 2 : \frac{1}{3}$ 3) $65 : x = 2 : 20$ 4) $65 : x = 2 : \frac{1}{3}$

Для решения этой задачи необходимо установить зависимость между скоростью и временем при постоянном расстоянии. Расстояние, которое проезжают автомобиль и велосипедист, одинаково. Основная формула, связывающая эти величины, — $S = v \cdot t$, где $S$ — расстояние, $v$ — скорость, а $t$ — время.

Так как расстояние $S$ постоянно, скорость $v$ и время $t$ являются обратно пропорциональными величинами. Это означает, что во сколько раз увеличивается скорость, во столько же раз уменьшается время, необходимое для преодоления того же расстояния. Математически это выражается равенством $v_1 \cdot t_1 = v_2 \cdot t_2$.

Перед составлением пропорции необходимо привести все величины к единой системе измерения. Скорость выражена в км/ч, поэтому время также следует выразить в часах.

• Скорость автомобиля ($v_а$): $65$ км/ч
• Время автомобиля ($t_а$): $20$ мин = $\frac{20}{60}$ ч = $\frac{1}{3}$ ч
• Скорость велосипедиста ($v_в$): $x$ км/ч (неизвестная величина)
• Время велосипедиста ($t_в$): $2$ ч

Для обратно пропорциональных величин (в нашем случае скорости и времени) пропорция составляется следующим образом: отношение скоростей равно обратному отношению соответствующих времен.

$ \frac{v_а}{v_в} = \frac{t_в}{t_а} $

В виде пропорции это записывается так:

$v_а : v_в = t_в : t_а$

Подставив числовые значения, получаем правильную пропорцию:

$65 : x = 2 : \frac{1}{3}$

Теперь проанализируем каждый из предложенных вариантов.

1) $65 : x = \frac{1}{3} : 2$

Эта пропорция вида $v_а : v_в = t_а : t_в$ описывает прямую пропорциональность. Она была бы верна, если бы с увеличением скорости время в пути также увеличивалось, что противоречит здравому смыслу и условию задачи. Следовательно, эта пропорция составлена неверно.

Ответ: неверно.

2) $x : 65 = 2 : \frac{1}{3}$

Используя основное свойство пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних), получаем: $x \cdot \frac{1}{3} = 65 \cdot 2$. В наших обозначениях это $v_в \cdot t_а = v_а \cdot t_в$. Это равенство не соответствует правильной зависимости $v_а \cdot t_а = v_в \cdot t_в$. Следовательно, пропорция составлена неверно.

Ответ: неверно.

3) $65 : x = 2 : 20$

В правой части этой пропорции сравниваются величины, выраженные в разных единицах: $2$ часа и $20$ минут. Для составления корректной пропорции все однородные величины должны быть приведены к единой единице измерения. Из-за этого несоответствия пропорция является неверной.

Ответ: неверно.

4) $65 : x = 2 : \frac{1}{3}$

Эта пропорция в точности совпадает с той, которую мы вывели ранее: $v_а : v_в = t_в : t_а$. Она правильно отражает обратную зависимость между скоростью и временем при постоянном расстоянии. Проверим ее через основное свойство пропорции: $65 \cdot \frac{1}{3} = x \cdot 2$. Это эквивалентно равенству $v_а \cdot t_а = v_в \cdot t_в$, что является верным. Следовательно, эта пропорция составлена правильно.

Ответ: верно.