Номер 196, страница 63 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 2.3. Пропорции. Решение задач с помощью пропорций. Глава 2. Прямая и обратная пропорциональность - номер 196, страница 63.

196 а) Одна машинистка может перепечатать рукопись за 15 ч, а другая эту же рукопись — за 25 ч. Они вместе отпечатали рукопись, одновременно начав и закончив работу. Первая отпечатала 150 страниц. Сколько страниц отпечатала вторая машинистка и сколько страниц в рукописи?

б) Одно и то же расстояние один пешеход проходит за 2 ч, а другой — за 3 ч. Они одновременно вышли навстречу друг другу, первый из пункта А, второй из пункта В, и встретились в 3,6 км от пункта А. Чему равно расстояние между пунктами?

а)

Обозначим всю работу (перепечатывание рукописи) за 1.

1. Найдем производительность каждой машинистки. Производительность — это часть работы, выполняемая за единицу времени (в данном случае, за 1 час).

Производительность первой машинистки: $P_1 = \frac{1}{15}$ рукописи в час.

Производительность второй машинистки: $P_2 = \frac{1}{25}$ рукописи в час.

2. Машинистки работали вместе, то есть они работали одинаковое количество времени $t$. Объем выполненной работы каждой из них прямо пропорционален их производительности.

Найдем отношение их производительностей:

$\frac{P_1}{P_2} = \frac{1/15}{1/25} = \frac{1}{15} \cdot \frac{25}{1} = \frac{25}{15} = \frac{5}{3}$

Это означает, что отношение количества страниц, напечатанных первой машинкой ($N_1$), к количеству страниц, напечатанных второй ($N_2$), также равно $5/3$.

$\frac{N_1}{N_2} = \frac{5}{3}$

3. По условию, первая машинистка отпечатала 150 страниц ($N_1 = 150$). Подставим это значение в пропорцию, чтобы найти, сколько страниц отпечатала вторая машинистка ($N_2$):

$\frac{150}{N_2} = \frac{5}{3}$

$5 \cdot N_2 = 150 \cdot 3$

$N_2 = \frac{450}{5} = 90$ страниц.

4. Чтобы найти общее количество страниц в рукописи, сложим количество страниц, напечатанных каждой машинкой:

$N_{общ} = N_1 + N_2 = 150 + 90 = 240$ страниц.

Ответ: вторая машинистка отпечатала 90 страниц, всего в рукописи 240 страниц.

б)

Обозначим все расстояние между пунктами А и В за $S$.

1. Найдем скорости каждого пешехода. Скорость — это расстояние, деленное на время.

Скорость первого пешехода: $v_1 = \frac{S}{2}$ км/ч.

Скорость второго пешехода: $v_2 = \frac{S}{3}$ км/ч.

2. Пешеходы вышли одновременно и встретились через некоторое время $t$. Это значит, что до момента встречи они шли одинаковое количество времени. Расстояние, которое проходит каждый объект за одно и то же время, прямо пропорционально его скорости.

Найдем отношение скоростей пешеходов:

$\frac{v_1}{v_2} = \frac{S/2}{S/3} = \frac{S}{2} \cdot \frac{3}{S} = \frac{3}{2}$

3. Отношение расстояний, пройденных пешеходами до встречи ($S_1$ и $S_2$), равно отношению их скоростей:

$\frac{S_1}{S_2} = \frac{v_1}{v_2} = \frac{3}{2}$

По условию, первый пешеход (вышедший из пункта А) прошел до встречи 3,6 км. Это расстояние $S_1$.

$S_1 = 3.6$ км.

4. Подставим известное значение в пропорцию и найдем расстояние $S_2$, которое прошел второй пешеход до встречи:

$\frac{3.6}{S_2} = \frac{3}{2}$

$3 \cdot S_2 = 3.6 \cdot 2$

$S_2 = \frac{7.2}{3} = 2.4$ км.

5. Общее расстояние $S$ между пунктами А и В равно сумме расстояний, пройденных обоими пешеходами до встречи:

$S = S_1 + S_2 = 3.6 + 2.4 = 6$ км.

Ответ: расстояние между пунктами равно 6 км.