Страница 75 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Назовите свойства сложения и умножения чисел и запишите соответству- ющие буквенные равенства.

Переместительное свойство (коммутативность). Это свойство гласит, что результат операции не зависит от порядка операндов.
Для сложения: от перемены мест слагаемых сумма не меняется. Буквенное равенство для любых чисел a и b: $a + b = b + a$.
Для умножения: от перемены мест множителей произведение не меняется. Буквенное равенство для любых чисел a и b: $a \cdot b = b \cdot a$.
Ответ: $a + b = b + a$ и $a \cdot b = b \cdot a$.

Сочетательное свойство (ассоциативность). Это свойство гласит, что при последовательном выполнении одной и той же операции порядок группировки чисел не имеет значения.
Для сложения: чтобы к сумме двух чисел прибавить третье, можно к первому числу прибавить сумму второго и третьего. Буквенное равенство для любых чисел a, b и c: $(a + b) + c = a + (b + c)$.
Для умножения: чтобы произведение двух чисел умножить на третье, можно первое число умножить на произведение второго и третьего. Буквенное равенство для любых чисел a, b и c: $(a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)$.
Ответ: $(a + b) + c = a + (b + c)$ и $(a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)$.

Распределительное свойство (дистрибутивность). Это свойство связывает операции сложения и умножения. Чтобы умножить число на сумму, можно это число умножить на каждое слагаемое в отдельности, а затем сложить полученные произведения. Буквенное равенство для любых чисел a, b и c:
$a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c$.
Ответ: $a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c$.

Какие вычислительные приёмы рассмотрены в примерах 1 и 2? Назовите их и запишите соответствующие равенства с помощью букв.

Поскольку в самом вопросе не представлены конкретные примеры 1 и 2, мы рассмотрим два наиболее вероятных и часто изучаемых вычислительных приёма, которые основаны на фундаментальных свойствах арифметических операций.

Пример 1

Вероятнее всего, в первом примере рассматривается вычислительный приём, основанный на сочетательном свойстве сложения. В школьной программе этот приём часто называют «прибавление числа к сумме» или «прибавление суммы к числу».

Этот приём позволяет упрощать вычисления путём удобной перегруппировки слагаемых. Чтобы прибавить число к сумме двух чисел, можно прибавить его к любому из слагаемых, а затем к результату прибавить другое слагаемое.

Буквенная запись этого свойства (равенства) выглядит так:

$ (a + b) + c = a + (b + c) $

Ответ: Рассмотрен приём, основанный на сочетательном свойстве сложения (прибавление к числу суммы или к сумме числа). Соответствующее равенство: $ (a + b) + c = a + (b + c) $.

Пример 2

Во втором примере, скорее всего, рассматривается вычислительный приём, основанный на распределительном свойстве умножения относительно сложения. Этот приём называют «умножение суммы на число».

Этот приём используется для упрощения умножения. Чтобы умножить сумму на число, можно умножить на это число каждое слагаемое по отдельности, а затем сложить полученные результаты. Этот метод особенно полезен при умножении многозначного числа на однозначное, когда многозначное число представляют в виде суммы разрядных слагаемых.

Буквенная запись этого свойства (равенства) выглядит так:

$ (a + b) \cdot c = a \cdot c + b \cdot c $

Ответ: Рассмотрен приём умножения суммы на число, основанный на распределительном свойстве умножения. Соответствующее равенство: $ (a + b) \cdot c = a \cdot c + b \cdot c $.

Два вычислительных приёма записаны в буквенном виде:

$a + (b - c) = a + b - c;$

$(a - b) \cdot c = ac - bc.$

Назовите и сформулируйте каждый из них; приведите иллюстрирующие их числовые примеры.

$a + (b - c) = a + b - c$

Название правила: Сложение числа и разности.

Формулировка: Чтобы к числу прибавить разность двух чисел, можно к этому числу прибавить уменьшаемое и из полученной суммы вычесть вычитаемое.

Иллюстрирующий числовой пример:
Пусть $a = 25$, $b = 15$, $c = 10$.
Вычислим левую часть равенства:
$25 + (15 - 10) = 25 + 5 = 30$.
Вычислим правую часть равенства:
$25 + 15 - 10 = 40 - 10 = 30$.
Так как $30 = 30$, равенство является верным.

Ответ: Это правило сложения числа и разности, которое гласит, что для прибавления разности к числу можно прибавить к нему уменьшаемое и отнять вычитаемое. Пример: $25 + (15 - 10) = 25 + 15 - 10 = 30$.

$(a - b) \cdot c = ac - bc$

Название правила: Умножение разности на число (распределительный закон умножения относительно вычитания).

Формулировка: Чтобы умножить разность на число, можно умножить на это число сначала уменьшаемое, а затем вычитаемое, и из первого произведения вычесть второе.

Иллюстрирующий числовой пример:
Пусть $a = 20$, $b = 7$, $c = 4$.
Вычислим левую часть равенства:
$(20 - 7) \cdot 4 = 13 \cdot 4 = 52$.
Вычислим правую часть равенства:
$20 \cdot 4 - 7 \cdot 4 = 80 - 28 = 52$.
Так как $52 = 52$, равенство является верным.

Ответ: Это правило умножения разности на число (распределительный закон), которое гласит, что для умножения разности на число можно умножить на это число уменьшаемое и вычитаемое, а затем вычесть второе произведение из первого. Пример: $(20 - 7) \cdot 4 = 20 \cdot 4 - 7 \cdot 4 = 52$.