Страница 65 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

198 Упростите отношение, сократив его:

а) $18 : 3 : 9;$

б) $10 : 15 : 15;$

в) $8 : 4 : 2 : 6;$

г) $12 : 42 : 30 : 24.$

а) Чтобы упростить отношение $18 : 3 : 9$, нужно найти наибольший общий делитель (НОД) для всех чисел этого отношения и разделить на него каждый член отношения.
Числа в отношении: 18, 3, 9.
Наибольший общий делитель для этих чисел — 3, так как $18 = 3 \cdot 6$, $3 = 3 \cdot 1$, $9 = 3 \cdot 3$.
Разделим каждый член отношения на 3:
$18 \div 3 = 6$
$3 \div 3 = 1$
$9 \div 3 = 3$
Таким образом, упрощенное отношение имеет вид $6 : 1 : 3$.
Ответ: $6 : 1 : 3$.

б) Чтобы упростить отношение $10 : 15 : 15$, найдем наибольший общий делитель для чисел 10 и 15.
НОД(10, 15) = 5, так как $10 = 5 \cdot 2$ и $15 = 5 \cdot 3$.
Разделим каждый член отношения на 5:
$10 \div 5 = 2$
$15 \div 5 = 3$
$15 \div 5 = 3$
В результате получаем отношение $2 : 3 : 3$.
Ответ: $2 : 3 : 3$.

в) Рассмотрим отношение $8 : 4 : 2 : 6$.
Найдем наибольший общий делитель для чисел 8, 4, 2 и 6. Все числа являются четными, и их наименьший член равен 2. Проверим, делятся ли все остальные члены на 2. Да, делятся. Значит, НОД(8, 4, 2, 6) = 2.
Разделим каждый член отношения на 2:
$8 \div 2 = 4$
$4 \div 2 = 2$
$2 \div 2 = 1$
$6 \div 2 = 3$
Упрощенное отношение: $4 : 2 : 1 : 3$.
Ответ: $4 : 2 : 1 : 3$.

г) Упростим отношение $12 : 42 : 30 : 24$.
Найдем наибольший общий делитель для чисел 12, 42, 30 и 24.
Все числа четные, значит делятся на 2.
Сумма цифр каждого числа делится на 3 ($1+2=3, 4+2=6, 3+0=3, 2+4=6$), значит все числа делятся на 3.
Так как числа делятся и на 2, и на 3, они делятся и на 6.
НОД(12, 42, 30, 24) = 6.
Разделим каждый член отношения на 6:
$12 \div 6 = 2$
$42 \div 6 = 7$
$30 \div 6 = 5$
$24 \div 6 = 4$
Получаем отношение $2 : 7 : 5 : 4$.
Ответ: $2 : 7 : 5 : 4$.

199 Отношение, членами которого являются дробные числа, можно заменить отношением целых чисел, если умножить все его члены на одно и то же не равное нулю число. Упростите отношение:

а) $ \frac{1}{2} : \frac{1}{4} : \frac{1}{4} $

б) $ 1\frac{1}{3} : 1\frac{1}{2} : 1 $

в) $ 0,5 : 1 : 1,5 $

г) $ 4,5 : 2,7 : 1,8 $

Чтобы упростить отношение, членами которого являются дробные числа, необходимо привести его к отношению целых чисел. Это достигается путем умножения всех членов отношения на одно и то же число, не равное нулю. Чаще всего этим числом является наименьшее общее кратное знаменателей (для обыкновенных дробей) или степень числа 10 (для десятичных дробей).

Дано отношение $\frac{1}{2} : \frac{1}{4} : \frac{1}{4}$.

Членами отношения являются обыкновенные дроби со знаменателями 2 и 4. Чтобы получить целые числа, умножим все члены отношения на наименьшее общее кратное (НОК) знаменателей.

НОК(2, 4) = 4.

Выполним умножение каждого члена отношения на 4:

$\frac{1}{2} \cdot 4 = \frac{4}{2} = 2$

$\frac{1}{4} \cdot 4 = \frac{4}{4} = 1$

$\frac{1}{4} \cdot 4 = \frac{4}{4} = 1$

Таким образом, исходное отношение заменяется отношением целых чисел $2 : 1 : 1$.

Ответ: $2 : 1 : 1$.

Дано отношение $1\frac{1}{3} : 1\frac{1}{2} : 1$.

Сначала преобразуем смешанные числа в неправильные дроби, а целое число представим в виде дроби со знаменателем 1.

$1\frac{1}{3} = \frac{1 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{4}{3}$

$1\frac{1}{2} = \frac{1 \cdot 2 + 1}{2} = \frac{3}{2}$

$1 = \frac{1}{1}$

Отношение принимает вид: $\frac{4}{3} : \frac{3}{2} : \frac{1}{1}$.

Знаменатели дробей — 3 и 2. Найдем их наименьшее общее кратное: НОК(3, 2) = 6.

Умножим каждый член отношения на 6:

$\frac{4}{3} \cdot 6 = 4 \cdot 2 = 8$

$\frac{3}{2} \cdot 6 = 3 \cdot 3 = 9$

$1 \cdot 6 = 6$

Полученное отношение $8 : 9 : 6$ состоит из целых чисел, которые являются взаимно простыми, поэтому дальнейшее упрощение невозможно.

Ответ: $8 : 9 : 6$.

Дано отношение $0,5 : 1 : 1,5$.

Члены этого отношения — десятичные дроби. Чтобы преобразовать их в целые числа, умножим каждый член на 10, так как максимальное число знаков после запятой равно одному.

$0,5 \cdot 10 = 5$

$1 \cdot 10 = 10$

$1,5 \cdot 10 = 15$

Получаем отношение целых чисел: $5 : 10 : 15$.

Теперь это отношение можно упростить, разделив все его члены на их наибольший общий делитель (НОД).

НОД(5, 10, 15) = 5.

Разделим каждый член отношения на 5:

$5 : 5 = 1$

$10 : 5 = 2$

$15 : 5 = 3$

Итоговое упрощенное отношение: $1 : 2 : 3$.

Ответ: $1 : 2 : 3$.

Дано отношение $4,5 : 2,7 : 1,8$.

Все члены отношения являются десятичными дробями с одним знаком после запятой. Умножим каждый член на 10, чтобы получить целые числа.

$4,5 \cdot 10 = 45$

$2,7 \cdot 10 = 27$

$1,8 \cdot 10 = 18$

Получаем отношение целых чисел: $45 : 27 : 18$.

Для упрощения этого отношения найдем наибольший общий делитель (НОД) чисел 45, 27 и 18. Видно, что все три числа делятся на 9.

НОД(45, 27, 18) = 9.

Разделим каждый член отношения на 9:

$45 : 9 = 5$

$27 : 9 = 3$

$18 : 9 = 2$

Получаем итоговое упрощенное отношение: $5 : 3 : 2$.

Ответ: $5 : 3 : 2$.

200 1) Распределите 70 билетов между тремя классами пропорционально числам $2$, $3$ и $5$.

2) Разделите число $x$ на части, пропорциональные числам $a$, $b$, $c$.

1) Чтобы распределить 70 билетов между тремя классами пропорционально числам 2, 3 и 5, нужно сначала найти общее количество пропорциональных частей. Для этого сложим числа, которым пропорциональны доли:

$2 + 3 + 5 = 10$

Всего получается 10 частей.

Теперь определим, сколько билетов приходится на одну такую часть. Для этого разделим общее количество билетов на общее количество частей:

$70 \div 10 = 7$

Таким образом, на одну часть приходится 7 билетов.

Теперь рассчитаем количество билетов для каждого класса, умножив количество билетов в одной части на соответствующий коэффициент пропорциональности:

• Для первого класса (пропорционально 2): $2 \times 7 = 14$ билетов.
• Для второго класса (пропорционально 3): $3 \times 7 = 21$ билет.
• Для третьего класса (пропорционально 5): $5 \times 7 = 35$ билетов.

Проверим, что сумма билетов равна 70:

$14 + 21 + 35 = 70$

Расчет верен.

Ответ: 14 билетов, 21 билет и 35 билетов.

2) Чтобы разделить число $x$ на части, пропорциональные числам $a$, $b$ и $c$, введем коэффициент пропорциональности $k$. Тогда искомые части можно представить в виде $ak$, $bk$ и $ck$.

Сумма этих частей должна быть равна исходному числу $x$:

$ak + bk + ck = x$

Вынесем общий множитель $k$ за скобки:

$k(a + b + c) = x$

Отсюда найдем коэффициент пропорциональности $k$ (при условии, что $a+b+c \neq 0$):

$k = \frac{x}{a + b + c}$

Теперь, зная коэффициент $k$, мы можем найти каждую из частей, подставив в выражения $ak$, $bk$ и $ck$ найденное значение $k$:

• Первая часть: $ak = a \cdot \frac{x}{a + b + c} = \frac{ax}{a + b + c}$
• Вторая часть: $bk = b \cdot \frac{x}{a + b + c} = \frac{bx}{a + b + c}$
• Третья часть: $ck = c \cdot \frac{x}{a + b + c} = \frac{cx}{a + b + c}$

Ответ: части равны $\frac{ax}{a+b+c}$, $\frac{bx}{a+b+c}$ и $\frac{cx}{a+b+c}$.

201 Осенью учащиеся трёх классов работали в теплицах: 5 класс — 28 ч, 6 класс — 42 ч, 7 класс — 56 ч. Тепличное хозяйство оплатило их работу в размере 54 000 р. Как разделить эту сумму между тремя классами?

Для того чтобы справедливо разделить общую сумму денег, необходимо распределить ее пропорционально времени, которое отработал каждый класс. Это задача на пропорциональное деление.

1. Сначала найдем общее количество часов, отработанных всеми тремя классами вместе:

$28 + 42 + 56 = 126$ (часов) – общее время работы.

2. Теперь вычислим стоимость одного часа работы. Для этого разделим общую сумму вознаграждения на общее количество отработанных часов:

$54000 \text{ р.} \div 126 \text{ ч.} = \frac{54000}{126} \frac{\text{р.}}{\text{ч.}}$

Для удобства дальнейших расчетов сократим полученную дробь. Заметим, что все числа (28, 42, 56) делятся на 14. Сумма $28+42+56=126$ также делится на 14 ($126 \div 14 = 9$). Сократим дробь стоимости часа на 9, а затем на 14, или сразу на 126, если это возможно. Проще всего сокращать поэтапно, например, на 9:

$\frac{54000}{126} = \frac{6000}{14} = \frac{3000}{7}$ (рублей за час).

3. Зная стоимость одного часа, рассчитаем, какую сумму должен получить каждый класс, умножив количество отработанных им часов на стоимость часа:

Сумма для 5 класса: $28 \text{ ч.} \times \frac{3000}{7} \frac{\text{р.}}{\text{ч.}} = \frac{28}{7} \times 3000 = 4 \times 3000 = 12000$ (рублей).

Сумма для 6 класса: $42 \text{ ч.} \times \frac{3000}{7} \frac{\text{р.}}{\text{ч.}} = \frac{42}{7} \times 3000 = 6 \times 3000 = 18000$ (рублей).

Сумма для 7 класса: $56 \text{ ч.} \times \frac{3000}{7} \frac{\text{р.}}{\text{ч.}} = \frac{56}{7} \times 3000 = 8 \times 3000 = 24000$ (рублей).

4. Для проверки можно сложить полученные суммы. Результат должен быть равен исходной общей сумме:

$12000 + 18000 + 24000 = 30000 + 24000 = 54000$ (рублей). Расчеты верны.

Ответ: сумму в 54 000 р. следует разделить следующим образом: 12 000 р. для 5 класса, 18 000 р. для 6 класса и 24 000 р. для 7 класса.

202 Из лекарственных трав — шалфея, ромашки и валерианы — составили сбор, взяв их в отношении $2:5:3$. Какой процент этого сбора составляет каждая из трав?

Для решения задачи необходимо определить общее количество частей в сборе, а затем рассчитать, какую долю от этого общего количества составляет каждая трава, и выразить эту долю в процентах.

1. Сначала найдем общее количество условных частей в сборе. Согласно условию, травы взяты в отношении $2 : 5 : 3$.

Сложим все части:

$2 \text{ (шалфей)} + 5 \text{ (ромашка)} + 3 \text{ (валериана)} = 10 \text{ (частей)}$

Таким образом, весь сбор состоит из 10 равных частей. Эти 10 частей составляют 100% сбора.

2. Теперь рассчитаем процентное содержание каждой травы в сборе.

Шалфей

Шалфей составляет 2 части из 10. Чтобы найти процентное содержание, нужно разделить количество частей шалфея на общее количество частей и умножить на 100%.

$\frac{2}{10} \cdot 100\% = 0,2 \cdot 100\% = 20\%$

Ответ: шалфей составляет 20% сбора.

Ромашка

Ромашка составляет 5 частей из 10. Рассчитаем её процентное содержание аналогичным образом.

$\frac{5}{10} \cdot 100\% = 0,5 \cdot 100\% = 50\%$

Ответ: ромашка составляет 50% сбора.

Валериана

Валериана составляет 3 части из 10. Рассчитаем её процентное содержание.

$\frac{3}{10} \cdot 100\% = 0,3 \cdot 100\% = 30\%$

Ответ: валериана составляет 30% сбора.

Для проверки можно сложить полученные проценты: $20\% + 50\% + 30\% = 100\%$. Расчеты верны.

203 Три цветовода решили выращивать цветы на продажу. В дело они вложили соответственно 2 тыс., 1,3 тыс. и 1,7 тыс. р. Какой процент прибыли получит каждый из них?

Прибыль распределяется пропорционально вложенным средствам. Чтобы найти, какой процент прибыли получит каждый цветовод, нужно сначала найти общую сумму вложений, а затем определить долю (часть) каждого цветовода в этой сумме и выразить ее в процентах.

1. Найдем общую сумму вложений.
Сложим вклады всех трех цветоводов: $2 \text{ тыс. р.} + 1,3 \text{ тыс. р.} + 1,7 \text{ тыс. р.} = 5 \text{ тыс. р.}$

Общая сумма вложений составляет 5 тысяч рублей, что является 100% от всех вложенных средств.

2. Рассчитаем процент прибыли для каждого цветовода.

Первый цветовод
Вклад: 2 тыс. р.
Чтобы найти его долю в процентах, разделим его вклад на общую сумму и умножим на 100%. $ \frac{2}{5} \cdot 100\% = 0,4 \cdot 100\% = 40\% $

Ответ: первый цветовод получит 40% прибыли.

Второй цветовод
Вклад: 1,3 тыс. р.
Рассчитаем его процент прибыли аналогичным образом: $ \frac{1,3}{5} \cdot 100\% = 0,26 \cdot 100\% = 26\% $

Ответ: второй цветовод получит 26% прибыли.

Третий цветовод
Вклад: 1,7 тыс. р.
Рассчитаем его процент прибыли: $ \frac{1,7}{5} \cdot 100\% = 0,34 \cdot 100\% = 34\% $

Ответ: третий цветовод получит 34% прибыли.

Для проверки можно сложить полученные проценты: $40\% + 26\% + 34\% = 100\%$. Расчеты верны.

204 1) В выставке собак участвовали собаки больших, средних и мелких пород, число которых находилось в отношении 4 : 8 : 3. Сколько всего собак на выставке, если:

а) собак мелких пород всего 6;

б) собак больших и средних пород вместе 36;

в) собак средних пород на 20 больше, чем мелких?

2) Для подготовки викторины «Крупнейшие столицы мира» учащиеся составили вопросы по темам «Географическое положение», «Климат», «Экономика», «Культура», которые решили взять в отношении 4 : 2 : 1 : 5. Сколько всего вопросов будет в викторине, если включить:

а) $x$ вопросов по географическому положению;

б) $y$ вопросов по экономике и культуре?

Задача 1

Пусть $k$ — коэффициент пропорциональности. Тогда число собак больших пород равно $4k$, средних пород — $8k$, а мелких пород — $3k$.

Общее число собак на выставке составляет $4k + 8k + 3k = 15k$.

а) собак мелких пород всего 6;

По условию, число собак мелких пород равно 6. Следовательно, $3k = 6$.

Найдем коэффициент пропорциональности $k$: $k = 6 / 3 = 2$.

Теперь найдем общее число собак на выставке: $15k = 15 \times 2 = 30$.

Ответ: 30 собак.

б) собак больших и средних пород вместе 36;

По условию, сумма собак больших и средних пород равна 36. Следовательно, $4k + 8k = 36$.

Решим уравнение: $12k = 36$, откуда $k = 36 / 12 = 3$.

Найдем общее число собак на выставке: $15k = 15 \times 3 = 45$.

Ответ: 45 собак.

в) собак средних пород на 20 больше, чем мелких?

По условию, число собак средних пород на 20 больше числа собак мелких пород. Следовательно, $8k = 3k + 20$.

Решим уравнение: $8k - 3k = 20$, то есть $5k = 20$, откуда $k = 20 / 5 = 4$.

Найдем общее число собак на выставке: $15k = 15 \times 4 = 60$.

Ответ: 60 собак.

Задача 2

Пусть $m$ — коэффициент пропорциональности для количества вопросов. Тогда число вопросов по темам распределяется следующим образом:

• «Географическое положение»: $4m$
• «Климат»: $2m$
• «Экономика»: $m$
• «Культура»: $5m$

Общее число вопросов в викторине составляет $4m + 2m + m + 5m = 12m$.

а) x вопросов по географическому положению;

По условию, количество вопросов по географическому положению равно $x$. Следовательно, $4m = x$.

Выразим коэффициент $m$ через $x$: $m = x / 4$.

Подставим это выражение в формулу для общего числа вопросов: $12m = 12 \times (x / 4) = 3x$.

Ответ: $3x$ вопросов.

б) y вопросов по экономике и культуре?

По условию, суммарное количество вопросов по экономике и культуре равно $y$. Следовательно, $m + 5m = y$.

Решим уравнение: $6m = y$, откуда $m = y / 6$.

Подставим это выражение в формулу для общего числа вопросов: $12m = 12 \times (y / 6) = 2y$.

Ответ: $2y$ вопросов.