Номер 263, страница 84 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 3.2. Преобразование буквенных выражений. Глава 3. Введение в алгебру - номер 263, страница 84.

263 ПРИМЕНЯЕМ АЛГЕБРУ Ответьте на вопрос, воспользовавшись приведённым образцом:

а) Одну сторону прямоугольника увеличили в 2 раза, а другую — в 1,5 раза. Во сколько раз увеличилась площадь прямоугольника?

б) Длины рёбер прямоугольного параллелепипеда увеличили соответственно в 2, 3 и 4 раза. Во сколько раз увеличился его объём?

в) Длину ребра куба увеличили в 10 раз. Во сколько раз увеличился его объём?

Образец. Сторону квадрата увеличили в 3 раза. Во сколько раз увеличилась его площадь?

Обозначим сторону квадрата буквой $a$, тогда его площадь равна $a^2$, а площадь нового квадрата равна $(3a)^2 = 3a \cdot 3a = 9a^2$.

Найдём отношение площадей квадратов: $\frac{9a^2}{a^2} = 9$. Таким образом, площадь увеличилась в 9 раз.

а) Обозначим стороны исходного прямоугольника буквами $a$ и $b$. Тогда его площадь $S_1$ равна произведению сторон: $S_1 = a \cdot b$.
После увеличения одна сторона стала равна $2a$, а другая $1,5b$. Площадь нового прямоугольника $S_2$ стала равна: $S_2 = (2a) \cdot (1,5b) = (2 \cdot 1,5) \cdot (a \cdot b) = 3ab$.
Чтобы узнать, во сколько раз увеличилась площадь, найдём отношение новой площади к старой: $\frac{S_2}{S_1} = \frac{3ab}{ab} = 3$.
Таким образом, площадь увеличилась в 3 раза.
Ответ: в 3 раза.

б) Обозначим длины рёбер исходного прямоугольного параллелепипеда буквами $a$, $b$ и $c$. Его объём $V_1$ равен произведению длин рёбер: $V_1 = a \cdot b \cdot c$.
После увеличения длины рёбер стали равны $2a$, $3b$ и $4c$. Объём нового параллелепипеда $V_2$ стал равен: $V_2 = (2a) \cdot (3b) \cdot (4c) = (2 \cdot 3 \cdot 4) \cdot (a \cdot b \cdot c) = 24abc$.
Чтобы узнать, во сколько раз увеличился объём, найдём отношение нового объёма к старому: $\frac{V_2}{V_1} = \frac{24abc}{abc} = 24$.
Таким образом, объём увеличился в 24 раза.
Ответ: в 24 раза.

в) Обозначим длину ребра исходного куба буквой $a$. Его объём $V_1$ равен кубу его ребра: $V_1 = a^3$.
После увеличения длина ребра стала равна $10a$. Объём нового куба $V_2$ стал равен: $V_2 = (10a)^3 = 10^3 \cdot a^3 = 1000a^3$.
Чтобы узнать, во сколько раз увеличился объём, найдём отношение нового объёма к старому: $\frac{V_2}{V_1} = \frac{1000a^3}{a^3} = 1000$.
Таким образом, объём увеличился в 1000 раз.
Ответ: в 1000 раз.