Номер 268, страница 84 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 3.2. Преобразование буквенных выражений. Глава 3. Введение в алгебру - номер 268, страница 84.

268 Упростите произведение:

а) $6a(ab)^2b^3;$

б) $(xy)^2 \cdot (xy)^3;$

в) $a(-ac)^2;$

г) $-c(cd)^2;$

д) $-z(-x^2)(-xz);$

е) $ab^2(ab)^2.$

а) Чтобы упростить выражение $6a(ab)^2b^3$, сначала раскроем скобки, возведя в квадрат произведение $ab$. По свойству степени произведения $(xy)^n = x^n y^n$, получаем $(ab)^2 = a^2b^2$.
Теперь выражение выглядит так: $6a \cdot a^2b^2 \cdot b^3$.
Сгруппируем и перемножим переменные с одинаковыми основаниями, складывая их показатели степеней по правилу $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$: $6 \cdot (a^1 \cdot a^2) \cdot (b^2 \cdot b^3) = 6 \cdot a^{1+2} \cdot b^{2+3} = 6a^3b^5$.
Ответ: $6a^3b^5$.

б) Для упрощения выражения $(xy)^2 \cdot (xy)^3$ можно использовать правило умножения степеней с одинаковым основанием $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$. В данном случае основание — это $(xy)$.
$(xy)^{2+3} = (xy)^5$.
Затем раскроем скобки, используя свойство степени произведения $(xy)^n = x^n y^n$:
$(xy)^5 = x^5y^5$.
Альтернативный способ: сначала раскрыть скобки в каждом множителе, а затем перемножить.
$(xy)^2 \cdot (xy)^3 = (x^2y^2) \cdot (x^3y^3) = (x^2 \cdot x^3) \cdot (y^2 \cdot y^3) = x^{2+3}y^{2+3} = x^5y^5$.
Ответ: $x^5y^5$.

в) Упростим выражение $a(-ac)^2$. Сначала возведем в квадрат выражение в скобках. Так как квадрат любого числа (кроме нуля) положителен, знак минус исчезает:
$(-ac)^2 = (-1)^2 \cdot a^2 \cdot c^2 = 1 \cdot a^2c^2 = a^2c^2$.
Теперь умножим результат на $a$:
$a \cdot (a^2c^2) = (a^1 \cdot a^2) \cdot c^2 = a^{1+2}c^2 = a^3c^2$.
Ответ: $a^3c^2$.

г) Рассмотрим выражение $-c(cd)^2$. Первым шагом возведем в квадрат произведение $cd$:
$(cd)^2 = c^2d^2$.
Подставим это обратно в выражение:
$-c \cdot (c^2d^2)$.
Теперь перемножим, помня, что $c = c^1$:
$- (c^1 \cdot c^2) \cdot d^2 = -c^{1+2}d^2 = -c^3d^2$.
Ответ: $-c^3d^2$.

д) Упростим произведение $-z(-x^2)(-xz)$. Сначала определим знак результата. У нас три множителя со знаком минус (в $-z$, в $-x^2$ и в $-xz$), поэтому произведение будет отрицательным.
$-z(-x^2)(-xz) = - (z \cdot x^2 \cdot xz)$.
Теперь перемножим переменные, сгруппировав их по основаниям и сложив показатели степеней:
$- (x^2 \cdot x^1) \cdot (z^1 \cdot z^1) = - (x^{2+1}) \cdot (z^{1+1}) = -x^3z^2$.
Ответ: $-x^3z^2$.

е) Для упрощения выражения $ab^2(ab)^2$ начнем с раскрытия скобок:
$(ab)^2 = a^2b^2$.
Теперь выражение примет вид:
$ab^2 \cdot (a^2b^2)$.
Сгруппируем множители с одинаковыми основаниями и перемножим их:
$(a^1 \cdot a^2) \cdot (b^2 \cdot b^2) = a^{1+2} \cdot b^{2+2} = a^3b^4$.
Ответ: $a^3b^4$.