Номер 267, страница 84 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 3.2. Преобразование буквенных выражений. Глава 3. Введение в алгебру - номер 267, страница 84.

267 В первом ряду амфитеатра $a$ мест, а в каждом следующем на 2 места больше, чем в предыдущем. Сколько всего мест в амфитеатре, если он состоит:

а) из 5 рядов;

б) из 10 рядов?

Данная задача описывает арифметическую прогрессию, где количество мест в каждом последующем ряду увеличивается на одно и то же число. Нам нужно найти сумму членов этой прогрессии.

Пусть $a_n$ — количество мест в $n$-м ряду.
По условию, в первом ряду $a$ мест, то есть первый член прогрессии $a_1 = a$.
В каждом следующем ряду на 2 места больше, значит, разность арифметической прогрессии $d = 2$.

Для нахождения общего количества мест в амфитеатре воспользуемся формулой суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии:
$S_n = \frac{2a_1 + d(n-1)}{2} \cdot n$

а)

Найдем общее количество мест, если амфитеатр состоит из 5 рядов. В этом случае $n=5$.
Подставим значения $a_1 = a$, $d=2$ и $n=5$ в формулу суммы:

$S_5 = \frac{2 \cdot a + 2(5-1)}{2} \cdot 5$

$S_5 = \frac{2a + 2 \cdot 4}{2} \cdot 5$

$S_5 = \frac{2a + 8}{2} \cdot 5$

Вынесем общий множитель 2 в числителе и сократим его со знаменателем:

$S_5 = \frac{2(a+4)}{2} \cdot 5$

$S_5 = (a+4) \cdot 5$

$S_5 = 5a + 20$

Ответ: $5a + 20$

б)

Найдем общее количество мест, если амфитеатр состоит из 10 рядов. В этом случае $n=10$.
Подставим значения $a_1 = a$, $d=2$ и $n=10$ в формулу суммы:

$S_{10} = \frac{2 \cdot a + 2(10-1)}{2} \cdot 10$

$S_{10} = \frac{2a + 2 \cdot 9}{2} \cdot 10$

$S_{10} = \frac{2a + 18}{2} \cdot 10$

Вынесем общий множитель 2 в числителе и сократим его со знаменателем:

$S_{10} = \frac{2(a+9)}{2} \cdot 10$

$S_{10} = (a+9) \cdot 10$

$S_{10} = 10a + 90$

Ответ: $10a + 90$