Страница 87 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

273 Какое из следующих равенств верно:

1) $a - (b + c - d) = a - b + c - d;$

2) $a - (b + c - d) = a - b - c - d;$

3) $a - (b + c - d) = a - b - c + d?$

Для решения данной задачи необходимо раскрыть скобки в выражении $a - (b + c - d)$.

Согласно правилу раскрытия скобок, перед которыми стоит знак «минус», нужно убрать этот минус и скобки, а знаки всех слагаемых внутри скобок изменить на противоположные (плюс на минус, а минус на плюс).

Применим это правило к нашему выражению:

$a - (b + c - d)$

Внутри скобок находятся слагаемые: $+b$, $+c$ и $-d$.

Меняем знаки на противоположные:

• $b$ становится $-b$
• $c$ становится $-c$
• $-d$ становится $+d$

В результате получаем: $a - b - c + d$.

Теперь сравним полученное выражение с каждым из предложенных вариантов.

1) $a - (b + c - d) = a - b + c - d$

Данное равенство неверно. После раскрытия скобок слагаемое $c$ должно иметь знак минус ($-c$), а слагаемое $d$ — знак плюс ($+d$). В этом варианте знаки указаны неверно.

Ответ: неверно.

2) $a - (b + c - d) = a - b - c - d$

Данное равенство неверно. После раскрытия скобок слагаемое $d$ должно иметь знак плюс ($+d$), а не минус.

Ответ: неверно.

3) $a - (b + c - d) = a - b - c + d$

Данное равенство верно. Правая часть полностью совпадает с результатом, полученным после правильного раскрытия скобок: $a - b - c + d$.

Ответ: верно.

274 Раскройте скобки и упростите получившееся выражение:

а) $(x+y)+(y-x)$;

б) $(a-b)-(a-b)$;

в) $(c-d)-(c+d)$;

г) $(u+v)-(v-u)$;

д) $m-(n-p-m)$;

е) $(a+b)-(b+c)-(a-c)$;

ж) $(k+m)-(k-m)+(m-k)$;

з) $(b+1)-(a-1)-(b-a)$.

а) Чтобы раскрыть скобки, перед которыми стоит знак «+» (или нет знака), нужно просто убрать эти скобки, сохранив знаки слагаемых. Затем приводим подобные слагаемые.

$(x + y) + (y - x) = x + y + y - x = (x - x) + (y + y) = 2y$

Ответ: $2y$

б) Чтобы раскрыть скобки, перед которыми стоит знак «–», нужно убрать эти скобки, изменив знак каждого слагаемого в них на противоположный.

$(a - b) - (a - b) = a - b - a + b = (a - a) + (-b + b) = 0$

Ответ: $0$

в) Раскрываем скобки, меняя знаки во второй скобке, так как перед ней стоит минус.

$(c - d) - (c + d) = c - d - c - d = (c - c) + (-d - d) = -2d$

Ответ: $-2d$

г) Раскрываем скобки, меняя знаки во второй скобке.

$(u + v) - (v - u) = u + v - v + u = (u + u) + (v - v) = 2u$

Ответ: $2u$

д) Раскрываем скобки, перед которыми стоит минус, меняя знаки всех слагаемых внутри на противоположные.

$m - (n - p - m) = m - n + p + m = (m + m) - n + p = 2m - n + p$

Ответ: $2m - n + p$

е) Раскрываем все скобки, учитывая знаки перед ними. Перед второй и третьей скобками стоит минус, поэтому знаки слагаемых в них меняются.

$(a + b) - (b + c) - (a - c) = a + b - b - c - a + c = (a - a) + (b - b) + (-c + c) = 0$

Ответ: $0$

ж) Раскрываем скобки. Перед второй скобкой стоит минус (меняем знаки), перед третьей — плюс (сохраняем знаки).

$(k + m) - (k - m) + (m - k) = k + m - k + m + m - k = (k - k - k) + (m + m + m) = -k + 3m$

Ответ: $3m - k$

з) Раскрываем все скобки, учитывая знаки перед ними. Перед второй и третьей скобками стоит минус.

$(b + 1) - (a - 1) - (b - a) = b + 1 - a + 1 - b + a = (b - b) + (-a + a) + (1 + 1) = 2$

Ответ: $2$

275 РАССУЖДАЕМ Восстановите сумму в скобках:

а) $x - (\dots) = x - a + b - c;$

б) $x - y = (x - a) + (\dots).$

а)

Дано равенство: $x - (...) = x - a + b - c$.
Чтобы найти неизвестное выражение в скобках, обозначим его как $Y$. Получим уравнение: $x - Y = x - a + b - c$.
Выразим $Y$ из этого уравнения. Для этого перенесем $Y$ в правую часть равенства, а выражение $x - a + b - c$ — в левую. При переносе через знак равенства знаки слагаемых меняются на противоположные.
$x - (x - a + b - c) = Y$
Теперь раскроем скобки в левой части. Так как перед скобкой стоит знак "минус", все знаки внутри скобок меняются на противоположные:
$Y = x - x + a - b + c$
Приведем подобные слагаемые:
$Y = (x - x) + a - b + c = 0 + a - b + c = a - b + c$
Следовательно, в скобках должно быть выражение $a - b + c$.
Ответ: $a - b + c$

б)

Дано равенство: $x - y = (x - a) + (...)$.
Обозначим неизвестное выражение в скобках как $Z$. Получим уравнение: $x - y = (x - a) + Z$.
Чтобы найти $Z$, выразим его из уравнения. Для этого перенесем слагаемое $(x - a)$ в левую часть равенства с противоположным знаком:
$Z = (x - y) - (x - a)$
Раскроем скобки. Перед второй скобкой стоит знак "минус", поэтому знаки слагаемых внутри нее меняются на противоположные:
$Z = x - y - x + a$
Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:
$Z = (x - x) - y + a = 0 - y + a = a - y$
Следовательно, в скобках должно быть выражение $a - y$.
Ответ: $a - y$

276 Запишите и упростите сумму:

а) трёх последовательных натуральных чисел, начиная с числа $n$;

б) пяти последовательных натуральных чисел, начиная с $n$;

в) трёх последовательных натуральных чисел, среднее из которых равно $n$;

г) пяти последовательных натуральных чисел, среднее из которых равно $n$.

а) По условию, первое натуральное число равно $n$. Так как числа последовательные, то следующие два числа будут $n+1$ и $n+2$. Запишем их сумму и упростим выражение:
$n + (n + 1) + (n + 2) = n + n + 1 + n + 2 = (n + n + n) + (1 + 2) = 3n + 3$.
Ответ: $3n + 3$

б) Первое число последовательности равно $n$. Следующие четыре последовательных натуральных числа будут $n+1$, $n+2$, $n+3$ и $n+4$. Запишем и упростим сумму этих пяти чисел:
$n + (n + 1) + (n + 2) + (n + 3) + (n + 4) = (n+n+n+n+n) + (1+2+3+4) = 5n + 10$.
Ответ: $5n + 10$

в) Нам даны три последовательных натуральных числа, среднее из которых равно $n$. Это означает, что $n$ является вторым числом в последовательности. Тогда предыдущее число равно $n-1$, а следующее — $n+1$. Таким образом, последовательность чисел: $n-1, n, n+1$. (Это возможно при $n \ge 2$). Запишем и упростим их сумму:
$(n - 1) + n + (n + 1) = n - 1 + n + n + 1 = (n + n + n) + (-1 + 1) = 3n$.
Ответ: $3n$

г) Рассматриваются пять последовательных натуральных чисел, среднее из которых равно $n$. Так как количество чисел нечетное (пять), среднее число — это третье число в последовательности. Значит, два числа до него — это $n-2$ и $n-1$, а два числа после — $n+1$ и $n+2$. Последовательность чисел: $n-2, n-1, n, n+1, n+2$. (Это возможно при $n \ge 3$). Запишем и упростим их сумму:
$(n - 2) + (n - 1) + n + (n + 1) + (n + 2) = (n+n+n+n+n) + (-2-1+1+2) = 5n$.
Ответ: $5n$

ПРИМЕНЯЕМ АЛГЕБРУ (277–279)

277 а) Чему равен периметр прямоугольника, одна сторона которого равна $x$ см, а другая — на 2 см больше? на 3 см меньше?

б) Чему равен периметр треугольника, одна сторона которого равна $a$ см, вторая — на 1 см больше первой, а третья — на 2 см меньше второй?

а)

Периметр прямоугольника $P$ вычисляется по формуле $P = 2(a + b)$, где $a$ и $b$ — длины его смежных сторон.

1. Если одна сторона равна $x$ см, а другая на 2 см больше, то ее длина составляет $x + 2$ см.
Тогда периметр прямоугольника равен:
$P = 2(x + (x + 2)) = 2(2x + 2) = 4x + 4$ см.

2. Если одна сторона равна $x$ см, а другая на 3 см меньше, то ее длина составляет $x - 3$ см. Для существования такого прямоугольника необходимо, чтобы длина каждой стороны была положительной, то есть $x > 3$.
Тогда периметр прямоугольника равен:
$P = 2(x + (x - 3)) = 2(2x - 3) = 4x - 6$ см.

Ответ: $4x + 4$ см; $4x - 6$ см.

б)

Периметр треугольника $P$ равен сумме длин всех его сторон. Обозначим стороны как $s_1$, $s_2$ и $s_3$.

По условию задачи:
Первая сторона: $s_1 = a$ см.
Вторая сторона на 1 см больше первой: $s_2 = a + 1$ см.
Третья сторона на 2 см меньше второй: $s_3 = s_2 - 2 = (a + 1) - 2 = a - 1$ см.
Для существования такого треугольника необходимо, чтобы длина каждой стороны была положительной и выполнялось неравенство треугольника. Условие положительности длин сторон: $a > 0$, $a+1 > 0$ и $a-1 > 0$, что в совокупности дает $a > 1$.
Найдем периметр, сложив длины всех сторон:
$P = s_1 + s_2 + s_3 = a + (a + 1) + (a - 1) = a + a + 1 + a - 1 = 3a$ см.

Ответ: $3a$ см.

278 a) На первой полке стоят $x$ книг, на второй — на 3 книги больше, а на третьей — на 5 книг меньше, чем на первой. Сколько книг на трёх полках? Ответьте на вопрос при $x = 15$; $x = 23$.

б) В первом книжном шкафу $a$ книг, во втором — на 15 книг меньше, а в третьем — на 40 книг больше, чем во втором. Сколько книг в трёх шкафах? Ответьте на вопрос при $a = 120$; $a = 95$.

а)

Сначала составим выражение для общего количества книг на трёх полках.
Количество книг на первой полке: $x$.
Количество книг на второй полке (на 3 больше, чем на первой): $x + 3$.
Количество книг на третьей полке (на 5 меньше, чем на первой): $x - 5$.
Общее количество книг на трёх полках равно сумме книг на каждой полке:
$S = x + (x + 3) + (x - 5)$.
Упростим это выражение:
$S = x + x + 3 + x - 5 = (x + x + x) + (3 - 5) = 3x - 2$.

Теперь найдём количество книг для заданных значений $x$.
1. При $x = 15$:
$S = 3 \cdot 15 - 2 = 45 - 2 = 43$ (книги).
2. При $x = 23$:
$S = 3 \cdot 23 - 2 = 69 - 2 = 67$ (книг).

Ответ: выражение для общего количества книг $3x - 2$. При $x = 15$ на полках 43 книги, при $x = 23$ на полках 67 книг.

б)

Сначала составим выражение для общего количества книг в трёх шкафах.
Количество книг в первом шкафу: $a$.
Количество книг во втором шкафу (на 15 меньше, чем в первом): $a - 15$.
Количество книг в третьем шкафу (на 40 больше, чем во втором): $(a - 15) + 40 = a + 25$.
Общее количество книг в трёх шкафах равно сумме книг в каждом шкафу:
$S = a + (a - 15) + (a + 25)$.
Упростим это выражение:
$S = a + a - 15 + a + 25 = (a + a + a) + (-15 + 25) = 3a + 10$.

Теперь найдём количество книг для заданных значений $a$.
1. При $a = 120$:
$S = 3 \cdot 120 + 10 = 360 + 10 = 370$ (книг).
2. При $a = 95$:
$S = 3 \cdot 95 + 10 = 285 + 10 = 295$ (книг).

Ответ: выражение для общего количества книг $3a + 10$. При $a = 120$ в шкафах 370 книг, при $a = 95$ в шкафах 295 книг.

279 a) Два велосипедиста едут навстречу друг другу из пунктов $A$ и $B$. Первый до встречи проехал $l$ км, а второй — на $m$ км больше. Чему равно расстояние между $A$ и $B$?

б) Расстояние между пунктами $s$ км. Турист идёт из одного пункта в другой. Пройдя $x$ км, что составило большую часть пути, он сделал остановку. Сколько километров ему осталось пройти? На сколько километров оставшееся расстояние меньше пройденного?

а)

Пусть $S_1$ — это расстояние, которое проехал первый велосипедист, а $S_2$ — расстояние, которое проехал второй. По условию задачи, первый велосипедист до встречи проехал $l$ км, значит $S_1 = l$ км. Второй велосипедист проехал на $m$ км больше, чем первый, следовательно, его путь составляет $S_2 = l + m$ км. Поскольку велосипедисты двигались навстречу друг другу из пунктов А и В, то общее расстояние между этими пунктами равно сумме расстояний, которые они проехали до встречи. Таким образом, расстояние $S$ между А и В вычисляется как: $S = S_1 + S_2 = l + (l + m) = 2l + m$ км.

Ответ: $2l + m$ км.

б)

Общее расстояние между пунктами составляет $s$ км, а пройденный туристом путь — $x$ км. Чтобы найти, сколько километров ему осталось пройти, необходимо из общего расстояния вычесть пройденный путь. Таким образом, оставшееся расстояние равно $s - x$ км.

Чтобы определить, на сколько километров оставшееся расстояние меньше пройденного, нужно из пройденного расстояния ($x$ км) вычесть оставшееся расстояние ($s - x$ км). Разница составит: $x - (s - x) = x - s + x = 2x - s$ км.

Ответ: туристу осталось пройти $s - x$ км; оставшееся расстояние меньше пройденного на $2x - s$ км.