Страница 84 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

262 Назовите общий множитель числителя и знаменателя дроби и сократите её:

а) $ \frac{4xy}{5yz} $;

б) $ \frac{15km}{10nm} $;

в) $ \frac{8ab}{12abc} $;

г) $ \frac{7xyz}{21xz} $;

д) $ \frac{6mnk}{9knp} $;

е) $ \frac{2x^2}{3x} $;

ж) $ \frac{4a}{6a^2} $;

з) $ \frac{10c^3}{12c} $.

а) В дроби $\frac{4xy}{5yz}$ числитель равен $4xy$, а знаменатель $5yz$.
Найдём наибольший общий делитель (НОД) числовых коэффициентов: НОД(4, 5) = 1.
Общей переменной в числителе и знаменателе является $y$.
Следовательно, общий множитель числителя и знаменателя — это $y$.
Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на их общий множитель $y$:
$\frac{4xy}{5yz} = \frac{4x \cdot y}{5z \cdot y} = \frac{4x}{5z}$.
Ответ: общий множитель $y$; $\frac{4x}{5z}$.

б) В дроби $\frac{15km}{10nm}$ числитель равен $15km$, а знаменатель $10nm$.
Найдём НОД числовых коэффициентов: НОД(15, 10) = 5.
Общей переменной в числителе и знаменателе является $m$.
Следовательно, общий множитель числителя и знаменателя — это $5m$.
Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на их общий множитель $5m$:
$\frac{15km}{10nm} = \frac{3k \cdot 5m}{2n \cdot 5m} = \frac{3k}{2n}$.
Ответ: общий множитель $5m$; $\frac{3k}{2n}$.

в) В дроби $\frac{8ab}{12abc}$ числитель равен $8ab$, а знаменатель $12abc$.
Найдём НОД числовых коэффициентов: НОД(8, 12) = 4.
Общими переменными в числителе и знаменателе являются $a$ и $b$.
Следовательно, общий множитель числителя и знаменателя — это $4ab$.
Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на их общий множитель $4ab$:
$\frac{8ab}{12abc} = \frac{2 \cdot 4ab}{3c \cdot 4ab} = \frac{2}{3c}$.
Ответ: общий множитель $4ab$; $\frac{2}{3c}$.

г) В дроби $\frac{7xyz}{21xz^2}$ числитель равен $7xyz$, а знаменатель $21xz^2$.
Найдём НОД числовых коэффициентов: НОД(7, 21) = 7.
Общими переменными в числителе и знаменателе являются $x$ и $z$.
Следовательно, общий множитель числителя и знаменателя — это $7xz$.
Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на их общий множитель $7xz$:
$\frac{7xyz}{21xz^2} = \frac{y \cdot 7xz}{3z \cdot 7xz} = \frac{y}{3z}$.
Ответ: общий множитель $7xz$; $\frac{y}{3z}$.

д) В дроби $\frac{6mnk}{9knp}$ числитель равен $6mnk$, а знаменатель $9knp$.
Найдём НОД числовых коэффициентов: НОД(6, 9) = 3.
Общими переменными в числителе и знаменателе являются $k$ и $n$.
Следовательно, общий множитель числителя и знаменателя — это $3kn$.
Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на их общий множитель $3kn$:
$\frac{6mnk}{9knp} = \frac{2m \cdot 3kn}{3p \cdot 3kn} = \frac{2m}{3p}$.
Ответ: общий множитель $3kn$; $\frac{2m}{3p}$.

е) В дроби $\frac{2x^2}{3x}$ числитель равен $2x^2$, а знаменатель $3x$.
Найдём НОД числовых коэффициентов: НОД(2, 3) = 1.
Общей переменной в числителе и знаменателе является $x$.
Следовательно, общий множитель числителя и знаменателя — это $x$.
Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на их общий множитель $x$:
$\frac{2x^2}{3x} = \frac{2x \cdot x}{3 \cdot x} = \frac{2x}{3}$.
Ответ: общий множитель $x$; $\frac{2x}{3}$.

ж) В дроби $\frac{4a}{6a^2}$ числитель равен $4a$, а знаменатель $6a^2$.
Найдём НОД числовых коэффициентов: НОД(4, 6) = 2.
Общей переменной в числителе и знаменателе является $a$.
Следовательно, общий множитель числителя и знаменателя — это $2a$.
Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на их общий множитель $2a$:
$\frac{4a}{6a^2} = \frac{2 \cdot 2a}{3a \cdot 2a} = \frac{2}{3a}$.
Ответ: общий множитель $2a$; $\frac{2}{3a}$.

з) В дроби $\frac{10c^3}{12c}$ числитель равен $10c^3$, а знаменатель $12c$.
Найдём НОД числовых коэффициентов: НОД(10, 12) = 2.
Общей переменной в числителе и знаменателе является $c$.
Следовательно, общий множитель числителя и знаменателя — это $2c$.
Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на их общий множитель $2c$:
$\frac{10c^3}{12c} = \frac{5c^2 \cdot 2c}{6 \cdot 2c} = \frac{5c^2}{6}$.
Ответ: общий множитель $2c$; $\frac{5c^2}{6}$.

263 ПРИМЕНЯЕМ АЛГЕБРУ Ответьте на вопрос, воспользовавшись приведённым образцом:

а) Одну сторону прямоугольника увеличили в 2 раза, а другую — в 1,5 раза. Во сколько раз увеличилась площадь прямоугольника?

б) Длины рёбер прямоугольного параллелепипеда увеличили соответственно в 2, 3 и 4 раза. Во сколько раз увеличился его объём?

в) Длину ребра куба увеличили в 10 раз. Во сколько раз увеличился его объём?

Образец. Сторону квадрата увеличили в 3 раза. Во сколько раз увеличилась его площадь?

Обозначим сторону квадрата буквой $a$, тогда его площадь равна $a^2$, а площадь нового квадрата равна $(3a)^2 = 3a \cdot 3a = 9a^2$.

Найдём отношение площадей квадратов: $\frac{9a^2}{a^2} = 9$. Таким образом, площадь увеличилась в 9 раз.

а) Обозначим стороны исходного прямоугольника буквами $a$ и $b$. Тогда его площадь $S_1$ равна произведению сторон: $S_1 = a \cdot b$.
После увеличения одна сторона стала равна $2a$, а другая $1,5b$. Площадь нового прямоугольника $S_2$ стала равна: $S_2 = (2a) \cdot (1,5b) = (2 \cdot 1,5) \cdot (a \cdot b) = 3ab$.
Чтобы узнать, во сколько раз увеличилась площадь, найдём отношение новой площади к старой: $\frac{S_2}{S_1} = \frac{3ab}{ab} = 3$.
Таким образом, площадь увеличилась в 3 раза.
Ответ: в 3 раза.

б) Обозначим длины рёбер исходного прямоугольного параллелепипеда буквами $a$, $b$ и $c$. Его объём $V_1$ равен произведению длин рёбер: $V_1 = a \cdot b \cdot c$.
После увеличения длины рёбер стали равны $2a$, $3b$ и $4c$. Объём нового параллелепипеда $V_2$ стал равен: $V_2 = (2a) \cdot (3b) \cdot (4c) = (2 \cdot 3 \cdot 4) \cdot (a \cdot b \cdot c) = 24abc$.
Чтобы узнать, во сколько раз увеличился объём, найдём отношение нового объёма к старому: $\frac{V_2}{V_1} = \frac{24abc}{abc} = 24$.
Таким образом, объём увеличился в 24 раза.
Ответ: в 24 раза.

в) Обозначим длину ребра исходного куба буквой $a$. Его объём $V_1$ равен кубу его ребра: $V_1 = a^3$.
После увеличения длина ребра стала равна $10a$. Объём нового куба $V_2$ стал равен: $V_2 = (10a)^3 = 10^3 \cdot a^3 = 1000a^3$.
Чтобы узнать, во сколько раз увеличился объём, найдём отношение нового объёма к старому: $\frac{V_2}{V_1} = \frac{1000a^3}{a^3} = 1000$.
Таким образом, объём увеличился в 1000 раз.
Ответ: в 1000 раз.

264 Известно, что k — нечётное число. Чётным или нечётным является число:

$k + k + k + k$;

$k + k + k + 10$;

$(k + k)(k + k + k)?$

k + k + k + k

По условию задачи, $k$ — это нечётное число. Выражение $k + k + k + k$ представляет собой сумму четырёх одинаковых нечётных чисел.
Сумма двух нечётных чисел всегда является чётным числом: нечётное + нечётное = чётное.
Сгруппируем слагаемые: $(k + k) + (k + k)$. Каждая сумма в скобках является чётным числом.
Следовательно, мы получаем сумму двух чётных чисел, которая также всегда является чётным числом: чётное + чётное = чётное.
Другой способ — упростить выражение до $4k$. Произведение чётного числа (4) на любое целое число ($k$) всегда является чётным.
Ответ: чётное.

k + k + k + k + 10

Из предыдущего пункта мы установили, что сумма $k + k + k + k$ является чётным числом.
Число 10 также является чётным.
Данное выражение представляет собой сумму двух чётных чисел: $(k + k + k + k) + 10$.
Сумма двух чётных чисел всегда является чётным числом.
Ответ: чётное.

(k + k)(k + k + k)

Рассмотрим каждый множитель в этом выражении отдельно.
Первый множитель: $(k + k)$. Это сумма двух нечётных чисел, результат которой, как мы знаем, является чётным числом.
Второй множитель: $(k + k + k)$. Это сумма трёх (нечётного количества) нечётных чисел. Сумма нечётного количества нечётных чисел всегда является нечётным числом. ((нечётное + нечётное) + нечётное = чётное + нечётное = нечётное).
Таким образом, всё выражение — это произведение чётного числа на нечётное: (чётное) $\times$ (нечётное).
Произведение чётного числа на любое целое число всегда даёт в результате чётное число.
Ответ: чётное.

265. Пусть a — чётное число, а b — нечётное. Чётным или нечётным является число: $a + a + a + b + b$; $a + a + b + b + b$?

Чтобы определить, является ли число чётным или нечётным, воспользуемся следующими правилами:

• Сумма чётных чисел — всегда чётное число.
• Сумма двух нечётных чисел — чётное число.
• Сумма чётного и нечётного числа — нечётное число.
• Сумма любого количества чётных слагаемых — чётное число.
• Сумма чётного количества нечётных слагаемых — чётное число.
• Сумма нечётного количества нечётных слагаемых — нечётное число.

По условию, a — чётное число, а b — нечётное.

a + a + a + b + b

Рассмотрим это выражение как сумму двух частей: $(a + a + a)$ и $(b + b)$.
1. Сумма трёх чётных чисел $(a + a + a)$ является чётным числом.
2. Сумма двух нечётных чисел $(b + b)$ является чётным числом.
3. Сумма двух полученных чётных чисел также является чётным числом.
Таким образом, всё выражение является чётным.

Алгебраическое доказательство:
Пусть $a = 2k$ и $b = 2m + 1$, где $k$ и $m$ — целые числа.
Выражение можно записать как $3a + 2b$.
Подставим значения: $3(2k) + 2(2m + 1) = 6k + 4m + 2$.
Вынесем 2 за скобки: $2(3k + 2m + 1)$.
Так как результат является произведением числа 2 на целое число, он чётный.

Ответ: чётное число.

a + a + b + b + b

Рассмотрим это выражение как сумму двух частей: $(a + a)$ и $(b + b + b)$.
1. Сумма двух чётных чисел $(a + a)$ является чётным числом.
2. Сумма трёх нечётных чисел $(b + b + b)$ является нечётным числом (так как $(b+b)$ — чётное, а затем (чётное $+ b$) — нечётное).
3. Сумма чётного числа из пункта 1 и нечётного числа из пункта 2 является нечётным числом.
Таким образом, всё выражение является нечётным.

Алгебраическое доказательство:
Пусть $a = 2k$ и $b = 2m + 1$, где $k$ и $m$ — целые числа.
Выражение можно записать как $2a + 3b$.
Подставим значения: $2(2k) + 3(2m + 1) = 4k + 6m + 3$.
Перепишем выражение: $4k + 6m + 2 + 1 = 2(2k + 3m + 1) + 1$.
Результат имеет вид $2n + 1$ (где $n = 2k + 3m + 1$), что является определением нечётного числа.

Ответ: нечётное число.

266 Чему равна сумма 15 последовательных натуральных чисел, первое из которых равно $n$?

Для того чтобы найти сумму 15 последовательных натуральных чисел, первое из которых равно $n$, мы можем рассмотреть эти числа как члены арифметической прогрессии.

Последовательность чисел будет выглядеть так: $n, n+1, n+2, \ldots$.

Это арифметическая прогрессия, у которой:
- первый член $a_1 = n$;
- разность прогрессии $d = 1$, так как числа идут подряд;
- количество членов $k = 15$.

Сумму первых $k$ членов арифметической прогрессии можно вычислить по формуле: $S_k = \frac{a_1 + a_k}{2} \cdot k$, где $a_k$ — последний член прогрессии.

Сначала найдем 15-й член прогрессии ($a_{15}$) по формуле $k$-го члена: $a_k = a_1 + (k-1)d$.

Подставим наши значения:
$a_{15} = n + (15 - 1) \cdot 1 = n + 14$.

Теперь, зная первый и последний члены, мы можем найти сумму. Подставим $a_1 = n$, $a_{15} = n + 14$ и $k = 15$ в формулу суммы:

$S_{15} = \frac{n + (n + 14)}{2} \cdot 15$

Теперь упростим полученное выражение:

$S_{15} = \frac{2n + 14}{2} \cdot 15$

$S_{15} = (n + 7) \cdot 15$

$S_{15} = 15n + 105$

Ответ: $15n + 105$

267 В первом ряду амфитеатра $a$ мест, а в каждом следующем на 2 места больше, чем в предыдущем. Сколько всего мест в амфитеатре, если он состоит:

а) из 5 рядов;

б) из 10 рядов?

Данная задача описывает арифметическую прогрессию, где количество мест в каждом последующем ряду увеличивается на одно и то же число. Нам нужно найти сумму членов этой прогрессии.

Пусть $a_n$ — количество мест в $n$-м ряду.
По условию, в первом ряду $a$ мест, то есть первый член прогрессии $a_1 = a$.
В каждом следующем ряду на 2 места больше, значит, разность арифметической прогрессии $d = 2$.

Для нахождения общего количества мест в амфитеатре воспользуемся формулой суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии:
$S_n = \frac{2a_1 + d(n-1)}{2} \cdot n$

а)

Найдем общее количество мест, если амфитеатр состоит из 5 рядов. В этом случае $n=5$.
Подставим значения $a_1 = a$, $d=2$ и $n=5$ в формулу суммы:

$S_5 = \frac{2 \cdot a + 2(5-1)}{2} \cdot 5$

$S_5 = \frac{2a + 2 \cdot 4}{2} \cdot 5$

$S_5 = \frac{2a + 8}{2} \cdot 5$

Вынесем общий множитель 2 в числителе и сократим его со знаменателем:

$S_5 = \frac{2(a+4)}{2} \cdot 5$

$S_5 = (a+4) \cdot 5$

$S_5 = 5a + 20$

Ответ: $5a + 20$

б)

Найдем общее количество мест, если амфитеатр состоит из 10 рядов. В этом случае $n=10$.
Подставим значения $a_1 = a$, $d=2$ и $n=10$ в формулу суммы:

$S_{10} = \frac{2 \cdot a + 2(10-1)}{2} \cdot 10$

$S_{10} = \frac{2a + 2 \cdot 9}{2} \cdot 10$

$S_{10} = \frac{2a + 18}{2} \cdot 10$

Вынесем общий множитель 2 в числителе и сократим его со знаменателем:

$S_{10} = \frac{2(a+9)}{2} \cdot 10$

$S_{10} = (a+9) \cdot 10$

$S_{10} = 10a + 90$

Ответ: $10a + 90$

268 Упростите произведение:

а) $6a(ab)^2b^3;$

б) $(xy)^2 \cdot (xy)^3;$

в) $a(-ac)^2;$

г) $-c(cd)^2;$

д) $-z(-x^2)(-xz);$

е) $ab^2(ab)^2.$

а) Чтобы упростить выражение $6a(ab)^2b^3$, сначала раскроем скобки, возведя в квадрат произведение $ab$. По свойству степени произведения $(xy)^n = x^n y^n$, получаем $(ab)^2 = a^2b^2$.
Теперь выражение выглядит так: $6a \cdot a^2b^2 \cdot b^3$.
Сгруппируем и перемножим переменные с одинаковыми основаниями, складывая их показатели степеней по правилу $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$: $6 \cdot (a^1 \cdot a^2) \cdot (b^2 \cdot b^3) = 6 \cdot a^{1+2} \cdot b^{2+3} = 6a^3b^5$.
Ответ: $6a^3b^5$.

б) Для упрощения выражения $(xy)^2 \cdot (xy)^3$ можно использовать правило умножения степеней с одинаковым основанием $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$. В данном случае основание — это $(xy)$.
$(xy)^{2+3} = (xy)^5$.
Затем раскроем скобки, используя свойство степени произведения $(xy)^n = x^n y^n$:
$(xy)^5 = x^5y^5$.
Альтернативный способ: сначала раскрыть скобки в каждом множителе, а затем перемножить.
$(xy)^2 \cdot (xy)^3 = (x^2y^2) \cdot (x^3y^3) = (x^2 \cdot x^3) \cdot (y^2 \cdot y^3) = x^{2+3}y^{2+3} = x^5y^5$.
Ответ: $x^5y^5$.

в) Упростим выражение $a(-ac)^2$. Сначала возведем в квадрат выражение в скобках. Так как квадрат любого числа (кроме нуля) положителен, знак минус исчезает:
$(-ac)^2 = (-1)^2 \cdot a^2 \cdot c^2 = 1 \cdot a^2c^2 = a^2c^2$.
Теперь умножим результат на $a$:
$a \cdot (a^2c^2) = (a^1 \cdot a^2) \cdot c^2 = a^{1+2}c^2 = a^3c^2$.
Ответ: $a^3c^2$.

г) Рассмотрим выражение $-c(cd)^2$. Первым шагом возведем в квадрат произведение $cd$:
$(cd)^2 = c^2d^2$.
Подставим это обратно в выражение:
$-c \cdot (c^2d^2)$.
Теперь перемножим, помня, что $c = c^1$:
$- (c^1 \cdot c^2) \cdot d^2 = -c^{1+2}d^2 = -c^3d^2$.
Ответ: $-c^3d^2$.

д) Упростим произведение $-z(-x^2)(-xz)$. Сначала определим знак результата. У нас три множителя со знаком минус (в $-z$, в $-x^2$ и в $-xz$), поэтому произведение будет отрицательным.
$-z(-x^2)(-xz) = - (z \cdot x^2 \cdot xz)$.
Теперь перемножим переменные, сгруппировав их по основаниям и сложив показатели степеней:
$- (x^2 \cdot x^1) \cdot (z^1 \cdot z^1) = - (x^{2+1}) \cdot (z^{1+1}) = -x^3z^2$.
Ответ: $-x^3z^2$.

е) Для упрощения выражения $ab^2(ab)^2$ начнем с раскрытия скобок:
$(ab)^2 = a^2b^2$.
Теперь выражение примет вид:
$ab^2 \cdot (a^2b^2)$.
Сгруппируем множители с одинаковыми основаниями и перемножим их:
$(a^1 \cdot a^2) \cdot (b^2 \cdot b^2) = a^{1+2} \cdot b^{2+2} = a^3b^4$.
Ответ: $a^3b^4$.