Номер 197, страница 63 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 2.3. Пропорции. Решение задач с помощью пропорций. Глава 2. Прямая и обратная пропорциональность - номер 197, страница 63.

197 ИССЛЕДУЕМ

а) Дана пропорция 16 : 10 = 24 : 15. Убедитесь, что вы вновь получите пропорцию, если:

поменяете местами крайние члены;

поменяете местами средние члены;

замените каждое отношение обратным.

б) Используя пропорцию $ \frac{a}{b} = \frac{c}{d} $, запишите три новые пропорции. (Убедитесь в том, что полученные равенства действительно являются пропорциями.) Сформулируйте соответствующие свойства пропорции.

в) Чему равно отношение a к b, если известно, что

$ a : 1,2 = b : 1,5 $

$ 0,9 : b = 2,7 : a? $

а) Исходная пропорция: $16 : 10 = 24 : 15$. Проверим её, используя основное свойство пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних). Крайние члены — это 16 и 15, средние — 10 и 24.
$16 \times 15 = 240$
$10 \times 24 = 240$
Поскольку $240 = 240$, пропорция верна. Теперь выполним преобразования:

- поменяете местами крайние члены:
Меняем местами 16 и 15, получаем новую пропорцию: $15 : 10 = 24 : 16$.
Проверяем: $15 \times 16 = 240$ и $10 \times 24 = 240$. Равенство $240 = 240$ верно, значит, это тоже верная пропорция.

- поменяете местами средние члены:
Меняем местами 10 и 24, получаем: $16 : 24 = 10 : 15$.
Проверяем: $16 \times 15 = 240$ и $24 \times 10 = 240$. Равенство $240 = 240$ верно, значит, это тоже верная пропорция.

- замените каждое отношение обратным:
Заменяем отношение $16 : 10$ на $10 : 16$ и отношение $24 : 15$ на $15 : 24$. Получаем: $10 : 16 = 15 : 24$.
Проверяем: $10 \times 24 = 240$ и $16 \times 15 = 240$. Равенство $240 = 240$ верно, значит, это тоже верная пропорция.

Ответ: Да, во всех трех случаях вновь получается верная пропорция.

б) Дана пропорция $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$. Её основное свойство: $ad = bc$. На основе этого свойства можно вывести новые пропорции.

1. Перестановка крайних членов ($a$ и $d$):
Получаем равенство $\frac{d}{b} = \frac{c}{a}$. Проверяем его, перемножив крайние и средние члены: $d \times a = b \times c$. Равенство $da = bc$ верно, так как это основное свойство исходной пропорции.
Свойство 1: Если в верной пропорции поменять местами крайние члены, то получится верная пропорция.

2. Перестановка средних членов ($b$ и $c$):
Получаем равенство $\frac{a}{c} = \frac{b}{d}$. Проверяем: $a \times d = c \times b$. Равенство $ad = cb$ верно.
Свойство 2: Если в верной пропорции поменять местами средние члены, то получится верная пропорция.

3. Замена каждого отношения обратным:
Получаем равенство $\frac{b}{a} = \frac{d}{c}$. Проверяем: $b \times c = a \times d$. Равенство $bc = ad$ верно.
Свойство 3: Если в верной пропорции каждое отношение заменить обратным, то получится верная пропорция.

Ответ: Три новые пропорции: $\frac{d}{b}=\frac{c}{a}$, $\frac{a}{c}=\frac{b}{d}$, $\frac{b}{a}=\frac{d}{c}$. Соответствующие свойства сформулированы выше.

в)

- Для пропорции $a : 1,2 = b : 1,5$ найдем отношение $a$ к $b$.
Запишем пропорцию в виде $\frac{a}{1,2} = \frac{b}{1,5}$.
Используя свойство перестановки средних членов (1,2 и $b$), получаем:
$\frac{a}{b} = \frac{1,2}{1,5}$
Упростим дробь: $\frac{1,2}{1,5} = \frac{12}{15} = \frac{4}{5}$.
Отношение $a$ к $b$ равно $\frac{4}{5}$ или $0,8$.
Ответ: $\frac{4}{5}$.

- Для пропорции $0,9 : b = 2,7 : a$ найдем отношение $a$ к $b$.
Запишем пропорцию в виде $\frac{0,9}{b} = \frac{2,7}{a}$.
Используя основное свойство пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних), получаем:
$0,9 \times a = 2,7 \times b$
Чтобы найти $\frac{a}{b}$, разделим обе части равенства на $b$ и на $0,9$:
$\frac{a}{b} = \frac{2,7}{0,9} = \frac{27}{9} = 3$.
Отношение $a$ к $b$ равно $3$.
Ответ: $3$.