Номер 199, страница 65 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 2.4. Пропорциональное деление. Глава 2. Прямая и обратная пропорциональность - номер 199, страница 65.

199 Отношение, членами которого являются дробные числа, можно заменить отношением целых чисел, если умножить все его члены на одно и то же не равное нулю число. Упростите отношение:

а) $ \frac{1}{2} : \frac{1}{4} : \frac{1}{4} $

б) $ 1\frac{1}{3} : 1\frac{1}{2} : 1 $

в) $ 0,5 : 1 : 1,5 $

г) $ 4,5 : 2,7 : 1,8 $

Чтобы упростить отношение, членами которого являются дробные числа, необходимо привести его к отношению целых чисел. Это достигается путем умножения всех членов отношения на одно и то же число, не равное нулю. Чаще всего этим числом является наименьшее общее кратное знаменателей (для обыкновенных дробей) или степень числа 10 (для десятичных дробей).

а)

Дано отношение $\frac{1}{2} : \frac{1}{4} : \frac{1}{4}$.

Членами отношения являются обыкновенные дроби со знаменателями 2 и 4. Чтобы получить целые числа, умножим все члены отношения на наименьшее общее кратное (НОК) знаменателей.

НОК(2, 4) = 4.

Выполним умножение каждого члена отношения на 4:

$\frac{1}{2} \cdot 4 = \frac{4}{2} = 2$

$\frac{1}{4} \cdot 4 = \frac{4}{4} = 1$

$\frac{1}{4} \cdot 4 = \frac{4}{4} = 1$

Таким образом, исходное отношение заменяется отношением целых чисел $2 : 1 : 1$.

Ответ: $2 : 1 : 1$.

б)

Дано отношение $1\frac{1}{3} : 1\frac{1}{2} : 1$.

Сначала преобразуем смешанные числа в неправильные дроби, а целое число представим в виде дроби со знаменателем 1.

$1\frac{1}{3} = \frac{1 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{4}{3}$

$1\frac{1}{2} = \frac{1 \cdot 2 + 1}{2} = \frac{3}{2}$

$1 = \frac{1}{1}$

Отношение принимает вид: $\frac{4}{3} : \frac{3}{2} : \frac{1}{1}$.

Знаменатели дробей — 3 и 2. Найдем их наименьшее общее кратное: НОК(3, 2) = 6.

Умножим каждый член отношения на 6:

$\frac{4}{3} \cdot 6 = 4 \cdot 2 = 8$

$\frac{3}{2} \cdot 6 = 3 \cdot 3 = 9$

$1 \cdot 6 = 6$

Полученное отношение $8 : 9 : 6$ состоит из целых чисел, которые являются взаимно простыми, поэтому дальнейшее упрощение невозможно.

Ответ: $8 : 9 : 6$.

в)

Дано отношение $0,5 : 1 : 1,5$.

Члены этого отношения — десятичные дроби. Чтобы преобразовать их в целые числа, умножим каждый член на 10, так как максимальное число знаков после запятой равно одному.

$0,5 \cdot 10 = 5$

$1 \cdot 10 = 10$

$1,5 \cdot 10 = 15$

Получаем отношение целых чисел: $5 : 10 : 15$.

Теперь это отношение можно упростить, разделив все его члены на их наибольший общий делитель (НОД).

НОД(5, 10, 15) = 5.

Разделим каждый член отношения на 5:

$5 : 5 = 1$

$10 : 5 = 2$

$15 : 5 = 3$

Итоговое упрощенное отношение: $1 : 2 : 3$.

Ответ: $1 : 2 : 3$.

г)

Дано отношение $4,5 : 2,7 : 1,8$.

Все члены отношения являются десятичными дробями с одним знаком после запятой. Умножим каждый член на 10, чтобы получить целые числа.

$4,5 \cdot 10 = 45$

$2,7 \cdot 10 = 27$

$1,8 \cdot 10 = 18$

Получаем отношение целых чисел: $45 : 27 : 18$.

Для упрощения этого отношения найдем наибольший общий делитель (НОД) чисел 45, 27 и 18. Видно, что все три числа делятся на 9.

НОД(45, 27, 18) = 9.

Разделим каждый член отношения на 9:

$45 : 9 = 5$

$27 : 9 = 3$

$18 : 9 = 2$

Получаем итоговое упрощенное отношение: $5 : 3 : 2$.

Ответ: $5 : 3 : 2$.