Номер 191, страница 62 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 2.3. Пропорции. Решение задач с помощью пропорций. Глава 2. Прямая и обратная пропорциональность - номер 191, страница 62.

191 На рисунке 2.10 фигура $A_1B_1C_1D_1E_1$ является копией фигуры $ABCDE$, полученной с помощью копировальной машины, которая уменьшает все размеры в одно и то же число раз.

а) Найдите неизвестные длины сторон. б) Дополните равенства так, чтобы получились пропорции:

$\frac{AB}{A_1B_1} = \frac{AE}{...}$, $\frac{AB}{BC} = \frac{...}{B_1C_1}$, $\frac{...}{CD} = \frac{D_1E_1}{...}$

в) Найдите отношение периметров этих фигур.

Рис. 2.10

а) Найдите неизвестные длины сторон.

Поскольку многоугольник $A_1B_1C_1D_1E_1$ является уменьшенной копией многоугольника $ABCDE$, эти фигуры подобны. Это означает, что отношения длин их соответственных сторон равны. Это отношение называется коэффициентом подобия.

Найдем коэффициент подобия $k$, взяв отношение длин известных соответственных сторон $AE$ и $A_1E_1$: $k = \frac{AE}{A_1E_1} = \frac{2,5 \text{ см}}{1,5 \text{ см}} = \frac{25}{15} = \frac{5}{3}$.

Таким образом, любая сторона фигуры $ABCDE$ в $\frac{5}{3}$ раза длиннее соответствующей стороны фигуры $A_1B_1C_1D_1E_1$. Соответственно, любая сторона фигуры $A_1B_1C_1D_1E_1$ равна длине соответствующей стороны фигуры $ABCDE$, умноженной на $\frac{3}{5}$.

Вычислим неизвестные длины сторон:

• Длина стороны $BC$ соответствует стороне $B_1C_1 = 1,8$ см. Она находится из отношения $\frac{BC}{B_1C_1} = k$:
  $BC = B_1C_1 \cdot k = 1,8 \cdot \frac{5}{3} = 3$ см.
• Длина стороны $CD$ соответствует стороне $C_1D_1 = 2,4$ см. Она находится из отношения $\frac{CD}{C_1D_1} = k$:
  $CD = C_1D_1 \cdot k = 2,4 \cdot \frac{5}{3} = 4$ см.
• Длина стороны $A_1B_1$ соответствует стороне $AB = 3$ см. Она находится из отношения $\frac{AB}{A_1B_1} = k$:
  $A_1B_1 = \frac{AB}{k} = 3 \div \frac{5}{3} = 3 \cdot \frac{3}{5} = \frac{9}{5} = 1,8$ см.
• Длина стороны $D_1E_1$ соответствует стороне $DE = 2$ см. Она находится из отношения $\frac{DE}{D_1E_1} = k$:
  $D_1E_1 = \frac{DE}{k} = 2 \div \frac{5}{3} = 2 \cdot \frac{3}{5} = \frac{6}{5} = 1,2$ см.

Ответ: $BC = 3$ см, $CD = 4$ см, $A_1B_1 = 1,8$ см, $D_1E_1 = 1,2$ см.

б) Дополните равенства так, чтобы получились пропорции:

Пропорции основываются на том, что отношение соответственных сторон подобных фигур постоянно.

1. $\frac{AB}{A_1B_1} = \frac{AE}{...}$
   Чтобы равенство было верным, в знаменателе второй дроби должна стоять сторона, соответственная стороне $AE$. Это сторона $A_1E_1$.
   Получаем: $\frac{AB}{A_1B_1} = \frac{AE}{A_1E_1}$.
2. $\frac{AB}{...} = \frac{BC}{B_1C_1}$ (согласно наиболее вероятному прочтению условия на изображении)
   Это основная пропорция подобия. Чтобы равенство было верным, в знаменателе первой дроби должна стоять сторона, соответственная стороне $AB$. Это сторона $A_1B_1$.
   Получаем: $\frac{AB}{A_1B_1} = \frac{BC}{B_1C_1}$.
3. $\frac{...}{CD} = \frac{D_1E_1}{...}$
   Здесь отношение составлено как "сторона меньшей фигуры / сторона большей фигуры". Сторона, соответственная $CD$ - это $C_1D_1$. Сторона, соответственная $D_1E_1$ - это $DE$.
   Получаем: $\frac{C_1D_1}{CD} = \frac{D_1E_1}{DE}$.

Ответ: 1) $\frac{AB}{A_1B_1} = \frac{AE}{A_1E_1}$; 2) $\frac{AB}{A_1B_1} = \frac{BC}{B_1C_1}$; 3) $\frac{C_1D_1}{CD} = \frac{D_1E_1}{DE}$.

в) Найдите отношение периметров этих фигур.

Отношение периметров подобных многоугольников равно коэффициенту их подобия.

Пусть $P$ - периметр фигуры $ABCDE$, а $P_1$ - периметр фигуры $A_1B_1C_1D_1E_1$. Отношение их периметров $\frac{P}{P_1}$ будет равно отношению длин любых двух соответственных сторон.

$\frac{P}{P_1} = k = \frac{AE}{A_1E_1} = \frac{2,5}{1,5} = \frac{5}{3}$.

Для проверки можно вычислить периметры обеих фигур:
$P_{ABCDE} = AB + BC + CD + DE + EA = 3 + 3 + 4 + 2 + 2,5 = 14,5$ см.
$P_{A_1B_1C_1D_1E_1} = A_1B_1 + B_1C_1 + C_1D_1 + D_1E_1 + E_1A_1 = 1,8 + 1,8 + 2,4 + 1,2 + 1,5 = 8,7$ см.
Их отношение: $\frac{14,5}{8,7} = \frac{145}{87} = \frac{5 \cdot 29}{3 \cdot 29} = \frac{5}{3}$.

Ответ: Отношение периметра фигуры $ABCDE$ к периметру фигуры $A_1B_1C_1D_1E_1$ равно $\frac{5}{3}$.