Страница 68 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

214 Найдите неизвестный член пропорции:

а) $ \frac{x}{2,25} = \frac{2}{1,5} $;

б) $ \frac{4,5}{18} = \frac{x}{2,5} $;

в) $ \frac{1,75}{0,85} = \frac{2,4}{x} $;

г) $ \frac{0,23}{x} = \frac{6,9}{15} $.

а)

Дана пропорция $ \frac{x}{2,25} = \frac{2}{1,5} $.

Сначала упростим правую часть пропорции. Умножим числитель и знаменатель на 10, чтобы избавиться от десятичной дроби:

$ \frac{2}{1,5} = \frac{20}{15} $

Сократим полученную дробь на 5:

$ \frac{20}{15} = \frac{4}{3} $

Теперь пропорция имеет вид:

$ \frac{x}{2,25} = \frac{4}{3} $

Чтобы найти $x$, умножим $2,25$ на $ \frac{4}{3} $. Представим $2,25$ в виде обыкновенной дроби:

$ 2,25 = 2 \frac{25}{100} = 2 \frac{1}{4} = \frac{9}{4} $

Теперь вычислим $x$:

$ x = \frac{9}{4} \cdot \frac{4}{3} = \frac{9 \cdot 4}{4 \cdot 3} = \frac{9}{3} = 3 $

Ответ: 3

б)

Дана пропорция $ \frac{4,5}{18} = \frac{x}{2,5} $.

Сначала упростим левую часть пропорции. Умножим числитель и знаменатель на 10:

$ \frac{4,5}{18} = \frac{45}{180} $

Сократим полученную дробь. Заметим, что $180 = 4 \cdot 45$:

$ \frac{45}{180} = \frac{1}{4} = 0,25 $

Теперь пропорция имеет вид:

$ 0,25 = \frac{x}{2,5} $

Отсюда находим $x$:

$ x = 0,25 \cdot 2,5 = 0,625 $

Ответ: 0,625

в)

Дана пропорция $ \frac{1,75}{0,85} = \frac{2,4}{x} $.

Упростим левую часть, умножив числитель и знаменатель на 100:

$ \frac{1,75}{0,85} = \frac{175}{85} $

Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на 5:

$ \frac{175 \div 5}{85 \div 5} = \frac{35}{17} $

Теперь пропорция имеет вид:

$ \frac{35}{17} = \frac{2,4}{x} $

Применим основное свойство пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних):

$ 35 \cdot x = 17 \cdot 2,4 $

$ 35x = 40,8 $

Выразим $x$:

$ x = \frac{40,8}{35} $

Умножим числитель и знаменатель на 10, чтобы избавиться от десятичной дроби, и сократим:

$ x = \frac{408}{350} = \frac{204}{175} $

Данная дробь является несократимой. Ее можно записать в виде смешанного числа $1 \frac{29}{175}$.

Ответ: $ \frac{204}{175} $

г)

Дана пропорция $ \frac{0,23}{x} = \frac{6,9}{15} $.

Сначала упростим правую часть пропорции:

$ \frac{6,9}{15} = \frac{69}{150} $

Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на 3:

$ \frac{69 \div 3}{150 \div 3} = \frac{23}{50} = 0,46 $

Теперь пропорция имеет вид:

$ \frac{0,23}{x} = 0,46 $

Отсюда находим $x$:

$ 0,23 = 0,46 \cdot x $

$ x = \frac{0,23}{0,46} = \frac{23}{46} = \frac{1}{2} = 0,5 $

Ответ: 0,5

215. Дано равенство $xy = zv$. Составьте четыре пропорции, членами которых являются те же числа $x, y, z$ и $v$.

Пропорция — это равенство двух отношений, например $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$. Основное свойство пропорции заключается в том, что произведение её крайних членов ($a$ и $d$) равно произведению средних членов ($b$ и $c$): $ad = bc$.

Нам дано равенство $xy = zv$. Чтобы составить из него пропорцию, нам нужно расставить числа $x, y, z, v$ на места членов пропорции так, чтобы основное свойство выполнялось. Существует несколько способов это сделать.

1.

Первый способ — сделать одну пару множителей ($x, y$) крайними членами пропорции, а другую ($z, v$) — средними. Например, пусть $x$ и $y$ — крайние члены, а $z$ и $v$ — средние. Тогда получаем пропорцию:

$\frac{x}{z} = \frac{v}{y}$

Проверяем по основному свойству: произведение крайних членов $x \cdot y$, произведение средних членов $z \cdot v$. Получаем $xy = zv$, что соответствует исходному условию.

Ответ: $\frac{x}{z} = \frac{v}{y}$

2.

Используя свойство пропорции, мы можем поменять местами средние члены ($z$ и $v$) в предыдущей пропорции и получить новую верную пропорцию. Если $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$, то верно и $\frac{a}{c} = \frac{b}{d}$.

$\frac{x}{v} = \frac{z}{y}$

Проверяем: произведение крайних членов $x \cdot y$, произведение средних членов $v \cdot z$. Получаем $xy = vz$, что соответствует исходному условию.

Ответ: $\frac{x}{v} = \frac{z}{y}$

3.

Второй способ — сделать наоборот: пару множителей ($z, v$) сделать крайними членами, а пару ($x, y$) — средними. Например, пусть $z$ и $v$ — крайние члены, а $x$ и $y$ — средние. Тогда получаем:

$\frac{z}{x} = \frac{y}{v}$

Проверяем: произведение крайних членов $z \cdot v$, произведение средних членов $x \cdot y$. Получаем $zv = xy$, что соответствует исходному условию.

Ответ: $\frac{z}{x} = \frac{y}{v}$

4.

Аналогично второму пункту, поменяем местами средние члены ($x$ и $y$) в третьей пропорции:

$\frac{z}{y} = \frac{x}{v}$

Проверяем: произведение крайних членов $z \cdot v$, произведение средних членов $y \cdot x$. Получаем $zv = yx$, что соответствует исходному условию.

Ответ: $\frac{z}{y} = \frac{x}{v}$

которых являются те же числа $x, y,$ и $z$.

Известно, что $15x = 12y$. Найдите отношение $x$ к $y$.

Чтобы найти отношение $x$ к $y$, необходимо выразить дробь $\frac{x}{y}$ из данного равенства $15x = 12y$.

Для этого выполним следующие шаги:

1. Возьмем исходное уравнение:
$15x = 12y$

2. Чтобы получить в левой части отношение $\frac{x}{y}$, разделим обе части уравнения на $y$ (предполагая, что $y \neq 0$).
$15 \frac{x}{y} = 12$

3. Теперь, чтобы выделить искомое отношение, разделим обе части уравнения на 15:
$\frac{x}{y} = \frac{12}{15}$

4. Сократим полученную дробь. Наибольший общий делитель чисел 12 и 15 равен 3.
$\frac{x}{y} = \frac{12 \div 3}{15 \div 3} = \frac{4}{5}$

Отношение $x$ к $y$ также можно записать в виде десятичной дроби: $\frac{4}{5} = 0.8$.

Ответ: $\frac{4}{5}$

217 Известно, что 20% числа $a$ равны 30% числа $b$. Найдите отношение $a$ к $b$.

Для решения задачи сначала представим проценты в виде десятичных дробей. 20% от числа $a$ можно записать как $0.2 \cdot a$, а 30% от числа $b$ как $0.3 \cdot b$.

Согласно условию, эти два значения равны. Составим уравнение: $0.2 \cdot a = 0.3 \cdot b$

Нам необходимо найти отношение $a$ к $b$, то есть значение выражения $\frac{a}{b}$. Для этого преобразуем полученное уравнение. Разделим обе его части на $b$ (при условии, что $b \neq 0$): $0.2 \cdot \frac{a}{b} = 0.3$

Теперь, чтобы найти $\frac{a}{b}$, разделим обе части уравнения на $0.2$: $\frac{a}{b} = \frac{0.3}{0.2}$

Для удобства вычислений избавимся от десятичных дробей в числителе и знаменателе, умножив их на 10: $\frac{a}{b} = \frac{0.3 \cdot 10}{0.2 \cdot 10} = \frac{3}{2}$

Данное отношение можно также представить в виде десятичной дроби $1.5$.

Ответ: $\frac{3}{2}$

218 Решите задачу, составив пропорцию:

а) В библиотеке 8 тыс. книг. Книги для детей составляют 35% всех книг. Сколько в библиотеке книг для взрослых?

б) В первый день открытия библиотеки в нее записались 42 читателя, что составило 17,5% всех читателей библиотеки, записавшихся к концу месяца. Сколько читателей стало в библиотеке через месяц после ее открытия?

в) Из 300 читателей библиотеки 108 человек — школьники. Какой процент всех читателей составляют школьники?

Образец. В городе 72 тыс. жителей. Из них 18% — дети до десяти лет. Сколько детей до десяти лет живёт в этом городе?

Решение. Примем всё население города за 100% и запишем кратко условие задачи:

72 000 — 100%,

x — 18%.

Составим пропорцию:

$\frac{72000}{x} = \frac{100}{18}$

Найдём x: $x = \frac{72000 \cdot 18}{100} = 12960$.

Ответ. В городе 12 960 детей до десяти лет.

а)

Всего в библиотеке 8 тыс. книг, то есть 8000 книг, что составляет 100% всего книжного фонда. Книги для детей составляют 35%. Чтобы найти количество книг для взрослых, сначала найдем, какой процент они составляют от общего числа книг.

$100\% - 35\% = 65\%$

Теперь, зная, что 65% всех книг предназначены для взрослых, составим пропорцию. Пусть $x$ — это количество книг для взрослых.

8000 книг — 100%
$x$ книг — 65%

Составим и решим пропорцию:

$\frac{8000}{x} = \frac{100}{65}$

$x = \frac{8000 \cdot 65}{100} = 80 \cdot 65 = 5200$

Следовательно, в библиотеке 5200 книг для взрослых.

Ответ: 5200 книг для взрослых.

б)

Пусть $x$ — общее количество читателей, записавшихся в библиотеку к концу месяца. Это количество мы принимаем за 100%.

По условию, 42 читателя, которые записались в первый день, составляют 17,5% от общего числа. Составим пропорцию:

$x$ читателей — 100%
42 читателя — 17,5%

Составим и решим пропорцию:

$\frac{x}{42} = \frac{100}{17.5}$

$x = \frac{42 \cdot 100}{17.5} = \frac{4200}{17.5}$

Чтобы избавиться от дроби в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на 10:

$x = \frac{42000}{175} = 240$

Значит, через месяц после открытия в библиотеке стало 240 читателей.

Ответ: 240 читателей.

в)

Общее число читателей библиотеки — 300 человек. Это количество мы принимаем за 100%.

Из них 108 человек — школьники. Нам нужно найти, какой процент от общего числа читателей они составляют. Обозначим этот процент за $x$.

Составим пропорцию:

300 читателей — 100%
108 читателей — $x$%

Составим и решим пропорцию:

$\frac{300}{108} = \frac{100}{x}$

$x = \frac{108 \cdot 100}{300} = \frac{10800}{300} = \frac{108}{3} = 36$

Следовательно, школьники составляют 36% всех читателей библиотеки.

Ответ: 36%.

219 a) В строительстве бассейна используют белый и чёрный кафель в отношении $5:2$. Сколько надо белого кафеля, если требуется 450 плиток чёрного?

б) В сплаве, состоящем из золота и меди, масса золота относится к массе меди как $6:5$. Найдите массу золота в сплаве, содержащем 75 г меди.

а) В задаче указано, что белый и чёрный кафель используются в отношении 5:2. Это значит, что на каждые 5 частей белого кафеля приходится 2 части чёрного. Мы можем составить пропорцию, где $Б$ – количество белого кафеля, а $Ч$ – количество чёрного кафеля:
$\frac{Б}{Ч} = \frac{5}{2}$
По условию, требуется 450 плиток чёрного кафеля, то есть $Ч = 450$. Подставим это значение в нашу пропорцию:
$\frac{Б}{450} = \frac{5}{2}$
Теперь решим это уравнение относительно $Б$, чтобы найти количество белого кафеля:
$Б = \frac{5}{2} \cdot 450 = 5 \cdot \frac{450}{2} = 5 \cdot 225 = 1125$
Таким образом, потребуется 1125 плиток белого кафеля.
Ответ: 1125 плиток белого кафеля.

б) В этой задаче дано отношение массы золота к массе меди в сплаве как 6:5. Обозначим массу золота как $m_{з}$ и массу меди как $m_{м}$. Составим пропорцию на основе данного отношения:
$\frac{m_{з}}{m_{м}} = \frac{6}{5}$
Из условия известно, что сплав содержит 75 г меди, то есть $m_{м} = 75$ г. Подставим это значение в пропорцию:
$\frac{m_{з}}{75} = \frac{6}{5}$
Чтобы найти массу золота $m_{з}$, решим полученное уравнение:
$m_{з} = \frac{6}{5} \cdot 75 = 6 \cdot \frac{75}{5} = 6 \cdot 15 = 90$
Следовательно, масса золота в сплаве составляет 90 г.
Ответ: 90 г золота.

220 Размеры участка земли прямоугольной формы 30 и 50 м. Начертите план этого участка в масштабе 1 : 500. Укажите на плане возможное расположение ворот, если они будут установлены на длинной стороне участка на расстоянии 20 м от одного из углов и ширина их будет равна 3 м.

Для того чтобы начертить план участка, сначала необходимо вычислить его размеры в масштабе 1:500. Этот масштаб означает, что каждый сантиметр на плане соответствует 500 сантиметрам (или 5 метрам) на местности.

Реальные размеры участка и элементов на нем составляют:

• Длинная сторона: 50 м
• Короткая сторона: 30 м
• Расстояние от ворот до угла: 20 м
• Ширина ворот: 3 м

Переведем эти размеры в сантиметры для удобства расчетов:

• $50 \text{ м} = 50 \times 100 \text{ см} = 5000 \text{ см}$
• $30 \text{ м} = 30 \times 100 \text{ см} = 3000 \text{ см}$
• $20 \text{ м} = 20 \times 100 \text{ см} = 2000 \text{ см}$
• $3 \text{ м} = 3 \times 100 \text{ см} = 300 \text{ см}$

Теперь рассчитаем соответствующие размеры для плана, разделив реальные размеры на 500:

• Длина большей стороны на плане: $5000 \text{ см} \div 500 = 10 \text{ см}$
• Длина меньшей стороны на плане: $3000 \text{ см} \div 500 = 6 \text{ см}$
• Расстояние от угла до ворот на плане: $2000 \text{ см} \div 500 = 4 \text{ см}$
• Ширина ворот на плане: $300 \text{ см} \div 500 = 0.6 \text{ см}$ (что равно 6 мм)

Построение плана

1. Начертите прямоугольник со сторонами 10 см и 6 см. Это будет план самого участка.

2. Ворота, согласно условию, располагаются на длинной стороне (длиной 10 см).

3. Чтобы указать их расположение, выберите одну из длинных сторон. От любого угла на этой стороне отмерьте вдоль нее расстояние в 4 см.

4. От этой точки отмерьте еще 0.6 см (6 мм) в том же направлении. Полученный отрезок и будет изображением ворот на плане.

Так как у прямоугольника две длинные стороны, и на каждой из них по два угла, то всего существует четыре возможных варианта расположения ворот. На плане достаточно указать одно из этих возможных расположений.

Ответ: План участка представляет собой прямоугольник со сторонами 10 см и 6 см. Ворота должны быть отмечены на одной из длинных сторон в виде отрезка длиной 0.6 см (6 мм), который начинается на расстоянии 4 см от одного из углов этой стороны.