Страница 78 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

239 Смешанная дробь записана в виде суммы $a + \frac{b}{c}$, где буквами $a$, $b$ и $c$ обозначены некоторые натуральные числа. Запишите с помощью букв правило обращения смешанной дроби в неправильную дробь.

Смешанная дробь, представленная в виде суммы $a + \frac{b}{c}$, состоит из целой части $a$ и дробной части $\frac{b}{c}$. Чтобы записать правило обращения смешанной дроби в неправильную с помощью букв, необходимо выполнить сложение этих частей.

Для сложения целого числа $a$ и дроби $\frac{b}{c}$ их нужно привести к общему знаменателю. Общим знаменателем будет $c$.

1. Представим целую часть $a$ в виде дроби со знаменателем $c$. Для этого умножим и разделим $a$ на $c$:
$a = \frac{a}{1} = \frac{a \cdot c}{c}$

2. Теперь выполним сложение дробей:
$a + \frac{b}{c} = \frac{a \cdot c}{c} + \frac{b}{c}$

3. Так как у дробей одинаковый знаменатель, сложим их числители, а знаменатель оставим прежним:
$\frac{a \cdot c + b}{c}$

Таким образом, мы получили формулу, которая и является правилом обращения смешанной дроби в неправильную.

Ответ: $a + \frac{b}{c} = \frac{ac+b}{c}$.

240 Найдите площадь фигуры (рис. 3.3) сначала вычитанием площадей, а потом сложением площадей и запишите соответствующее равенство.

Вычитание площадей:

$S = ab - (a-c)(b-d)$

Сложение площадей:

$S = b(a-c) + cd$

Соответствующее равенство:

$ab - (a-c)(b-d) = b(a-c) + cd$

Рис. 3.3

Нахождение площади вычитанием

Чтобы найти площадь фигуры методом вычитания, мысленно достроим ее до большого прямоугольника. Площадь исходной фигуры будет равна площади этого большого прямоугольника за вычетом площади "вырезанного" прямоугольного участка.

1. Достроим фигуру до большого прямоугольника. Его стороны будут равны полной высоте фигуры $b$ и полной ширине фигуры, которая складывается из отрезков $a$ и $c$, то есть $(a+c)$.

2. Площадь этого большого прямоугольника $S_{большого}$ вычисляется по формуле:

$S_{большого} = b \cdot (a+c)$

3. Теперь определим размеры "вырезанной" части. Это прямоугольник в правом верхнем углу. Его ширина равна $c$. Его высота равна разности полной высоты $b$ и высоты правой части $d$, то есть $(b-d)$.

4. Площадь вырезанного прямоугольника $S_{вырезанного}$ равна:

$S_{вырезанного} = c \cdot (b-d)$

5. Площадь исходной фигуры $S$ равна разности площадей большого и вырезанного прямоугольников.

Соответствующее равенство для площади фигуры:

$S = S_{большого} - S_{вырезанного} = b(a+c) - c(b-d)$

Ответ: $S = b(a+c) - c(b-d)$

Нахождение площади сложением

Чтобы найти площадь фигуры методом сложения, разделим ее на два простых прямоугольника и сложим их площади.

1. Фигуру можно разделить вертикальной линией на два прямоугольника.

2. Первый (левый) прямоугольник будет иметь стороны $a$ и $b$. Его площадь $S_{1}$ равна:

$S_{1} = a \cdot b$

3. Второй (правый) прямоугольник будет иметь стороны $c$ и $d$. Его площадь $S_{2}$ равна:

$S_{2} = c \cdot d$

4. Общая площадь фигуры $S$ равна сумме площадей этих двух прямоугольников.

Соответствующее равенство для площади фигуры:

$S = S_{1} + S_{2} = ab + cd$

Ответ: $S = ab + cd$

Так как оба способа вычисляют площадь одной и той же фигуры, результаты должны быть равны. Запишем соответствующее равенство, приравняв выражения, полученные двумя способами:

$b(a+c) - c(b-d) = ab + cd$

241 Составьте несколько различных выражений для вычисления площади прямоугольника (рис. 3.4) и запишите цепочку равенств.

$$(c+d)(x+y) = cx + dx + cy + dy$$

Рис. 3.4

Площадь прямоугольника, изображенного на рисунке, можно найти несколькими различными способами. Каждый способ дает свое выражение для площади.

Способ 1: Найти площадь как единого целого прямоугольника.
Сначала определим размеры всего прямоугольника. Его общая ширина равна сумме ширин его частей: $c + d$. Его общая высота равна сумме высот его частей: $x + y$. Площадь прямоугольника равна произведению его ширины на высоту. Таким образом, одно из выражений для площади $S$ будет:
$S = (x+y)(c+d)$

Способ 2: Найти площадь как сумму площадей четырех маленьких прямоугольников.
Большой прямоугольник состоит из четырех меньших. Найдем площадь каждого из них и сложим полученные значения:
- Площадь верхнего левого прямоугольника: $xc$
- Площадь верхнего правого прямоугольника: $xd$
- Площадь нижнего левого прямоугольника: $yc$
- Площадь нижнего правого прямоугольника: $yd$
Общая площадь $S$ равна сумме этих четырех площадей:
$S = xc + xd + yc + yd$

Способ 3: Найти площадь как сумму площадей двух горизонтальных прямоугольников.
Можно представить фигуру как два горизонтальных прямоугольника (полосы), один над другим. - Площадь верхней полосы со сторонами $x$ и $(c+d)$ равна $x(c+d)$.
- Площадь нижней полосы со сторонами $y$ и $(c+d)$ равна $y(c+d)$.
Сумма их площадей дает общую площадь $S$:
$S = x(c+d) + y(c+d)$

Способ 4: Найти площадь как сумму площадей двух вертикальных прямоугольников.
Аналогично, можно представить фигуру как два вертикальных прямоугольника (столбца), расположенных рядом. - Площадь левого столбца со сторонами $c$ и $(x+y)$ равна $c(x+y)$.
- Площадь правого столбца со сторонами $d$ и $(x+y)$ равна $d(x+y)$.
Сумма их площадей также равна общей площади $S$:
$S = c(x+y) + d(x+y)$

Поскольку все четыре выражения описывают площадь одной и той же фигуры, они равны между собой. Это позволяет нам составить цепочку равенств.

Ответ:
Различные выражения для вычисления площади:
1) $(x+y)(c+d)$
2) $xc + xd + yc + yd$
3) $x(c+d) + y(c+d)$
4) $c(x+y) + d(x+y)$
Цепочка равенств:
$(x+y)(c+d) = x(c+d) + y(c+d) = c(x+y) + d(x+y) = xc + xd + yc + yd$.

242 Запишите без скобок выражение

$a - (b + c + d)$

Если вам трудно сделать это сразу, то обратитесь к числовому примеру:

$543 - 126 = 543 - (100 + 20 + 6) = \dots$

Какое число в этом примере записано вместо буквы $a$? вместо буквы $b$? вместо буквы $c$? вместо буквы $d$?

Запишите без скобок выражение $a - (b + c + d)$

Чтобы раскрыть скобки, перед которыми стоит знак минус, необходимо убрать этот минус вместе со скобками, а знаки всех слагаемых, находящихся внутри скобок, изменить на противоположные. Это правило также известно как свойство вычитания суммы из числа.

В данном выражении $a - (b + c + d)$ перед скобкой стоит знак «минус». Внутри скобок находятся слагаемые $b$, $c$ и $d$. По умолчанию они имеют знак «плюс»: $(+b + c + d)$.

Применяя правило, мы убираем скобки и меняем знаки у $b$, $c$ и $d$ с «плюс» на «минус»:

$a - (b + c + d) = a - b - c - d$

Ответ: $a - b - c - d$.

Какое число в этом примере записано вместо буквы a? вместо буквы b? вместо буквы c? вместо буквы d?

В задаче приводится числовой пример для наглядности: $543 - 126 = 543 - (100 + 20 + 6) = ...$

Сначала завершим вычисление, используя правило раскрытия скобок, которое мы применили выше:

$543 - (100 + 20 + 6) = 543 - 100 - 20 - 6$

Выполним вычитание по шагам:

$543 - 100 = 443$

$443 - 20 = 423$

$423 - 6 = 417$

Теперь сопоставим общее буквенное выражение $a - (b + c + d)$ с его числовым аналогом из примера $543 - (100 + 20 + 6)$.

• На месте уменьшаемого $a$ стоит число 543.
• На месте первого слагаемого в скобках $b$ стоит число 100.
• На месте второго слагаемого $c$ стоит число 20.
• На месте третьего слагаемого $d$ стоит число 6.

Ответ: Вместо буквы $a$ записано число 543, вместо буквы $b$ — 100, вместо буквы $c$ — 20, вместо буквы $d$ — 6.

243 Запишите с помощью букв приём, используя который можно разделить:

а) сумму трёх чисел на некоторое число;

$\frac{a+b+c}{d}$

б) сумму четырёх чисел на некоторое число.

$\frac{a+b+c+e}{f}$

Чтобы записать с помощью букв приём, позволяющий разделить сумму трёх чисел на некоторое число, введем следующие обозначения. Пусть три числа — это $a$, $b$ и $c$. А число, на которое нужно разделить их сумму, — это $d$ (при этом $d \neq 0$).

Сумма трёх чисел записывается как $a + b + c$.

Приём (свойство деления суммы на число) заключается в том, что можно разделить на это число каждое слагаемое в отдельности, а затем сложить полученные результаты (частные).

В виде формулы это правило записывается так:
$(a + b + c) : d = a : d + b : d + c : d$

Ответ: $(a + b + c) : d = a : d + b : d + c : d$

Аналогично поступим для суммы четырёх чисел. Обозначим четыре числа буквами $a$, $b$, $c$ и $e$, а число, на которое делим, — буквой $d$ (при $d \neq 0$).

Сумма четырёх чисел записывается как $a + b + c + e$.

Используя тот же приём, что и в пункте а), разделим каждое из четырёх слагаемых на число $d$ и сложим полученные результаты.

Формула для этого случая будет выглядеть следующим образом:
$(a + b + c + e) : d = a : d + b : d + c : d + e : d$

Ответ: $(a + b + c + e) : d = a : d + b : d + c : d + e : d$

244 Запишите с помощью букв и скобок несколько разных способов вычисления произведения четырёх чисел. Ответ запишите в виде цепочки равенств.

Пусть даны четыре числа, которые мы обозначим буквами $a$, $b$, $c$ и $d$. Для вычисления их произведения можно использовать сочетательное (ассоциативное) свойство умножения. Это свойство позволяет по-разному группировать множители с помощью скобок, при этом итоговый результат не изменяется.

Например, можно последовательно умножать числа: сначала найти произведение $a \cdot b$, затем результат умножить на $c$, и то, что получилось, умножить на $d$. Это записывается так: $((a \cdot b) \cdot c) \cdot d$. Другой способ — разбить множители на две пары, вычислить произведения в каждой паре, $(a \cdot b)$ и $(c \cdot d)$, а затем перемножить результаты: $(a \cdot b) \cdot (c \cdot d)$. Ещё один вариант — умножить первое число $a$ на произведение трёх остальных: $a \cdot (b \cdot c \cdot d)$. Произведение трёх чисел $b, c, d$ само по себе можно вычислить по-разному, что даёт нам ещё больше общих вариантов.

Все эти различные способы вычисления приведут к одному и тому же значению. В соответствии с заданием, запишем несколько таких способов в виде цепочки равенств.

Ответ: $((a \cdot b) \cdot c) \cdot d = (a \cdot (b \cdot c)) \cdot d = a \cdot (b \cdot (c \cdot d)) = (a \cdot b) \cdot (c \cdot d) = a \cdot ((b \cdot c) \cdot d)$.